10、2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
法二：設所求橢圓方程為＋＝1(k<9)，將點(，－)的坐標代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)設點A在點B上方，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝，則可設A(c，b2)，B(x0，y0)，由AF1＝3F1B，可得1＝3，故即代入橢圓方程可得＋b2＝1，
得b2＝，故橢圓方程為x2＋＝1.]
橢圓的幾何性質
(1)(2016·江蘇高考)如圖47-2，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點，直線y＝與橢圓交于
11、B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是 ________.
圖47-2
(2)橢圓＋＝1上有兩個動點P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，則·的最小值為________. 【導學號：62172261】
(1) (2)6 [(1)將y＝代入橢圓的標準方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因為F(c,0)，所以＝，＝.
因為∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，將b2＝a2－c2代入并化簡，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(負值舍去)．
(2)設P點坐標為(m，n)，則＋＝1，所以PE＝＝＝，因為－6≤m≤6，所以PE的最小值
12、為，
所以·＝·(－)＝－·＝，所以·的最小值為6.]
[規(guī)律方法] 1.求橢圓離心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解．
2．利用橢圓幾何性質求值或范圍的思路
求解與橢圓幾何性質有關的參數(shù)問題時，要結合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系．
[變式訓練3] (1)已知直線x＝t與橢圓＋＝1交于P，Q兩點．若點F為該橢圓的左焦點，則使·取得最小值時，t的值為________．
(2)已知橢圓E：＋＝
13、1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點，若AF＋BF＝4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是________．
(1)－ (2) [易知橢圓的左焦點F(－4,0)．根據(jù)對稱性可設P(t，y0)，Q(t，－y0)，則＝(t＋4，y0)，＝(t＋4，－y0)，所以·＝(t＋4，y0)·(t＋4，－y0)＝(t＋4)2－y.
又因為y＝9＝9－t2，所以·＝(t＋4)2－y＝t2＋8t＋16－9＋t2＝t2＋8t＋7，所以當t＝－時，·取得最小值．
(2)左焦點F0，連結F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形．
14、
∵AF＋BF＝4，∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.
設M(0，b)，則≥，∴1≤b<2.
離心率e＝＝＝＝∈.
[思想與方法]
1．橢圓的定義揭示了橢圓的本質屬性，正確理解、掌握定義是關鍵，應注意定義中的常數(shù)大于F1F2，避免了動點軌跡是線段或不存在的情況．
2．求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法．當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，設方程為＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免討論和煩瑣的計算，也可以設為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)，這種形式在解題中更簡便．
3．討論橢圓的幾何性質時，離心率問題是重點，常用方法：
(1)
15、求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；
(2)列出關于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2＝a2－c2，消去b，轉化成關于e的方程(或不等式)求解．
[易錯與防范]
1．判斷兩種標準方程的方法是比較標準形式中x2與y2的分母大?。?
2．注意橢圓的范圍，在設橢圓＋＝1(a>b>0)上點的坐標為P(x，y)時，則|x|≤a，這往往在求與點P有關的最值問題中用到，也是容易被忽視而導致求最值錯誤的原因．
3．橢圓上任意一點M到焦點F的最大距離為a＋c，最小距離為a－c.
課時分層訓練(四十七)
A組 基礎達標
(建議用時：30分鐘)
一、填空題
1．(2017·徐州模擬)
16、若方程＋＝1表示一個橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為______________．
(2,4)∪(4,6) [由題意可知解得2b>0)，由e＝，即＝，得a＝2c，則b2＝a2－c2＝3c2.
所以橢圓方程可化為＋＝1.
將A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4，所以橢圓的標準方程為＋＝1.]
3．已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△A
17、BC的周長是________.
【導學號：62172262】
4 [由橢圓的方程得a＝.設橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得BA＋BF＝CA＋CF＝2a，所以△ABC的周長為BA＋BC＋CA＝BA＋BF＋CF＋CA＝(BA＋BF)＋(CF＋CA)＝2a＋2a＝4a＝4.]
4．(2017·泰州模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連結AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為________．
[如圖，設AF＝x，則cos∠ABF＝＝.
解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由橢圓及直線關于原點對稱可知AF1
18、＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，∴F1F＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝.]
5．已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是________．
橢圓 [點P在線段AN的垂直平分線上，
故PA＝PN，又AM是圓的半徑，
所以PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6>MN，
由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓．]
6．橢圓＋＝1的左焦點為F1，點P在橢圓上，若線段PF1的中點M在y軸上，則PF1＝________.
[因線段PF1的中點M在y軸上，故可知P，即
19、P，所以PF1＝10－＝.]
7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為________. 【導學號：62172263】
(－5,0) [因為圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝1，
所以圓心坐標為(3,0)，所以c＝3.又b＝4，
所以a＝＝5.因為橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的左頂點為(－5,0)．]
8．已知圓M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半徑為2，橢圓C：＋＝1的左焦點為F(－c,0)，若垂直于x軸且經(jīng)過F點的直線l與圓M相切，則a的值為________．
2 [圓M的方程可化為(x＋m)2＋y2＝
20、3＋m2，
則由題意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，所以m＝－1，則圓心M的坐標為(1,0)．由題意知直線l的方程為x＝－c，又因為直線l與圓M相切，所以c＝1，所以a2－3＝1，所以a＝2.]
9．若m≠0，則橢圓＋＝1的離心率的取值范圍是________．
[因為橢圓方程中m>0，m2＋1≥2m>m(m>0)，所以a2＝m2＋1，b2＝m，c2＝a2－b2＝m2－m＋1，
e2＝＝＝1－＝1－≥1－＝，所以≤e<1.]
10．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，若P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為________．
6 [由題意知，O(0,0)，F(xiàn)(－1,0)
21、，設P(x，y)，則＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，
∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴當x＝2時，·有最大值6.]
二、解答題
11．(2017·蘇州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C過點(0,2)，其焦點為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知點P在橢圓C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面積. 【導學號：62172264】
[解] (1)由題意可知，c＝，b＝2，所以a2＝b2＋c2＝9，
所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)法一：由
22、(1)可知，F(xiàn)1F2＝2，PF1＋PF2＝6，
又PF1＝4，所以PF2＝2，
所以PF＋PF＝F1F，所以PF1⊥PF2，
所以△PF1F2的面積為×PF1·PF2＝4.
法二：由(1)可知e＝，設P(x0，y0)，
因為PF1＝4，所以3＋x0＝4，解得x0＝，
代入方程得＋＝1，解得|y0|＝，
所以△PF1F2的面積為×2×＝4.
12．已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(－2,0)，且長軸與短軸長的比是2∶.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設點M(m,0)在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點．當PM最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍．
[解
23、] (1)由題意知解得
所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設P(x0，y0)，且＋＝1，所以PM2＝(x0－m)2＋y
＝x－2mx0＋m2＋12＝x－2mx0＋m2＋12
＝(x0－4m)2－3m2＋12(－4≤x0≤4)．
所以PM2為關于x0的二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為x0＝4m.
由題意知，當x0＝4時，PM2最小，所以4m≥4，所以m≥1.
又點M(m,0)在橢圓長軸上，所以1≤m≤4.
B組 能力提升
(建議用時：15分鐘)
1．已知橢圓＋＝1(a>b>0)與－＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中項，n2是2m2與c2的
24、等差中項，則橢圓的離心率為________．
[因為橢圓＋＝1(a>b>0)與－＝1(m>0，n>0)有相同的焦點(－c,0)和(c,0)，所以c2＝a2－b2＝m2＋n2，因為c是a，m的等比中項，n2是2m2與c2的等差中項，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2，
所以m2＝，n2＝＋，所以＋＝c2，化為＝，所以e＝＝.]
2．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則PM＋PF1的最大值為________．
15 [PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知M點在橢圓外，連結MF2并延長交橢圓于
25、P點(圖略)，此時PM－PF2取最大值MF2，故PM＋PF1的最大值為10＋MF2＝10＋＝15.]
3．已知點M(，)在橢圓C：＋＝1(a>b>0)上，且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3,2)，求△PAB的面積．
[解] (1)由已知得
解得
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為D(x0，y0)．
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
則x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，
即D.
因為AB
26、是等腰三角形PAB的底邊，
所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此時x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
則|AB|＝|x1－x2|＝·＝3.
又點P到直線l：x－y＋2＝0的距離為d＝，
所以△PAB的面積為S＝|AB|·d＝.
4．(2017·蘇州模擬)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，上頂點為A，P為C1上任一點，MN是圓C2：x2＋(y－3)2＝1的一條直徑，在y軸上截距為3－的直線l與AF平行且與圓C2相切．
(1)求橢圓C1的離心率；
(2)若橢圓C1的短軸長為8，求·的最大值．
[解] (1)由題意，得F(c,0)，A(0，b)，kAF＝－，
∵在y軸上截距為3－的直線l與AF平行，
∴直線l：y＝－x＋3－，即bx＋cy＋(－3)c＝0.
∵直線l與圓C2相切，∴＝1，＝1，e＝，
(2)∵橢圓C1的短軸長為8，
∴2b＝8，b＝4.
∵a2＝b2＋c2，＝1，∴a＝c,2c2＝b2＋c2，
∴c＝b＝4，a＝4，∴橢圓方程是＋＝1，設P(x，y)，
∴·＝(2＋)·(＋)
＝()2＋·(＋)＋·
＝()2＋·＝x2＋(y－3)2－1＝32＋(y－3)2－1＝－y2－6y＋40＝－(y＋3)2＋49，又y∈[－4,4]，∴·的最大值是49.
（江蘇專用）高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第47課 橢圓的方程及幾何性質教師用書-人教版高三數(shù)學試題
