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1、2.6 2.6 電位微分方程與邊值問題電位微分方程與邊值問題2.6.1 2.6.1 泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程與拉普拉斯方程推導電位微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：推導電位微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：泊松方程泊松方程注意：注意：泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程與拉普拉斯方程只適用于只適用于各向同性、線性的均勻媒質。各向同性、線性的均勻媒質。拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯算子拉普拉斯算子第二類第二類邊界條件邊界條件第一類第一類邊界條件邊界條件第三類第三類邊界條件邊界條件自然自然邊界條件邊界條件分界面分界面銜接條件銜接條件場域場域邊界條件邊界條件圖圖2.6.2 邊值問題框圖
2、邊值問題框圖微分方微分方程程邊界條件邊界條件邊值問題邊值問題2.6.2 2.6.2 邊值問題邊值問題場域邊界條件場域邊界條件1 1）第一類邊界條件（）第一類邊界條件（狄里赫利條件狄里赫利條件Dirichlet)Dirichlet)2 2）第二類邊界條件（）第二類邊界條件（諾依曼條件諾依曼條件 Neumann)Neumann)3 3）第三類邊界條件（）第三類邊界條件（若賓條件若賓條件 Robin)Robin)已知邊界上已知邊界上電位電位及及電位法向導數(shù)電位法向導數(shù)的線性組合的線性組合已知邊界上的電位分布已知邊界上的電位分布已知邊界上電位的法向導數(shù)已知邊界上電位的法向導數(shù)(對于導體，即電荷面密度對
3、于導體，即電荷面密度 ，或電力線，或電力線)求解邊值問題注意事項：求解邊值問題注意事項：1 1根據(jù)求解場域內是否有根據(jù)求解場域內是否有 存在存在，決定電位滿足，決定電位滿足泊松方程泊松方程還是拉氏還是拉氏方程，然后判斷場域是否具有對稱性，以便選擇適當?shù)淖鴺讼?。方程，然后判斷場域是否具有對稱性，以便選擇適當?shù)淖鴺讼怠? 2正確表達邊界條件，并利用它們確定通解的待定常數(shù)。正確表達邊界條件，并利用它們確定通解的待定常數(shù)。3 3若所求解的場域內有兩個（或以上）的均勻介質區(qū)域，應若所求解的場域內有兩個（或以上）的均勻介質區(qū)域，應分區(qū)分區(qū)求求解。不能用一個電位函數(shù)表達兩個區(qū)域的情況。這時會出現(xiàn)解。不能用一
4、個電位函數(shù)表達兩個區(qū)域的情況。這時會出現(xiàn)4 4個積分個積分常數(shù)，還需考慮介質分界面上的銜接條件來確定積分常數(shù)。常數(shù)，還需考慮介質分界面上的銜接條件來確定積分常數(shù)。4.4.對于開域問題，還需給出無限遠處的自然邊界條件。當場域有對于開域問題，還需給出無限遠處的自然邊界條件。當場域有限分布時，應有：限分布時，應有：即：即：至少按一次方反比變化，通?？珊唵稳≈辽侔匆淮畏椒幢茸兓?，通?？珊唵稳∽匀贿吔鐥l件自然邊界條件例例2.4.12.4.1 列出求解區(qū)域的微分方程列出求解區(qū)域的微分方程 圖圖2.6.1 三個不同媒質區(qū)域的靜電場三個不同媒質區(qū)域的靜電場邊值問題邊值問題研究方法研究方法解析法解析法數(shù)值法數(shù)值
5、法實測法實測法模擬法模擬法定性定性定量定量積分法積分法分離變量法分離變量法鏡像法、電軸法鏡像法、電軸法微分方程法微分方程法保角變換法保角變換法有限差分法有限差分法有限元法有限元法邊界元法邊界元法矩量法矩量法模擬電荷法模擬電荷法數(shù)學模擬法數(shù)學模擬法物理模擬法物理模擬法圖圖2.6.3 邊值問題研究方法框圖邊值問題研究方法框圖計算法計算法實驗法實驗法作圖法作圖法例例2.6.1 圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方的正方形，鉛皮半徑為形，鉛皮半徑為a，內外導體之間電介質的介電常數(shù)為，內外導體之間電介質的介電常數(shù)為 ，并且在兩導，并且在兩
6、導體之間接有電源體之間接有電源 U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。解：解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。根據(jù)場分布對稱性，確定場域。（陰影區(qū)域，陰影區(qū)域，1/41/4原區(qū)域原區(qū)域）場的邊值問題場的邊值問題圖圖 2.6.4 纜心為正方形的同軸電纜橫截面纜心為正方形的同軸電纜橫截面邊界條件邊界條件積分得通解積分得通解例例2.6.2 設有電荷均勻分布在半徑為設有電荷均勻分布在半徑為a 的介質球型區(qū)域中，電荷體密度的介質球型區(qū)域中，電荷體密度為為 ，試用解微分方程的方法求球體內、外的電位及電場。，試用解微分方程的方法求球體內、外的電位及電場。解解:采用球坐標系采用球
7、坐標系,分區(qū)域建立方程分區(qū)域建立方程參考點電位參考點電位圖圖 2.6.5 體電荷分布的球形域電場體電荷分布的球形域電場 解得解得 電場強度（球坐標梯度公式）：電場強度（球坐標梯度公式）：對于一維場（場量僅僅是一個坐標變量的函數(shù)）求解過程：對于一維場（場量僅僅是一個坐標變量的函數(shù)）求解過程：(1)(1)對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解(2)(2)利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解(3)(3)再由再由 得到電場強度得到電場強度 E 的分布。的分布。電位：電位：2.2.唯一性定理的重要意義唯一性定理的重要意義 可判
8、斷靜電場問題的解的正確性：可判斷靜電場問題的解的正確性：2.6.2 2.6.2 唯一性定理唯一性定理1 1、唯一性定理、唯一性定理 在靜電場中滿足給定邊界條件的電位微分方程（泊松方程在靜電場中滿足給定邊界條件的電位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，稱之為靜電場的唯一性定理。的解是唯一的，稱之為靜電場的唯一性定理。唯一性定理為靜電場問題的多種解法唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。例例2.6.32.6.3 圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？答案答案：（C）圖圖 2.6.7 2.6.7 平板電容器外加電源平板電容器外加電源U0思路：思路：將邊界條件代將邊界條件代入，看是否滿足入，看是否滿足作業(yè)：作業(yè)：2.122.12，2.152.15，2.172.17，2.192.19
2-6 靜電場邊值問題唯一性定理
