（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考前三個月 考前回扣9 矩陣與變換 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、回扣9　矩陣與變換 1．矩陣乘法的定義 一般地，我們規(guī)定行矩陣[a11　a12]與列矩陣的乘法規(guī)則為[a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]，二階矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則為＝. 一般地，對于平面上的任意一個點(向量)(x，y)，若按照對應(yīng)法則T，總能對應(yīng)唯一的一個平面點(向量)(x′，y′)，則稱T為一個變換，簡記為T：(x，y)→(x′，y′)或T：→. 2．幾種常見的平面變換 (1)恒等變換．(2)伸壓變換．(3)反射變換．(4)旋轉(zhuǎn)變換．(5)投影變換．(6)切變變換． 3．矩陣的逆矩陣 (1)逆矩陣的有關(guān)概念 對于二階矩陣A，B，若有AB＝BA＝E，則稱

2、A是可逆的，B稱為A的逆矩陣．若二階矩陣A存在逆矩陣B，則逆矩陣是唯一的，通常記A的逆矩陣為A－1，A－1＝B. (2)逆矩陣的求法 一般地，對于二階可逆矩陣A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩陣為A－1＝. (3)逆矩陣的簡單性質(zhì) ①若二階矩陣A，B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1. ②已知A，B，C為二階矩陣，且AB＝AC，若矩陣A存在逆矩陣，則B＝C. (4)逆矩陣與二元一次方程組 對于二元一次方程組若將X＝看成是原先的向量，而將B＝看成是經(jīng)過系數(shù)矩陣A＝(ad－bc≠0)對應(yīng)的變換作用后得到的向量，則可將其記為矩陣方程AX＝B，＝，則X＝A－1B

3、，其中A－1＝. 4．二階矩陣的特征值和特征向量 (1)特征值與特征向量的概念 設(shè)A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)λ，存在一個非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ稱為A的一個特征值，而α稱為A的屬于特征值λ的一個特征向量． (2)特征向量的幾何意義 從幾何上看，特征向量經(jīng)過矩陣A對應(yīng)的變換作用后，與原向量保持在同一條直線上，這時特征向量或者方向不變(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特別地，當(dāng)λ＝0時，特征向量就被變成了0向量． (3)特征多項式 設(shè)λ是二階矩陣A＝的一個特征值，它的一個特征向量為α＝，則A＝λ，即滿足二元一次方程組故(*) 由特征向量的定義知α≠0，因此x，y不全

4、為0，此時Dx＝0，Dy＝0，因此，若要上述二元一次方程組有不全為0的解，則必有D＝0，即＝0. 定義：設(shè)A＝是一個二階矩陣，λ∈R，我們把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc稱為A的特征多項式． (4)求矩陣的特征值與特征向量 如果λ是二階矩陣A的特征值，則λ一定是二階矩陣A的特征多項式的一個根，它滿足f(λ)＝0.此時，將λ代入二元一次方程組(*)，就可以得到一組非零解，于是，非零向量即為A的屬于λ的一個特征向量． 1．矩陣的乘法不滿足交換律：對于二階矩陣A，B來說，盡管AB，BA均有意義，但可能AB≠BA.矩陣的乘法滿足結(jié)合律：設(shè)M，N，P均為二階矩陣，則一定有(

5、MN)P＝M(NP)．矩陣的乘法不滿足消去律：設(shè)A，B，C為二階矩陣，當(dāng)AB＝AC時，可能B≠C. 2．關(guān)于乘法的消去律：已知A，B，C為二階矩陣，且AB＝AC，若矩陣A存在逆矩陣，則B＝C. 3．在解決通過矩陣進(jìn)行平面曲線的變換問題時，變換矩陣可以通過待定系數(shù)法解決，在變換時一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆． 4．對于圖象變換，一定要分清哪個是變換前的，哪個是變換后的，以及變換的途徑，防止因顛倒而出錯． 1．(2017·蘇州期末)已知矩陣A＝，B＝，求矩陣C，使得AC＝B. 解　因為AC＝B，所以C＝A－1B. 由|A|＝＝6－1＝5，得A－1＝. 所以C＝＝＝

6、2．(2017·南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))設(shè)矩陣A滿足A＝，求矩陣A的逆矩陣A－1. 解　A＝－1 ＝· ＝， 因為|A|＝－，所以A－1＝. 3．(2017·南京學(xué)情調(diào)研)已知矩陣A＝，B＝，設(shè)M＝AB. (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的特征值． 解　(1)M＝AB＝＝. (2)矩陣M的特征多項式為 f(λ)＝＝(λ－2)(λ－3)－2＝λ2－5λ＋4， 令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4， 所以矩陣M的特征值為1和4. 4．(2017·蘇北四市模擬)求橢圓C：＋＝1在矩陣A＝對應(yīng)的變換作用下所得的曲線的方程． 解　設(shè)橢圓C上的點(x1，y

7、1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點(x，y)， 則＝＝， 則代入橢圓方程＋＝1，得x2＋y2＝1， 所以所求曲線的方程為x2＋y2＝1. 5．已知實數(shù)a，b，矩陣A＝對應(yīng)的變換將直線x－y－1＝0變換為自身，求a，b的值． 解　設(shè)直線x－y－1＝0上任意一點P(x，y)在變換TA的作用下變成點P′(x′，y′)， 由＝，得 因為點P′(x′，y′)在直線x－y－1＝0上， 所以x′－y′－1＝0，即(－1－b)x＋(a－3)y－1＝0. 又P(x，y)在直線x－y－1＝0上，所以x－y－1＝0. 因此 解得a＝2，b＝－2. 6．已知矩陣A＝，向量α＝，計算A5α. 解　矩陣A的特征多項式為f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，由f(λ)＝0，得λ＝2或λ＝3.當(dāng)λ＝2時，矩陣A對應(yīng)的一個特征向量為α1＝；當(dāng)λ＝3時，矩陣A對應(yīng)的一個特征向量為α2＝. 設(shè)＝m＋n，解得 所以A5α＝2×25＋1×35＝.