哈工大測量學(xué)授課課件 第5章 測量誤差的基本知識

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1、內(nèi)容提要第內(nèi)容提要第內(nèi)容提要第內(nèi)容提要第五章五章五章五章第第5章章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識 知識要點(diǎn) 建立測量誤差的基本概念 觀測值的中誤差 觀測值函數(shù)的中誤差 誤差傳播定律#測量誤差的基本概念5.1 測量誤差概述一一.產(chǎn)生產(chǎn)生測量測量誤差的原因誤差的原因二二.測量誤差的分類和處理原則測量誤差的分類和處理原則三三.偶然誤差的特性偶然誤差的特性討論測量誤差的目的：討論測量誤差的目的：用誤差理論分析、處理測量誤差，評定 測量成果的精度，指導(dǎo)測量工作的進(jìn)行。一.產(chǎn)生測量誤差的原因一一.產(chǎn)生產(chǎn)生測量測量誤差的原因誤差的原因產(chǎn)生產(chǎn)生測量測量誤差的三大因素：誤差的三大因素：儀器原因儀器原因 儀器

2、精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因人的原因 判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗,等。外界影響外界影響 氣象因素(溫度變化,風(fēng),大氣折光)結(jié)論：結(jié)論：觀測誤差不可避免觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：有關(guān)名詞：觀測條件，等精度觀測。上述三大因素總稱為觀測條件觀測條件，在上述條件基本 一致的情況下進(jìn)行的各次觀測，稱為等精度觀測等精度觀測。二.測量誤差的分類和處理原則二二.測量誤差的分類和處理原則測量誤差的分類和處理原則 處理方法：處理方法：1.1.對測量結(jié)果加改正數(shù)消除 2.2.外業(yè)操作時抵消1.1.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 誤差出現(xiàn)的大小、符號相同，或按 規(guī)律性變化，具有積累性。結(jié)論結(jié)論：系統(tǒng)誤差可以消

3、除。兩類測量誤差：兩類測量誤差：系統(tǒng)誤差、偶然誤差系統(tǒng)誤差、偶然誤差例：例：誤差誤差 處理方法處理方法 鋼尺尺長誤差Dk 計算改正 鋼尺溫度誤差Dt 計算改正 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i 操作時抵消(前后視等距)經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C 操作時抵消(盤左盤右取平均)2.偶然誤差2.2.偶然誤差偶然誤差誤差出現(xiàn)的大小、符號各不相 同，表面看無規(guī)律性。例：例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差。特點(diǎn)：特點(diǎn)：具有抵償性抵償性。處理原則：處理原則：采用多余觀測多余觀測，減弱其影響，提 高觀測結(jié)果的精度。偶然誤差是由人力所不能控制的因素所引起 的誤差。三.偶然誤差的特性5.2 5.2 偶然誤差

4、的特性偶然誤差的特性 1.1.偶然誤差的定義：偶然誤差的定義：設(shè)某一量的真值為X，對該量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值 ，則產(chǎn)生了n個真誤 差 ：當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng) 計學(xué)上的規(guī)律性：偶然誤差具有正態(tài)分布正態(tài)分布的特性。2.2.偶然誤差的特性偶然誤差的特性頻率直方圖偶然誤差具有正態(tài)分布正態(tài)分布的特性 -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x=y正態(tài)分布曲線四個特性：四個特性：有界性，趨向性，對稱性，抵償性抵償性：(5-1-2)(5-1-2)頻率直方圖 偶然誤差的特性：（1）在一定的觀測條件下，偶

5、然誤差的絕對值不會超過一定的限值；（2）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的頻率高；（3）絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差，其出現(xiàn)的頻率相等；（4）當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即#觀測值的中誤差5.3 衡量精度的指標(biāo)5.3.1 中誤差測量工作中，用中誤差中誤差作為衡量觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。一一.用真誤差計算中誤差的公式用真誤差計算中誤差的公式由偶然誤差：標(biāo)準(zhǔn)差公式：觀測次數(shù)n有限時，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形。中誤差公式為：中誤差公式為：中誤差算例表5-2中誤差算例中誤差算例1 1兩組觀測值中誤差圖形的比較m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離

6、散，觀測值精度較低。兩組觀測值中誤差圖形的比較：m1=2.7m2=3.65.3.2 相對誤差 例如:丈量兩段距離：L1=1000m；L2=80m，中誤差分別為：m1=20mm ；m2=20mm，此時,衡量精度應(yīng)采用相對中誤差，它是中誤差絕對值與觀測值之比。K1K2，可見L1的量距精度高于L2。相對誤差等于誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比。它是一個無名數(shù)，通常寫成分子為1的分?jǐn)?shù)形式，即用 表示。5.3.3 容許誤差與極限誤差 根據(jù)誤差理論，在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在以下區(qū)間的概率分別為：P（-+）68.3%P（-2+2）95.5%P（-3+3）99.7%大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差的觀測誤差出現(xiàn)的概率

7、只有0.3%，是小概率事件，或者說這是實(shí)際上的不可能事件。通常以3 倍標(biāo)準(zhǔn)差作為偶然誤差的極限值，稱為極限誤差。即 限=3。一般進(jìn)行的測量次數(shù)有限，大于2倍中誤差的誤差應(yīng)該很少遇到，因此，以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“容許誤差”，簡稱“限差”，即 容=m 現(xiàn)行測量規(guī)范中通常取2倍中誤差作為限差。用改正數(shù)計算中誤差的公式5.5 5.5 等精度直接平差等精度直接平差一一.用改正數(shù)計算中誤差的公式用改正數(shù)計算中誤差的公式觀測值的真值未知時，用似真誤差V計算中誤差。設(shè)某未知量的觀測值為：則該量的算術(shù)平均值為：得似真誤差(改正數(shù))：觀測值的中誤差：觀測值的中誤差：例用改正數(shù)計算中誤差解：解：用算

8、術(shù)平均值改正數(shù)V計算中誤差：按觀測值的改正數(shù)計算中誤差 次序 觀測值 改正數(shù) 計 算1 854249 -4 162 854240 +5 253 854242 +3 94 854246 -1 15 854248 -3 9 0 60 例例2.對某水平角等精度觀測了5次，求其算術(shù)平均值及 觀測值的中誤差。算術(shù)平均值:854245觀測值的中誤差：#觀測值觀測值函數(shù)的中函數(shù)的中誤差誤差5.4 觀測值函數(shù)的中誤差 誤差傳播定律一一.觀測值的函數(shù)觀測值的函數(shù)例：例：高差平均距離實(shí)地距離三角邊和或差函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標(biāo)增量一般函數(shù)二二二二.誤差傳播誤差傳播誤差傳播誤差傳播定律定律定律定律轉(zhuǎn)換成中誤

9、差關(guān)系式即誤差傳播定律誤差傳播定律：二二.一般函數(shù)的中誤差公式一般函數(shù)的中誤差公式誤差傳播定律誤差傳播定律設(shè)有函數(shù)為獨(dú)立獨(dú)立觀測值 (a)對(a)全微分(b)用偶然誤差 、代替微量元素 、得：(c)例例3：已知某矩形長a=500米，寬b=440米。如邊長測量 的相對中誤差為1/4000，求矩形的面積中誤差mp。三.幾種常用函數(shù)的中誤差三三.幾種常用函數(shù)的中誤差幾種常用函數(shù)的中誤差 求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：(1).列出函數(shù)式；(2).對函數(shù)式求全微分；(3).套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。面積公式求全微分面積中誤差解：解：由題意1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差 1.倍數(shù)函數(shù)的中

10、誤差倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 (x為觀測值，K為x的系數(shù))全微分 得中誤差式解：解：例例4 量得 地形圖上兩點(diǎn)間長度 =168.5mm0.2mm,計算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：列函數(shù)式求全微分中誤差式2.線性函數(shù)的中誤差2.線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 全微分 中誤差式 解：解：對上式全微分：由中誤差式得：例例5：設(shè)有某線性函數(shù) 其中 、分別為獨(dú)立觀測值，它們的中誤差分 別為 求Z的中誤差 。由于等精度觀測時，代入上式：得 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了縮小了 倍。對某觀測量進(jìn)行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。3.算術(shù)平

11、均值的中誤差式 函數(shù)式 全微分 中誤差式 3.算術(shù)平均值的中誤差式算術(shù)平均值的中誤差式 例6距離誤差例例6：對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù) 平均值 ；觀測值的中誤差 ；算術(shù)平均值的中誤 差 ；算術(shù)平均值的相對中誤差 ：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。4.和或差函數(shù)的中誤差4.和或差函數(shù)的中誤差和或差函數(shù)的中誤差 函數(shù)式：全微分：中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測時：上式可寫成：例例7 測定A、B間的高差 ，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量 每站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。解：解：觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 觀測值函數(shù)中誤差公式匯總觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差一

12、般函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 四.誤差傳播定律應(yīng)用例8四四.誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用解：解：由題意：每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：例例8：要求三角形最大閉合差 ，問用DJ6經(jīng) 緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差 。誤差傳播定律的應(yīng)用例9DMPxyXYO由誤差傳播定律：解：解：P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差：例例9：已知直線MP的坐標(biāo)方位角=722000，水平距離D=240m。如已知方位角中誤差 ，距離中誤差 ，求由此引起的P點(diǎn)的坐標(biāo)中誤差 、，以及P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差 。