5.二維三維的任意變換 (3)

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1、2024/1/27幾何變換二維變換齊次坐標(biāo)系和二維變換的矩陣表示二維變換的復(fù)合窗口到視口的變換效率問題三維變換的矩陣表示三維變換的復(fù)合坐標(biāo)系的變換二維及三維空間的變換概念、矩陣表示、三維視圖二二維、三、三維空空間的的變換概念及其矩概念及其矩陣表示表示2024/1/27幾何變換幾何變換本講介紹計(jì)算機(jī)圖形學(xué)經(jīng)常用到的基本的二本講介紹計(jì)算機(jī)圖形學(xué)經(jīng)常用到的基本的二維維和三和三維維幾何變換，其幾何變換，其中的平移變換、比例變換和旋轉(zhuǎn)變換對(duì)很多圖形應(yīng)用程序來說極其中的平移變換、比例變換和旋轉(zhuǎn)變換對(duì)很多圖形應(yīng)用程序來說極其重要。重要。許多應(yīng)用程序或圖形子程序軟件包需要用到各種變換，例如：一個(gè)許多應(yīng)用程序或

2、圖形子程序軟件包需要用到各種變換，例如：一個(gè)城市規(guī)劃程序，利用平移變換將表示建筑物和樹木的圖符移到合適城市規(guī)劃程序，利用平移變換將表示建筑物和樹木的圖符移到合適的位置，利用旋轉(zhuǎn)變換確定圖符的朝向，以及利用比例變換確定圖的位置，利用旋轉(zhuǎn)變換確定圖符的朝向，以及利用比例變換確定圖符的大小。一般來說，很多應(yīng)用程序在繪圖時(shí)都要用到幾何變換來符的大小。一般來說，很多應(yīng)用程序在繪圖時(shí)都要用到幾何變換來改變物體（也稱為圖符或模板）的位置、方向和大小。本講還介紹改變物體（也稱為圖符或模板）的位置、方向和大小。本講還介紹如何應(yīng)用三維變換如何應(yīng)用三維變換(旋轉(zhuǎn)變換、平移變換和比例變換旋轉(zhuǎn)變換、平移變換和比例變換)

3、作為創(chuàng)建三維作為創(chuàng)建三維物體的二維顯示過程的一部分。物體的二維顯示過程的一部分。2024/1/27 P=RP二維變換二維變換變換前 一座房子的平移變換.變換后 旋轉(zhuǎn)變換矩陣旋轉(zhuǎn)變換矩陣 房子的比例變換。兩個(gè)方向上的變換比例不同，并且房子改變了位置。比例變換前 比例變換后旋轉(zhuǎn)之前 旋轉(zhuǎn)之后房子的旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)的同時(shí)也改變了位置。x=sx xy=sy yx=x+dx,dx=x-x y=y+dy,dy=y-y P=P+T平移變換平移變換比例變換矩陣比例變換矩陣2024/1/27旋轉(zhuǎn)矩陣的推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)矩陣的推導(dǎo)小結(jié)小結(jié)rr正向旋轉(zhuǎn)其中:2024/1/27齊次坐標(biāo)系和二維變換的矩陣表示齊次坐標(biāo)系和二維變換的

4、矩陣表示平移矩陣平移矩陣 齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)表示P P=T+P =T+P P P=S=S P P P P=R=R P P希望能用一種一致的方法來表示這三種變換。希望能用一種一致的方法來表示這三種變換。將（將（x,y)x,y)附加第三個(gè)坐標(biāo)，于是每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都用附加第三個(gè)坐標(biāo)，于是每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都用一個(gè)三元組一個(gè)三元組(x,y,W)來來表示，稱為點(diǎn)（表示，稱為點(diǎn)（x x，y y)的齊次的齊次坐標(biāo)。在齊次坐標(biāo)系中，我們認(rèn)為兩組齊次坐標(biāo)坐標(biāo)。在齊次坐標(biāo)系中，我們認(rèn)為兩組齊次坐標(biāo)(x,y,W)和和(x,y,W)代表同一點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)代表同一點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)(x,y,W)與與(x,y,W)互為互為倍數(shù)倍數(shù)，因此因

5、此(2,3,6)和和(4,6,12)是用不同的三元組坐標(biāo)表示的同一點(diǎn)。也是用不同的三元組坐標(biāo)表示的同一點(diǎn)。也就是說每個(gè)點(diǎn)齊次坐標(biāo)不唯一。要求齊次坐標(biāo)中至就是說每個(gè)點(diǎn)齊次坐標(biāo)不唯一。要求齊次坐標(biāo)中至少有一個(gè)不為零，即少有一個(gè)不為零，即(0,0,0)是不允許的。如果坐是不允許的。如果坐標(biāo)標(biāo)W不為零，那么我們可以用它作為除數(shù)：由不為零，那么我們可以用它作為除數(shù)：由(x,y,W)得到得到(x/W,y/W,1)，它們它們代表同一點(diǎn)。一般代表同一點(diǎn)。一般來說，當(dāng)來說，當(dāng)W不為零時(shí)，我們采用不為零時(shí)，我們采用W為為1 1的坐標(biāo)，并的坐標(biāo)，并將將x/W和和y/W稱為齊次點(diǎn)稱為齊次點(diǎn)(x,y,W)的笛卡兒坐標(biāo)。

6、而的笛卡兒坐標(biāo)。而W=0的點(diǎn)被稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，在這里我們不討論此類的點(diǎn)被稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，在這里我們不討論此類點(diǎn)點(diǎn)。平移變換平移變換2024/1/27齊次坐標(biāo)幾何意義齊次坐標(biāo)幾何意義三元組一般用來表示三維空間中三元組一般用來表示三維空間中的點(diǎn)，但是此處是用來表示二維的點(diǎn)，但是此處是用來表示二維空間的點(diǎn)。這兩種表示之間具有空間的點(diǎn)。這兩種表示之間具有以下聯(lián)系：如果取所有代表同一以下聯(lián)系：如果取所有代表同一點(diǎn)的三元組，即所有形式為點(diǎn)的三元組，即所有形式為(tx,ty,W)的三元組（其中的三元組（其中t0），），便可得到三維空間中的一條直線，便可得到三維空間中的一條直線，因此，每一個(gè)齊次點(diǎn)就代表了三因此，

7、每一個(gè)齊次點(diǎn)就代表了三維空間中的一條直線。又由于我維空間中的一條直線。又由于我們可以將一點(diǎn)的坐標(biāo)齊次化（通們可以將一點(diǎn)的坐標(biāo)齊次化（通過除以過除以W）而得到形式為而得到形式為(x,y,1)的坐標(biāo)，因此，齊次化的點(diǎn)就形的坐標(biāo)，因此，齊次化的點(diǎn)就形成了成了(x,y,W)空間中的一個(gè)平面空間中的一個(gè)平面,由等式由等式W=1定義。圖中示出了這定義。圖中示出了這種聯(lián)系，注意：無窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒表示種聯(lián)系，注意：無窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒表示在該平面中。在該平面中。XYW齊次坐標(biāo)系，其中示有W=1的平面和投影到該平面上的點(diǎn)P（X，Y，W）平面2024/1/27二維變換的矩陣表示二維變換的矩陣表示兩個(gè)連續(xù)的旋轉(zhuǎn)變換是可疊加的證明留

8、作習(xí)題。平移變換平移變換旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換比例變換比例變換2024/1/27特殊正交陣特殊正交陣（special orthogonal）左上角有個(gè)左上角有個(gè)22的子矩陣，我們可以將其中的每的子矩陣，我們可以將其中的每一行看作是一個(gè)行向量。這兩個(gè)行向量有以下幾一行看作是一個(gè)行向量。這兩個(gè)行向量有以下幾個(gè)特點(diǎn)：個(gè)特點(diǎn)：1）每個(gè)都是單位向量。每個(gè)都是單位向量。2）每?jī)蓚€(gè)向量之間相互垂直每?jī)蓚€(gè)向量之間相互垂直（它們的點(diǎn)積為零）。它們的點(diǎn)積為零）。3）如果將每個(gè)向量所指的方向旋轉(zhuǎn)如果將每個(gè)向量所指的方向旋轉(zhuǎn)R()，那么那么這些方向量便可位于正這些方向量便可位于正x軸、軸、y軸方向上，軸方向上，即即:前兩個(gè)

9、特點(diǎn)也適用于該前兩個(gè)特點(diǎn)也適用于該22子矩陣的兩個(gè)列向量，并且列向量所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子矩陣的兩個(gè)列向量，并且列向量所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)方向量就是沿方向量就是沿x軸和軸和y軸正方向的向量軸正方向的向量(i,j,k)i,j,k)經(jīng)矩陣經(jīng)矩陣R R變換后而得到的變換后而得到的.因此，當(dāng)已知旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果時(shí)，這些特點(diǎn)便因此，當(dāng)已知旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果時(shí)，這些特點(diǎn)便為如何構(gòu)造為如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換矩陣旋轉(zhuǎn)變換矩陣提供了提供了兩種有效的方法兩種有效的方法。具有這些特性的矩陣稱為特殊正交陣具有這些特性的矩陣稱為特殊正交陣。特殊正交陣01 sin cos 02024/1/27剛體變換仿射變換剛體變換仿射變換 單位正方體單位正方體

10、旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)4545度度 在在x軸方向拉伸軸方向拉伸上圖是單位正方體先旋轉(zhuǎn)45度，再進(jìn)行不均勻的比例變換，結(jié)果是單位立方體的仿射變換，只保留線段之間的平行關(guān)系，不保持長(zhǎng)度和角度不變。對(duì)于形如：的變換矩陣，若其左上角的主子式是正交的，那么該矩陣變換保角保長(zhǎng)。也就是說，一個(gè)單位的正方形經(jīng)該矩陣變換后仍然是一個(gè)單位的正方形，特殊正交陣既不會(huì)變成單位邊長(zhǎng)的菱形，也不會(huì)變成非單位邊長(zhǎng)的正方形。這種變換也被稱為剛體變換剛體變換，因?yàn)檫M(jìn)行變換的物體不會(huì)有任何變形。任意順序的旋轉(zhuǎn)、平移變換都等同于這種形式的矩陣。一系列任意的旋轉(zhuǎn)、平移和比例變換的結(jié)果又是如何呢？這些變換稱為仿射仿射變換變換，它們能夠保持直線平行性

11、，但不角和不保長(zhǎng)。如上圖所示，其中先將一個(gè)單位正方體旋轉(zhuǎn)45度，然后進(jìn)行不均勻的比例變換。很明顯，正方體的角度和長(zhǎng)度都發(fā)生了變化，但那些原來平行的線仍保持平行，再繼續(xù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、比例和平移變換也不會(huì)改變線的平行性，R()、S(sx,sy)和和T(dx,dy)都是仿射變換都是仿射變換。R()、T(dx,dy)也是剛體變換是剛體變換保長(zhǎng)保角。2024/1/27對(duì)單位正方體進(jìn)行簡(jiǎn)單的錯(cuò)切變換對(duì)單位正方體進(jìn)行簡(jiǎn)單的錯(cuò)切變換，每一種變換情況，斜邊的長(zhǎng)度都超過了每一種變換情況，斜邊的長(zhǎng)度都超過了1。錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換（一種仿射變換）（一種仿射變換）單位正方體 方體在x方向上錯(cuò)切 正方體在y方向上錯(cuò)切二維的錯(cuò)切

12、變換分為兩種：沿x軸的錯(cuò)切變換和沿y軸的錯(cuò)切變換。上圖示出了沿兩個(gè)軸錯(cuò)切一個(gè)單位正方體的效果。其中a、b是比例常量。注意：SHxx y 1T=x+ay y 1 T，表示在x方向上的比例變化是y的函數(shù)。SHyx y 1T=x bx+y 1 T表示在y方向上的比例變化是x的函數(shù)。SHx沿沿x軸的錯(cuò)軸的錯(cuò)切變換矩陣切變換矩陣Shy沿沿y軸的軸的錯(cuò)切矩陣錯(cuò)切矩陣2024/1/27二維變換的復(fù)合二維變換的復(fù)合(例一）例一）現(xiàn)在考慮繞任意一點(diǎn)現(xiàn)在考慮繞任意一點(diǎn)P1旋轉(zhuǎn)物體的問題。旋轉(zhuǎn)物體的問題。1）將將P1點(diǎn)平移到原點(diǎn)；點(diǎn)平移到原點(diǎn)；2）旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)；3）平移還原平移還原P1點(diǎn)。點(diǎn)。(x1,y1)(x1,y

13、1)2024/1/27二維變換的復(fù)合二維變換的復(fù)合(例二）例二）關(guān)于任意關(guān)于任意點(diǎn)點(diǎn)P1比例比例變換一個(gè)變換一個(gè)物體。物體。2024/1/27二維變換的復(fù)合（小結(jié)）二維變換的復(fù)合（小結(jié)）假假設(shè)設(shè)我我們們想想要要使使圖圖中中的的房房子子以以任任意意點(diǎn)點(diǎn)P1為為中中心心進(jìn)進(jìn)行行旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)、平平移移和和縮縮放放（比比例例）變變換換。這這時(shí)時(shí)具具體體步步驟驟與與上上述述類類似似：先先將將點(diǎn)點(diǎn)P1平平移移到到原原點(diǎn)點(diǎn)，待待完完成成比比例例變變換換和和旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變換換后后再再將將房房子子從從坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)平平移移到到新新的的位位置置P2，因因此此記記錄錄變變換換的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)可可以以是是包包含含比比

14、例例變變換換因因子子、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角、平平移移量量和和變變換換順順序序的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)，或或者者只只是是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地地記記錄錄復(fù)復(fù)合合變變換換矩矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：如如果果M1和和M2分分別別代代表表一一個(gè)個(gè)基基本本的的平平移移變變換換、比比例例變變換換或或旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變換換，那那么么在在什什么么情情況況下下有有M1M2=M2M1呢呢？或或者者說說，何何時(shí)時(shí)M1和和M2可可交交換換呢呢？當(dāng)當(dāng)然然，一一般般來來說說矩矩陣陣乘乘法是不可交換的，但是，在下面的特殊情況下，是可以進(jìn)行交換的：法是不可交換的，但是，在下面的特殊情況下，是可以進(jìn)行交換的：M1 M2平移變換平移變換 平移變換平移變換

15、比例變換比例變換 比例變換比例變換旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換 比例變換比例變換(sx=sy)旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換因此，在這些情況下，我們不用關(guān)心矩陣乘法的順序。因此，在這些情況下，我們不用關(guān)心矩陣乘法的順序。T(x2,y2)R()S(sx,sy)T(-x1,-y1)2024/1/27習(xí)題習(xí)題寫出綜合變換矩陣.12003456782345678112345678123456782024/1/27窗口到視口的變換窗口到視口的變換2024/1/27窗口到視口的變換步驟窗口到視口的變換步驟將一個(gè)空間坐標(biāo)系的窗口變換到視口的步驟:所期望的結(jié)果點(diǎn)坐標(biāo)由所期望的結(jié)果點(diǎn)坐標(biāo)由P=Mwv x y 1TP 代

16、表了視口內(nèi)新點(diǎn)坐標(biāo)代表了視口內(nèi)新點(diǎn)坐標(biāo),x,y,1代表了窗口內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)代表了窗口內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo).視圖變換：就是把用戶坐標(biāo)系表視圖變換：就是把用戶坐標(biāo)系表示的點(diǎn)在視口坐標(biāo)系表示出來示的點(diǎn)在視口坐標(biāo)系表示出來。2024/1/27窗口的剪切和視口的關(guān)系窗口的剪切和視口的關(guān)系許多圖形軟件包將窗口到視口的變換和窗口中輸出圖元的剪切結(jié)合起來，許多圖形軟件包將窗口到視口的變換和窗口中輸出圖元的剪切結(jié)合起來，上圖舉例說明了窗口的剪切和視口的關(guān)系。上圖舉例說明了窗口的剪切和視口的關(guān)系?？臻g坐標(biāo)系中的輸出圖元被窗口剪切，保留的部分在視口中顯示出來空間坐標(biāo)系中的輸出圖元被窗口剪切，保留的部分在視口中顯示出來。2024/1/

17、27效率問題效率問題要計(jì)算一個(gè)向量與一個(gè)要計(jì)算一個(gè)向量與一個(gè)33的矩陣的乘積的矩陣的乘積MP，則必須則必須做九次乘法和六次加法。上做九次乘法和六次加法。上面左側(cè)公式面左側(cè)公式的的最后一行為固定結(jié)構(gòu)，因此實(shí)際操作將變?yōu)樗拇纬朔ê退拇渭臃ǎ鹤詈笠恍袨楣潭ńY(jié)構(gòu)，因此實(shí)際操作將變?yōu)樗拇纬朔ê退拇渭臃ǎ簒=x r11+y r12+tx y=x r21+y r22+ty如果有些硬件的矩陣乘法器具有并行加法器和乘法器，那么無需考慮這一效率問如果有些硬件的矩陣乘法器具有并行加法器和乘法器，那么無需考慮這一效率問題。題。旋轉(zhuǎn)方程旋轉(zhuǎn)方程R R（）需要進(jìn)行四次乘法和兩次加法，當(dāng)需要進(jìn)行四次乘法和兩次加法，當(dāng)角非常

18、小時(shí)（只有幾度），角非常小時(shí)（只有幾度），cos非常接近于非常接近于1 1，根據(jù)這一點(diǎn)可減少計(jì)算量，因此旋轉(zhuǎn)變換公式，根據(jù)這一點(diǎn)可減少計(jì)算量，因此旋轉(zhuǎn)變換公式可可近似地表示成：近似地表示成：x=x-ysin,y=xsin+y然而，該式只是然而，該式只是x和和y的近似值，每計(jì)算一次，都會(huì)產(chǎn)生誤差積累。如果我們反復(fù)的近似值，每計(jì)算一次，都會(huì)產(chǎn)生誤差積累。如果我們反復(fù)無限次地使用該公式，會(huì)使其結(jié)果完全變成誤差，使得旋轉(zhuǎn)圖象看起來就象隨意無限次地使用該公式，會(huì)使其結(jié)果完全變成誤差，使得旋轉(zhuǎn)圖象看起來就象隨意畫的線段集合。畫的線段集合。另一種更好的近似方法是在上面式子另一種更好的近似方法是在上面式子的的

19、第二個(gè)公式中用第二個(gè)公式中用x代替代替x：x=x-ysin,y=xsin+y=(x-y sin)sin+y=x sin+y(1 sin2)這種近似上一個(gè)公式這種近似上一個(gè)公式要要好。好。2024/1/27三維變換的矩陣表示三維變換的矩陣表示(坐標(biāo)系坐標(biāo)系)在齊次坐標(biāo)系中，二維變換可以用在齊次坐標(biāo)系中，二維變換可以用33的的矩陣表示，假定我們也用矩陣表示，假定我們也用齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)來表示三維空間中的點(diǎn)，那么三維變換便可用來表示三維空間中的點(diǎn)，那么三維變換便可用44的的矩陣矩陣表示。因此，我們用表示。因此，我們用(x,y,z,W)而不是而不是(x,y,z)來來表示三維空間中的表示三維空間中的一點(diǎn)

20、，其中若一個(gè)四元組是另一個(gè)四元組的非零倍數(shù)，則認(rèn)為它們一點(diǎn)，其中若一個(gè)四元組是另一個(gè)四元組的非零倍數(shù)，則認(rèn)為它們代表同一點(diǎn)，并且四元組代表同一點(diǎn)，并且四元組(0,0,0,0)是不允許的。和二維空間一樣，是不允許的。和二維空間一樣，任意點(diǎn)任意點(diǎn)(x,y,z,W)（W0)的標(biāo)準(zhǔn)表示為的標(biāo)準(zhǔn)表示為(x/W,y/W,z/W,1)，將坐標(biāo)將坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成這種形式被稱為齊次化，而轉(zhuǎn)化成這種形式被稱為齊次化，而W為零的點(diǎn)則稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。同為零的點(diǎn)則稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。同樣，齊次化的幾何解釋也存在：三維空間中的每一個(gè)點(diǎn)可以看作是樣，齊次化的幾何解釋也存在：三維空間中的每一個(gè)點(diǎn)可以看作是從四維空間的原點(diǎn)出發(fā)的一條線，且齊

21、次化的點(diǎn)組成了四維空間中從四維空間的原點(diǎn)出發(fā)的一條線，且齊次化的點(diǎn)組成了四維空間中由簡(jiǎn)單等式由簡(jiǎn)單等式W=1確定的三維子空間。本課中的三維坐標(biāo)系采用確定的三維子空間。本課中的三維坐標(biāo)系采用右手右手系系，如右下圖所示，按照習(xí)慣定義，右手系下的正向旋轉(zhuǎn)的規(guī)定是：，如右下圖所示，按照習(xí)慣定義，右手系下的正向旋轉(zhuǎn)的規(guī)定是：當(dāng)從一個(gè)正向軸向原點(diǎn)望去時(shí)，則另一個(gè)正向軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)當(dāng)從一個(gè)正向軸向原點(diǎn)望去時(shí)，則另一個(gè)正向軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9090度后度后與第三個(gè)正向軸重合，如下表所示與第三個(gè)正向軸重合，如下表所示 旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸 正向旋轉(zhuǎn)的方向正向旋轉(zhuǎn)的方向 x y z y z x z x y應(yīng)注意，并不是所有的圖形

22、學(xué)教科書都沿襲這一約定。應(yīng)注意，并不是所有的圖形學(xué)教科書都沿襲這一約定。在三維圖形學(xué)中采用屏幕上的左手系會(huì)很方便在三維圖形學(xué)中采用屏幕上的左手系會(huì)很方便(如右上如右上圖圖所示所示)，因因?yàn)樵谧笫窒迪拢梢院茏匀坏亟忉尀樵谧笫窒迪?，可以很自然地解釋z值越大，點(diǎn)離觀察者越遠(yuǎn)的情值越大，點(diǎn)離觀察者越遠(yuǎn)的情況，但這里我們?nèi)匀皇褂糜沂窒?，因?yàn)樗蠘?biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)約定。請(qǐng)況，但這里我們?nèi)匀皇褂糜沂窒?，因?yàn)樗蠘?biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)約定。請(qǐng)注意，當(dāng)從左手系的正向軸向原點(diǎn)望去時(shí)，正向旋轉(zhuǎn)是順時(shí)針的注意，當(dāng)從左手系的正向軸向原點(diǎn)望去時(shí)，正向旋轉(zhuǎn)是順時(shí)針的(x xy y)。正向旋轉(zhuǎn)的定義使本節(jié)中的旋轉(zhuǎn)矩陣既可以用于右手坐標(biāo)正向

23、旋轉(zhuǎn)的定義使本節(jié)中的旋轉(zhuǎn)矩陣既可以用于右手坐標(biāo)系也可以用于左手坐標(biāo)系。系也可以用于左手坐標(biāo)系。顯示屏上的左手左手坐標(biāo)系。右手右手坐標(biāo)系2024/1/27三維變換的矩陣表示三維變換的矩陣表示（公式）（公式）平移比例繞z旋轉(zhuǎn)繞x旋轉(zhuǎn)綜合繞y旋轉(zhuǎn)01在xy方向上錯(cuò)切2024/1/27三維變換的矩陣表示三維變換的矩陣表示（平面方程）（平面方程）單單個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)的的變變換換已已經(jīng)經(jīng)討討論論。線線段段的的變變換換可可以以通通過過對(duì)對(duì)兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)進(jìn)行行變變換換來來實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)。如如果果平平面面是是由由三三點(diǎn)點(diǎn)定定義義的的，可可用用同同樣樣的的方方法法處處理理。如如果果平平面面由由一一個(gè)個(gè)平平面面方方程程來來定定義

24、義，也也需需要要對(duì)對(duì)平平面面方方程程的的各個(gè)系數(shù)進(jìn)行變換。各個(gè)系數(shù)進(jìn)行變換。為了處理這種情況，平面方程系數(shù)的列向量為了處理這種情況，平面方程系數(shù)的列向量N=A B C D T，點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo) P=x y z 1 T，則有則有：N P=0，其中其中“”表示表示向量的點(diǎn)積向量的點(diǎn)積。點(diǎn)積結(jié)果得到平面方程點(diǎn)積結(jié)果得到平面方程 Ax+By+Cz+D=0，即行向量即行向量N T和列向量和列向量P相乘：相乘：N TP=0假設(shè)平面上的點(diǎn)假設(shè)平面上的點(diǎn)P通過某一矩陣通過某一矩陣M進(jìn)行變換，即進(jìn)行變換，即MP。若若使使變變換換后后的的點(diǎn)點(diǎn)仍仍滿滿足足N TP=0，N必必須須通通過過某某一一矩矩陣陣Q（待待定定）進(jìn)

25、進(jìn)行行變變換換，于于是是便便可可得得到到(QN)TMP=0。由于由于(QN)T=N TQ T，則則N TQ TMP=0。只只有有當(dāng)當(dāng)Q TM是是單單位位矩矩陣陣的的倍倍數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)等等式式才才成成立立。如如果果該該倍倍數(shù)數(shù)為為1，則則有有Q T=M-1或或Q=(M-1)T。通過通過M變換后得到的平面的系數(shù)列向量為：變換后得到的平面的系數(shù)列向量為：N=Q N=(M-1)TN (5-48)矩矩陣陣(M-1)T并并不不一一定定存存在在，因因?yàn)闉镸的的行行列列式式可可能能為為0。例例如如，當(dāng)當(dāng)M包包含含一一個(gè)個(gè)投投影影變變換換時(shí)時(shí)（我我們們可可能能想想考考查查一一下下在在平平面面上上的的透透視視投投影影的

26、的效效果果），就就有有可可能能發(fā)發(fā)生生這這種種情情況況。此此時(shí)時(shí)利利用用克克萊萊姆（姆（Cramer）法則，采用求法則，采用求M的逆用到的輔助矩陣來代替的逆用到的輔助矩陣來代替(M-1)T。如果只想對(duì)平面的法線進(jìn)行變換，并且如果只想對(duì)平面的法線進(jìn)行變換，并且M只是平移變換、旋轉(zhuǎn)變換和比例變換矩陣的復(fù)只是平移變換、旋轉(zhuǎn)變換和比例變換矩陣的復(fù)合，則計(jì)算會(huì)更加簡(jiǎn)單。這時(shí)等式（合，則計(jì)算會(huì)更加簡(jiǎn)單。這時(shí)等式（5-48）可以簡(jiǎn)化為）可以簡(jiǎn)化為A B C 0T（W為為0的點(diǎn)代表一的點(diǎn)代表一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，可以視為一個(gè)方向）。個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，可以視為一個(gè)方向）。2024/1/27三三維變換維變換的復(fù)合的復(fù)合本節(jié)，我

27、們將結(jié)合一個(gè)具體的例子來詳細(xì)討論如何復(fù)合三維變換矩陣本節(jié)，我們將結(jié)合一個(gè)具體的例子來詳細(xì)討論如何復(fù)合三維變換矩陣。如如上上圖圖所所示示，我我們們要要將將其其中中的的有有向向線線段段P1P2和和P1P3從從（a）中中的的初初始始位位置置變變換換到到（b）中中的的最最終終位位置置，于于是是，點(diǎn)點(diǎn)P1被被移移到到坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)，P1P2與與z軸軸重重合合，P1P3落落在在y值值為正的（為正的（y,z）平面內(nèi)，但線段的長(zhǎng)度在變換中沒有發(fā)生改變平面內(nèi)，但線段的長(zhǎng)度在變換中沒有發(fā)生改變。實(shí)現(xiàn)該變換的方法有兩種：實(shí)現(xiàn)該變換的方法有兩種：第一種方法第一種方法是按部就班地構(gòu)造一系列變換是按部就班地構(gòu)造一系列變

28、換T，Rx，Ry和和Rz，這種方法雖然有些冗長(zhǎng)乏味，但很容易理解。這種方法雖然有些冗長(zhǎng)乏味，但很容易理解。第二種方法第二種方法是運(yùn)用上節(jié)介紹是運(yùn)用上節(jié)介紹的正交矩陣，此方法十分簡(jiǎn)要，但是變換過程也更加抽象的正交矩陣，此方法十分簡(jiǎn)要，但是變換過程也更加抽象。（a）初始位置 （b）最終位置 將P1、P2和P3 從初始位置（a）變換到最終位置（b）2024/1/27利用前述的原始變換，便可將整個(gè)復(fù)雜的問題分割成幾個(gè)相對(duì)比較簡(jiǎn)單的小問題。具體來說，整個(gè)變換可以分為4個(gè)步驟：將P1點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)；繞y軸旋轉(zhuǎn)使得P1P2落在（y,z）平面上；繞x軸旋轉(zhuǎn)使得P1P2與z軸重合；繞z軸旋轉(zhuǎn)使得P1P3落在（

29、y,z）平面上；原始原始變換變換方法方法(綜述綜述)2024/1/27 繞y軸旋轉(zhuǎn)：長(zhǎng)度為D1的P1P2 的投影旋轉(zhuǎn)到與z軸重合，角表示圍繞y軸正向旋轉(zhuǎn)的方向，旋轉(zhuǎn)的角度是(90)。第一步：將第一步：將P1平移到坐平移到坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)平移變換矩陣平移變換矩陣（a）初始位置初始位置將將T應(yīng)用到點(diǎn)應(yīng)用到點(diǎn)P1、P2和和P3便可便可得到：得到：2024/1/27變換圖示變換圖示第二步第一步2024/1/27第二步：第二步：繞繞y軸軸 旋旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 繞y軸旋轉(zhuǎn)：長(zhǎng)度為D1的P1P2 的投影旋轉(zhuǎn)到與z軸重合，角表示圍繞y軸正向旋轉(zhuǎn)的方向，旋轉(zhuǎn)的角度是(90)。右圖右圖示出了線段示出了線段 P1P2 在第一

30、步完成后的位在第一步完成后的位置，并且可看到它在置，并且可看到它在（x,z）平面上的投影。平面上的投影。本步旋轉(zhuǎn)的角度是本步旋轉(zhuǎn)的角度是(90(90)=90)=90，這時(shí)有：這時(shí)有：P2 的的x坐標(biāo)是零，坐標(biāo)是零，z坐標(biāo)是坐標(biāo)是D1繞x軸旋轉(zhuǎn)：P1P2旋轉(zhuǎn)正向角后與z軸重合其中D2是線段的長(zhǎng)度，線段P1P3沒有在圖上畫出，因?yàn)樗荒軟Q定旋轉(zhuǎn)的角度。這兩條線段都用Rx()變換來旋轉(zhuǎn)。繞y旋轉(zhuǎn)2024/1/27第二步：第二步：繞繞y軸軸 旋旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)結(jié)果結(jié)果繞x軸旋轉(zhuǎn)：P1P2旋轉(zhuǎn)正向角后與z軸重合，其中D2是線段的長(zhǎng)度，線段P1P3沒有在圖上畫出，因?yàn)樗荒軟Q定旋轉(zhuǎn)的角度。這兩條線段都用Rx()變

31、換來旋轉(zhuǎn)。2024/1/27第三步：第三步：繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)右右圖是線段圖是線段P1P2在第二步完成后的位置在第二步完成后的位置.繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)：長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為D3 的的P1P3的的投投影影旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角后后與與y軸軸重重合合，從從而而使使得得P1P3落落在在（y,z）平平面面上上。而且而且P1P 2的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為D2=|P 1P 2|，但由于旋但由于旋轉(zhuǎn)變換和平移變換保持長(zhǎng)度不變，所以轉(zhuǎn)變換和平移變換保持長(zhǎng)度不變，所以P1P2與與P1P2的長(zhǎng)度是相等的，即有：的長(zhǎng)度是相等的，即有：第三步旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果是第三步旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果是:從該式可以看出，現(xiàn)在從該式可以看出，現(xiàn)在P1P2已和已和Z軸重

32、合。軸重合。繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)：P1P2旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)正正向向角角后后與與z軸軸重重合合，其其中中D2是是線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度，線線段段P1P3沒沒有有在在圖圖上上畫畫出出，因因?yàn)闉樗徊荒苣軟Q決定定旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的角角度度。這這 兩兩 條條 線線 段段 都都 用用Rx()變換來旋轉(zhuǎn)。變換來旋轉(zhuǎn)。繞繞x旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2024/1/27第四步：第四步：繞繞Z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)右下角的右下角的圖示出了線段圖示出了線段P1P2和和P1P3在第三步結(jié)束后的在第三步結(jié)束后的位置，其中位置，其中P 2與與z軸重合，而軸重合，而P 3位于：位于：本步旋轉(zhuǎn)的角度為本步旋轉(zhuǎn)的角度為正向角正向角，且滿足且滿足：其中其中R R=Rz（

33、）Rx（）Ry（90 90）。）。整個(gè)變換過程為整個(gè)變換過程為：繞繞z旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2024/1/27第二種方法第二種方法:利用正交矩利用正交矩陣陣的性的性質(zhì)質(zhì)利用正交矩陣的性質(zhì)利用正交矩陣的性質(zhì),R 的的每個(gè)單位行向量經(jīng)每個(gè)單位行向量經(jīng)R旋轉(zhuǎn)變旋轉(zhuǎn)變換換后便成后便成為各個(gè)坐標(biāo)軸（即為各個(gè)坐標(biāo)軸（即x,y,z軸）軸）。令：令：Rx、Ry、Rz分別為分別為R的第的第一、二、三行的行向量。一、二、三行的行向量。因?yàn)橐驗(yàn)?Rz是沿是沿P1 P2的單位向量，的單位向量，并且將旋轉(zhuǎn)到正向并且將旋轉(zhuǎn)到正向z軸，所以軸，所以有：有：另外，單位向量另外，單位向量Rx與點(diǎn)與點(diǎn)P1、P2和和P3所確定的平面垂直，所確定

34、的平面垂直，并且將旋轉(zhuǎn)到正向并且將旋轉(zhuǎn)到正向x軸，所軸，所以，以，Rx一定是該平面內(nèi)兩個(gè)一定是該平面內(nèi)兩個(gè)向量的單位叉積向量的單位叉積：最后，很容易得到最后，很容易得到Ry：它將旋轉(zhuǎn)到正向它將旋轉(zhuǎn)到正向y軸的位軸的位置。于是，整個(gè)復(fù)合矩置。于是，整個(gè)復(fù)合矩陣為陣為：右右圖示出了單個(gè)的向量圖示出了單個(gè)的向量Rx、Ry和和Rz。單單位位向向量量Rx、Ry和和Rz 將將被被旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到到與各個(gè)坐標(biāo)軸重合與各個(gè)坐標(biāo)軸重合。性質(zhì)2024/1/27正交矩正交矩陣陣的性的性質(zhì)質(zhì)行向量性質(zhì)行向量性質(zhì)列向量性質(zhì)列向量性質(zhì)旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣01-sincos2024/1/27將將P1、P2和和P3 從初始位置（從初始

35、位置（a a）變換變換到最到最終終位置位置（b b）示意圖示意圖（b）最終位置最終位置（a）初始位置初始位置2024/1/27飛機(jī)的例子飛機(jī)的例子（xp，yp，zp）坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的一架飛機(jī)的一架飛機(jī)。上圖上圖中的飛機(jī)平移到中的飛機(jī)平移到P點(diǎn)，并且點(diǎn)，并且機(jī)頭轉(zhuǎn)向機(jī)頭轉(zhuǎn)向DOF所指方向。所指方向。zp=DOF xp=yDOFyp=zpxp =DOF（yDOF）右上右上圖顯示的是一架定義在坐標(biāo)系圖顯示的是一架定義在坐標(biāo)系xp，yp，zp中的飛機(jī)，其中飛機(jī)的中心位于中的飛機(jī)，其中飛機(jī)的中心位于原點(diǎn)。我們變換的目的是想將這個(gè)飛機(jī)的頭部轉(zhuǎn)到矢量原點(diǎn)。我們變換的目的是想將這個(gè)飛機(jī)的頭部轉(zhuǎn)到矢量DOF（

36、飛行方向）所飛行方向）所指的方向，其中心位于指的方向，其中心位于P點(diǎn)而且點(diǎn)而且機(jī)身不側(cè)傾機(jī)身不側(cè)傾，如如右下圖所示右下圖所示。該變換需要先把。該變換需要先把飛機(jī)的頭部轉(zhuǎn)向規(guī)定的方向，然后將飛機(jī)從原點(diǎn)平移到飛機(jī)的頭部轉(zhuǎn)向規(guī)定的方向，然后將飛機(jī)從原點(diǎn)平移到P點(diǎn)。為了得到旋轉(zhuǎn)矩點(diǎn)。為了得到旋轉(zhuǎn)矩陣，我們只需先確定陣，我們只需先確定xp，yp，zp軸在軸在右下圖右下圖中的指向，然后取各方向矢量的單中的指向，然后取各方向矢量的單位向量，并把它們作為旋轉(zhuǎn)矩陣的列向量即可位向量，并把它們作為旋轉(zhuǎn)矩陣的列向量即可。由于起初飛機(jī)的頭部指向由于起初飛機(jī)的頭部指向zp軸的正向，所以軸的正向，所以zp軸必須變換到軸必

37、須變換到DOF所指的方向所指的方向，而且而且xp軸必須變換成垂直與軸必須變換成垂直與DOF方向的水方向的水平向量平向量即即y軸與軸與DOF的叉積：的叉積：yDOF。xp,zp確定后確定后，yp也就隨之確定了，即為也就隨之確定了，即為zp和和xp的叉積：的叉積：zpxp=DOF（yDOF）。）。因此，旋轉(zhuǎn)矩陣的三個(gè)列向量分別為單位因此，旋轉(zhuǎn)矩陣的三個(gè)列向量分別為單位向量向量|y DOF|、|DOF(yDOF）|和和|DOF|：但是當(dāng)?shù)钱?dāng)DOF與與y軸方向相同時(shí)，叉積軸方向相同時(shí)，叉積y DOF和和DOF(yDOF）均變成均變成0，在這種，在這種特殊情況下，特殊情況下，R不再是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣。不再

38、是一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣。2024/1/27坐標(biāo)系的變換坐標(biāo)系的變換到目前為止，我們只討論了如何在同一坐標(biāo)系到目前為止，我們只討論了如何在同一坐標(biāo)系中將一個(gè)物體的一組點(diǎn)變換成另一組點(diǎn)，因此中將一個(gè)物體的一組點(diǎn)變換成另一組點(diǎn)，因此前面的各種變換歸根結(jié)底都是關(guān)于原點(diǎn)所做的前面的各種變換歸根結(jié)底都是關(guān)于原點(diǎn)所做的變換，坐標(biāo)系均不變動(dòng)。下面我們將介紹另一變換，坐標(biāo)系均不變動(dòng)。下面我們將介紹另一種變換的思路，即通過改變坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)物體種變換的思路，即通過改變坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)物體的變換。當(dāng)將定義在各自不同的坐標(biāo)系中的多的變換。當(dāng)將定義在各自不同的坐標(biāo)系中的多個(gè)物體合并在一起個(gè)物體合并在一起,并放在一個(gè)通用的坐標(biāo)系中并放

39、在一個(gè)通用的坐標(biāo)系中時(shí)，這種方法便顯示出它的優(yōu)越性。時(shí)，這種方法便顯示出它的優(yōu)越性。左手坐標(biāo)系和右手坐標(biāo)系互換左手坐標(biāo)系和右手坐標(biāo)系互換:2024/1/27點(diǎn)點(diǎn)P和坐標(biāo)系和坐標(biāo)系1，2，3，4。2024/1/27房子上的點(diǎn)可以用任何一個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)來表示。坐標(biāo)系的變換房子表示坐標(biāo)系的變換房子表示2024/1/27坐標(biāo)系的變換坐標(biāo)系的變換(房子房子變遷變遷)原始的房子（原始的房子（a）初始位置及所在的坐標(biāo)系（初始位置及所在的坐標(biāo)系（b）變換后所在的變換后所在的坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系之間的關(guān)系坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系之間的關(guān)系2024/1/27三三輪車輪車與三個(gè)坐與三個(gè)坐標(biāo)標(biāo)系系(空間坐標(biāo)系)2024/1/27

40、習(xí)題答案習(xí)題答案p1=(1,2)p1=(1,2)p2=(4,2)p2=(2,2)p3=(4,3)p3=(2,5)p4=(1,3)p4=(1,5)T1=1 0 -10 1 -20 0 1S=1/3 0 00 3 00 0 1T2=1 0 10 1 20 0 1M=T2 S T1 綜合矩陣綜合矩陣=1 0 -10 1 -20 0 1 1/3 0 0 0 3 0 0 0 11 0 10 1 20 0 11/3 0 2/30 3 -40 0 1=T2 S T1 121121121=M=T2 S T1 221421421=M=T2 S T1 251431431=M=T2 S T1 151131131=M2024/1/272024/1/272024/1/27