（江蘇專用）高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第45課 圓的方程教師用書-人教版高三數(shù)學試題

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1、第45課 圓的方程 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 圓的標準方程與一般方程 √ 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡) 標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心(a，b)，半徑r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圓心， 半徑 2.點與圓的位置關(guān)系 點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(

2、y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)． (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓．(　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) (4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　) [解析]　由圓的定義及點與圓的位

3、置關(guān)系，知(1)(3)(4)正確． (2)中，當t≠0時，表示圓心為(－a，－b)，半徑為|t|的圓，不正確． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是________． －2＜a＜　[由題意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0， 解得－2＜a＜.] 3．(2016·全國卷Ⅱ改編)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝________. －　[圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離

4、d＝＝1，解得a＝－.] 4．若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關(guān)于直線y＝x對稱，則圓C的標準方程為________． x2＋(y－1)2＝1　[根據(jù)題意，圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，則標準方程為x2＋(y－1)2＝1.] 5．過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則MN＝________. 4　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 ∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0得y＝－2＋2或y＝－2－2. ∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)． ∴MN＝4.] 求圓的方程 　(1)已

5、知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________． (2)(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為________． (1)　(2)(x－2)2＋y2＝9　[(1)法一：在坐標系中畫出△ABC(如圖)，利用兩點間的距離公式可得AB＝AC＝BC＝2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以△ABC為等邊三角形．設(shè)BC的中點為D，點E為外心，同時也是重心．所以AE＝AD＝，從而OE＝＝＝. 法二：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 所以△

6、ABC外接圓的圓心為. 因此圓心到原點的距離d＝＝. (2)因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a>0， 所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝， 解得a＝2， 所以圓C的半徑r＝CM＝＝3， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9.] [規(guī)律方法]　1.直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程． 2．待定系數(shù)法求圓的方程：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的

7、方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值． 溫馨提醒：解答圓的方程問題，應注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)． [變式訓練1]　經(jīng)過點A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為________． x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)　[法一：∵圓過A(5,2)，B(3，－2)兩點， ∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上． 易知線段AB的垂直平分線方程為y＝－(x－4)． 設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，則有 解得a＝2，且b＝1. 因此圓心坐標C(2,1)，半徑r＝|AC|＝. 故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.

8、 法二：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 則 解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝－5， ∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0.] 與圓有關(guān)的最值問題 　已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3)． (1)求MQ的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值. 【導學號：62172245】 [解]　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圓心C的坐標為(2,7)，半徑r＝2. 又QC＝＝4， ∴MQmax＝4＋2＝6， MQm

9、in＝4－2＝2. (2)可知表示直線MQ的斜率k. 設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. 由直線MQ與圓C有交點，所以≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值為2＋，最小值為2－. [遷移探究1]　(變化結(jié)論)在本例的條件下，求y－x的最大值和最小值． [解]　設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0. 當直線y＝x＋b與圓C相切時，截距b取到最值， ∴＝2，∴b＝9或b＝1. 因此y－x的最大值為9，最小值為1. [遷移探究2]　(變換條件結(jié)論)若本例中條件“點Q(－2,3)”改為“點Q是直線3x＋4y＋1＝0上的動點”，其它條件不變，試求MQ的最

10、小值． [解]　∵圓心C(2,7)到直線3x＋4y＋1＝0上動點Q的最小值為點C到直線3x＋4y＋1＝0的距離， ∴QCmin＝d＝＝7. 又圓C的半徑r＝2， ∴MQ的最小值為7－2. [規(guī)律方法]　1.處理與圓有關(guān)的最值問題，應充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解． 2．某些與圓相關(guān)的最值可利用函數(shù)關(guān)系求最值． 根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、函數(shù)的性質(zhì)、利用基本不等式求最值是比較常用的． [變式訓練2]　設(shè)P為直線3x－4y＋11＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線

11、，切點分別為A，B，求四邊形PACB的面積的最小值． [解]　圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1， 圓心為C(1,1)，半徑為r＝1. 根據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為 2S△APC＝2×PAr＝PA＝. 要使四邊形PACB的面積最小，則只需PC最小，最小時為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離 d＝＝＝2. 所以四邊形PACB面積的最小值為 ＝＝. 與圓有關(guān)的軌跡問題 　設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡. 【導學號：62172246】 [解]　如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(

12、x0，y0)，則線段OP的中點坐標為，線段MN的中點坐標為.由于平行四邊形的對角線互相平分， 故＝，＝. 從而 又N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 但應除去兩點和(點P在直線OM上的情況)． [規(guī)律方法]　求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解． (2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解． (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解． (4)代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解． [變式訓練3]　已知圓x2＋y2＝4

13、上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點． (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程． [解]　(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2,2y)． 因為P點在圓x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)，連結(jié)BN(圖略)． 在Rt△PBQ中，PN＝BN. 設(shè)O為坐標原點，連結(jié)ON，則ON⊥PQ， 所以O(shè)P2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(

14、y－1)2＝4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. [思想與方法] 1．確定一個圓的方程，需要三個獨立條件，“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法． 2．解答圓的問題，應注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算． [易錯與防范] 1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時易忽視D2＋E2－4F＞0這一前提條件． 2．求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程． 3．求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線． 課時分層訓練(四十五) A組

15、　基礎(chǔ)達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是________． (x－1)2＋(y－1)2＝2　[圓的半徑r＝＝，∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.] 2．圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為________. 【導學號：62172247】 (x－2)2＋(y－1)2＝1　[(1,2)關(guān)于直線y＝x對稱的點為(2,1)，∴圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.] 3．圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為_______

16、_． 　[圓的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝2，則圓心坐標為(1，－2)． 故圓心到直線x－y－1＝0的距離d＝＝.] 4．已知圓(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一條直徑通過直線x－2y＋3＝0被圓所截弦的中點，則該直徑所在的直線方程為________． 2x＋y－3＝0　[易知圓心坐標為(2，－1)． 由于直線x－2y＋3＝0的斜率為， ∴該直徑所在直線的斜率k＝－2. 故所求直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.] 5．若圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x＋2y＝0相切，則圓O的方程是________． (x＋5)2＋y2＝5　[

17、設(shè)圓心為(a,0)(a＜0)， 則r＝＝，解得a＝－5， 所以圓O的方程為(x＋5)2＋y2＝5.] 6．經(jīng)過原點并且與直線x＋y－2＝0相切于點(2,0)的圓的標準方程是________. 【導學號：62172248】 (x－1)2＋(y＋1)2＝2　[設(shè)所求圓的圓心為(a，b)． 依題意(a－2)2＋b2＝a2＋b2， ① ＝1， ② 解①②得a＝1，b＝－1， 則半徑r＝＝， ∴所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.] 7．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則PQ的最小值為__

18、______． 4　[如圖所示，圓心M(3，－1)與直線x＝－3的最短距離為MQ＝3－(－3)＝6，又圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4.] 8．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________． (－2，－4)　5　[由二元二次方程表示圓的條件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.當a＝2時，方程為4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圓； 當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(

19、y＋4)2＝25，則圓心坐標為(－2，－4)，半徑是5.] 9．已知點M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是________． x＋y－1＝0　[圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)， 則kCM＝＝1. ∵過點M的最短弦與CM垂直，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.] 10．(2015·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為__________． (x－1)2＋y2＝2　[因為直線mx－

20、y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，所以圓心(1,0)到直線mx－y－2m－1＝0的最大距離為d＝＝，所以半徑最大時的半徑r＝，所以半徑最大的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.] 二、解答題 11．已知直線l：y＝x＋m，m∈R，若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P，且點P在y軸上，求該圓的方程. 【導學號：62172249】 [解]　法一：依題意，點P的坐標為(0，m)， 因為MP⊥l，所以×1＝－1， 解得m＝2，即點P的坐標為(0,2)， 圓的半徑r＝MP＝＝2， 故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8. 法二：設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為(x－2

21、)2＋y2＝r2， 依題意，所求圓與直線l：x－y＋m＝0相切于點P(0，m)， 則 解得 所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8. 12．(2015·廣東高考改編)已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B. (1)求圓C1的圓心坐標； (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程． [解]　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4， 所以圓C1的圓心坐標為(3,0)． (2)設(shè)M(x，y)，依題意·＝0， 所以(x－3，y)·(x，y)＝0，則x2－3x＋y2＝0， 所以2＋y2＝. 又原點O(0,0)在圓C1外，

22、因此中點M的軌跡是圓C與圓C1相交落在圓C1內(nèi)的一段圓?。? 由消去y2得x＝， 因此＜x≤3. 所以線段AB的中點M的軌跡方程為2＋y2＝. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為________． 36　[(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到點(5，－4)的距離的平方．點(5，－4)到圓心(2,0)的距離d＝＝5. 則點P(x，y)到點(5，－4)的距離最大值為6，從而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為36.] 2．在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與

23、坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程． [解]　法一：(代數(shù)法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)，設(shè)圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 則有解得 故圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0. 法二：(幾何法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可設(shè)C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.則圓C的半徑為＝3，所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. 3．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－

24、8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點． (1)求M的軌跡方程； (2)當OP＝OM時，求l的方程及△POM的面積． [解]　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4. 設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)． 由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點P在圓C的內(nèi)部， 所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓． 由于OP＝OM，故O在線段PM

25、的垂直平分線上． 又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為y＝－x＋. 又OM＝OP＝2，O到l的距離為，PM＝，所以△POM的面積為. 4．已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱． (1)求圓C的方程； (2)設(shè)Q為圓C上的一個動點，求·的最小值． [解]　(1)設(shè)圓心C(a，b)， 由已知得M(－2，－2)， 則解得 則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點P的坐標代入得r2＝2， 故圓C的方程為x2＋y2＝2. (2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2， ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2) ＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 令x＝cos θ，y＝sin θ， 所以·＝x＋y－2 ＝(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin－2， 所以·的最小值為－4.