（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第19練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第19練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第19練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第19練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用明晰考情1.命題角度：函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點，常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.2.題目難度：偏難題.考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根)方法技巧求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題的基本思路：(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點問題；(2)利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖象；(3)結(jié)合圖象求解.1.設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)ab4，若函數(shù)f(x)有三個不同

2、零點，求c的取值范圍.解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.f(0)c，f(0)b，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當(dāng)ab4時，f(x)x34x24xc，f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.當(dāng)x變化時，f(x)與f(x)在區(qū)間(，)上的變化情況如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc當(dāng)c0且c0時，f(4)c160，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)c時，函數(shù)f(x)x34x24xc有三個不同零點.2.已知函數(shù)f(x)2lnx(aR，a0).

3、(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有最小值，記為g(a)，關(guān)于a的方程g(a)a1m有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.解(1)f(x)(x0)，當(dāng)a0時，f(x)0時，f(x)，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增.(2)由(1)知，a0，f(x)minf()1ln a，即g(a)1ln a，方程g(a)a1m，即maln a(a0)，令F(a)aln a(a0)，則F(a)1，知F(a)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，F(xiàn)(a)極大值Fln 3，F(xiàn)(a)極小值Fln 2ln 3.依題意得實數(shù)m的取值范圍是.3.已知函數(shù)f(x)(x1)exax2，aR.(1)

4、討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.解(1)f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a).若a0，則當(dāng)x0時，f(x)0；當(dāng)x0時，f(x)0.故函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.當(dāng)a0時，由f(x)0，解得x0或xln(2a).()若ln(2a)0，即a，則xR，f(x)x(ex1)0，故f(x)在(，)上單調(diào)遞增；()若ln(2a)0，即a0；當(dāng)x(ln(2a)，0)時，f(x)0，即a0；當(dāng)x(0，ln(2a)時，f(x)0時，由(1)知，函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增.因為f(0)10，取實數(shù)b滿足b2且

5、ba(b1)ab2a(b2b1)a(421)0，所以f(x)有兩個零點；若a0，則f(x)(x1)ex，故f(x)只有一個零點.若a0，由(1)知，當(dāng)a時，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x0時，f(x)0，故f(x)不存在兩個零點；當(dāng)ag(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點是解題的突破口.4.設(shè)函數(shù)f(x)lnxx1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x(1，)時，10)，得f(x)1.令f(x)0，解得x1.當(dāng)0x0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x1時，f

6、(x)0，f(x)單調(diào)遞減.因此，f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，)上為減函數(shù).(2)證明當(dāng)x(1，)時，1x，即為ln xx11時，f(x)0恒成立，即f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，可得f(x)f(1)0，即有l(wèi)n x1，則F(x)1ln x1ln x，當(dāng)x1時，F(xiàn)(x)0，可得F(x)在(1，)上單調(diào)遞增，即有F(x)F(1)0，即有xln xx1.綜上，原不等式得證.5.設(shè)函數(shù)f(x)e2xalnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當(dāng)a0時，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2x(x0).當(dāng)a0時，f(x)0，f(x)沒

7、有零點；當(dāng)a0時，設(shè)u(x)e2x，v(x)，因為u(x)e2x在(0，)上單調(diào)遞增，v(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.又f(a)0，當(dāng)b滿足0b且b時，f(b)0時，f(x)存在唯一零點.(2)證明由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)上的唯一零點為x0，當(dāng)x(0，x0)時，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).由于20，所以f(x0)aln x02ax02ax0aln x02ax0aln2aaln.當(dāng)且僅當(dāng)x0時，取等號.故當(dāng)a0時，f(x)2aaln.6.設(shè)函數(shù)f(x)ax2

8、1lnx，其中aR.(1)若a0，求過點(0，1)且與曲線yf(x)相切的直線方程；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2.求實數(shù)a的取值范圍；求證：f(x1)f(x2)0.(i)若a0，則f(x)0，由f(x)0，解得x.當(dāng)0x時，f(x)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)minfln1ln.要使函數(shù)f(x)有兩個零點，首先ln0，解得0ae.當(dāng)0a.因為f0，所以ff0.又函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，且其圖象在上不間斷，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上恰有1個零點.考查函數(shù)g(x)x1ln x，則g(x)1.當(dāng)x(0,1)時，g(x)0，函數(shù)g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)g

9、(1)0，所以f1ln0.因為0，所以.因為ff0，且f(x)在上單調(diào)遞增，其圖象在上不間斷，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上恰有1個零點，即在上恰有1個零點.綜上所述，a的取值范圍是(0，e).證明由x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點(不妨設(shè)0x1x2)，得兩式相減，得a(xx)ln 0，即a(x1x2)(x1x2)ln 0，所以a(x1x2).f(x1)f(x2)0等價于ax1ax20，即a(x1x2)0，即0.設(shè)h(x)2ln xx，x(0,1).則h(x)1h(1)0.因為(0,1)，所以2ln0，即f(x1)f(x2)f(x)max或af(x)min.(2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，在參數(shù)難

10、于分離的情況下，直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題，注意對參數(shù)的分類討論.(3)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解，一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.7.已知函數(shù)f(x)exex2ax(aR).(1)若f(x)在(0,1)上單調(diào)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)yf(x)exlnx的圖象恒在x軸上方，求a的最小整數(shù)解.解(1)由題意知，f(x)ex2exa，令h(x)ex2exa，則h(x)ex2e，當(dāng)x(0,1)時，h(x)0恒成立，令g(x)xlnx(x0)，則g(x)，令t(x)ex1x，t(x)ex11，當(dāng)x1時，t(x)0，t(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0x1時，t(x)0，t(x)單調(diào)遞減，

11、t(x)t(1)0，ex1x0.當(dāng)x1時，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0x0，故a的最小整數(shù)解為1.8.已知函數(shù)f(x)lnx.(1)若函數(shù)g(x)f(x)axx2有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程f(x)m(x1)(mZ)有實數(shù)解，求整數(shù)m的最大值.解(1)g(x)ln xaxx2(x0)，則g(x)，由題意得方程x2ax10有兩個不等的正實數(shù)根，設(shè)兩根為x1，x2，x1,2，則a2，即a的取值范圍為(2，).(2)方程ln xm(x1)，即m，設(shè)h(x)(x0)，則h(x)，令(x)ln x(x0)，則(x)0，h(e2)0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(x0，)時，h(x)0時，h

12、(t)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增.從而，所以0k2.例(16分)已知函數(shù)f(x)lnxmxm，mR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0在x(0，)上恒成立，求實數(shù)m的值；(3)在(2)的條件下，對任意的0ab，求證：.審題路線圖(1)(2)(3)規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)(1)解f(x)m(x(0，).當(dāng)m0時，f(x)0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)m0時，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞增，由f(x)m0，可得x，則f(x)在上單調(diào)遞減.5分(2)解由(1)知，當(dāng)m0時顯然不成立；當(dāng)m0時，f(x)maxfln1mmlnm1，只需mlnm10

13、即可，令g(x)xlnx1，則g(x)1，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)0.故f(x)0在x(0，)上恒成立時，m1.11分(3)證明11，由0ab，得1，由(2)得0ln1，則11，則原不等式成立.16分構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)數(shù).第二步看性質(zhì)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì).第三步用性質(zhì)：將題中條件或要證結(jié)論轉(zhuǎn)化，如果成立或有解問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，證明不等式可利用函數(shù)單調(diào)性和放縮法.第四步得結(jié)論：審視轉(zhuǎn)化過程的合理性.第五步再反思：回顧反思，檢查易錯點和步驟規(guī)范性.1.設(shè)函數(shù)f(x)x2mlnx，g(x)x2(m1)x，m

14、0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)m1時，討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x).當(dāng)0x時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.綜上可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，.(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmlnx，x0，問題等價于求函數(shù)F(x)的零點個數(shù).F(x)，當(dāng)m1時，F(xiàn)(x)0，函數(shù)F(x)在(0，)上為減函數(shù)，注意到F(1)0，F(xiàn)(4)ln40，所以F(x)有唯一零點.當(dāng)m1時，若0x1或xm，則F(x)0；若1xm，則F(x)0，所以函數(shù)F(x)

15、在(0,1)和(m，)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單調(diào)遞增，注意到F(1)m0，F(xiàn)(2m2)mln(2m2)0，所以F(x)有唯一零點.綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點.2.(2017全國)已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增.若a0；當(dāng)x時，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)a0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知，當(dāng)a0)，則g(x)1.當(dāng)x(0,1)時，g(x)0；當(dāng)x(1，)時，g(x)0時，g(x)0.

16、從而當(dāng)a0，得0x1，由f(x)1，f(x)1ln x在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，).(2)解由(1)得f(x)在上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，f(x)在上的最大值為f(1)1ln 10.又f1eln2e，f(e)1ln e，且f0在x(1，)上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由.解(1)當(dāng)k1時，f(x)xln xx1，f(x)ln x.令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，知f(x)0，f(x)在(1，)上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象不間斷，又f(1)0，當(dāng)x1時，f(x)f(1)0，函數(shù)yf

17、(x)在區(qū)間(1，)上沒有零點，不合題意.當(dāng)k1時，由f(x)0，解得xek11，若1xek1，則f(x)ek1，則f(x)0，故f(x)在(ek1，)上是增函數(shù)，當(dāng)1xek1時，f(x)0，f(x)在(1，)上的圖象不間斷，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(1，)上有1個零點，符合題意.綜上所述，k的取值范圍為(1，).(3)假設(shè)存在正整數(shù)k，使得f(x)x0在(1，)上恒成立，則由x1知x10，從而k0，h(x)在(1，)上是增函數(shù)，又h(3)1ln 30，h(x)在3,4上的圖象不間斷，存在唯一的實數(shù)x0(3,4)，使得h(x0)0，當(dāng)1xx0時，h(x)0，g(x)x0時，h(x)0，g(x)0，g(x)在(x0，)上單調(diào)遞增，當(dāng)xx0時，g(x)有極小值，即為最小值，g(x0)，又h(x0)x02ln x00，ln x0x02，g(x0)x0，由(*)知，k0在x(1，)上恒成立.