《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第49課 雙曲線教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第49課 雙曲線教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第49課 雙曲線 最新考綱內(nèi)容要求ABC中心在坐標(biāo)原點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2(F1F22c0)的距離之差的絕對值為非零常數(shù)2a(2a0,c0.當(dāng)2aF1F2時,M點不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0,b0)1(a0,b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa,yRxR,ya或ya對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸,對稱中心:原點頂點A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)漸近線yxyx離心率e,e(1,),其中ca,b,c的關(guān)系c2a2b2(ca0,cb0)3.等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線,其漸近線方程為yx,離心率
2、為e.1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4),F(xiàn)2(0,4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m0,n0,0)的漸近線方程是0,即0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知雙曲線1(a0)的離心率為2,則a_.1依題意,e2,2a,則a21,a1.3(2017泰州中學(xué)高三摸底考試)若雙曲線x21的焦點到漸近線的距離為2,則實數(shù)k的值是_8由題意得b2kb28.4(2016江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy
3、中,雙曲線1的焦距是_2由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,知a27,b23,所以c2a2b210,所以c,從而焦距2c2.5(2016北京高考改編)已知雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線為2xy0,一個焦點為(,0),則雙曲線的方程為_x21由于2xy0是1的一條漸近線,2,即b2a.又雙曲線的一個焦點為(,0),則c,由a2b2c2,得a2b25,聯(lián)立得a21,b24.所求雙曲線的方程為x21.雙曲線的定義及應(yīng)用已知F是雙曲線C:x21的右焦點,P是C的左支上一點,A(0,6)則APF周長的最小值為_. 【導(dǎo)學(xué)號:62172269】32由雙曲線方程x21可知,a1,c3,故F(3,0),F(xiàn)1(3,0),當(dāng)
4、點P在雙曲線左支上運動時,由雙曲線定義知PFPF12.所以PFPF12,從而APF的周長APPFAFAPPF12AF.因為AF15為定值,所以當(dāng)(APPF1)最小時,APF的周長最小,A,F(xiàn)1,P三點共線又因為APPF1AF1AF15.所以APF周長的最小值為1515232.規(guī)律方法1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題:在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件,即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離”若定義中的“絕對值”去掉,點的軌跡是雙曲線的一支同時需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用2在焦點三角形中,注意定義、余弦定理的活用,常將PF1PF22a平方,建
5、立PF1PF2間的聯(lián)系變式訓(xùn)練1(1)已知雙曲線C的離心率為2,焦點為F1,F(xiàn)2,點A在C上若F1A2F2A,則cosAF2F1_.(2)已知雙曲線x21的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線右支上一點若PF1PF2,則F1PF2的面積為_(1)(2)24(1)由e2得c2a,如圖,由雙曲線的定義得F1AF2A2a.又F1A2F2A,故F1A4a,F(xiàn)2A2a,cosAF2F1.(2)由雙曲線的定義可得PF1PF2PF22a2,解得PF26,故PF18,又F1F210,由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形,因此SPF1F2PF1PF224.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)已知雙曲線C:1的離心率e,且其
6、右焦點為F2(5,0),則雙曲線C的方程為_(2)(2016天津高考改編)已知雙曲線1(a0,b0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直,則雙曲線的方程為_(1)1(2)y21(1)由焦點F2(5,0)知c5.又e,得a4,b2c2a29.雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由焦距為2得c.因為雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直,所以.又c2a2b2,解得a2,b1,所以雙曲線的方程為y21.規(guī)律方法1.確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個“定位”條件,兩個“定量”條件“定位”是指確定焦點在哪條坐標(biāo)軸上,“定量”是指確定a,b的值,常用待定系數(shù)法若雙曲線的焦點不能確定時,可設(shè)其方程為Ax2
7、By21(AB0,b0)的右焦點是F,左、右頂點分別是A1,A2,過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點若A1BA2C,則該雙曲線的漸近線為_. 【導(dǎo)學(xué)號:62172270】(1)(2)xy0(1)如圖,因為MF1x軸,所以MF1.在RtMF1F2中,由sinMF2F1得tanMF2F1.所以,即,即,整理得c2aca20,兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負值舍去)(2)由題設(shè)易知A1(a,0),A2(a,0),B,C.因為A1BA2C,所以1,整理得ab.因此該雙曲線的漸近線為yx,即xy0.規(guī)律方法1.(1)求雙曲線的漸近線,要注意雙曲線焦點位置的影響;(2)求離心率的關(guān)鍵是確定含
8、a,b,c的齊次方程,但一定注意e1這一條件2雙曲線中c2a2b2,可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系.抓住雙曲線中“六點”、“四線”、“兩三角形”,研究a,b,c,e間相互關(guān)系及轉(zhuǎn)化,簡化解題過程變式訓(xùn)練3(1)(2017無錫期末)設(shè)ABC是等腰三角形,ABC120,則以A,B為焦點且過點C的雙曲線的離心率為_(2)雙曲線x2my21的虛軸長是實軸長的2倍,則雙曲線的漸近線方程為_(1)(2)x2y0(1)設(shè)ABx,則BCx,ACx,2axx,2cx,e.(2)由題意可知a21,b2m,由于b2a,故m4,m4.由x24y20得x2y,即x2y0.雙曲線的漸近線方程為x2y0.思想與方法1
9、求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法:(1)定義法:由條件判定動點的軌跡是雙曲線,求出a2,b2,得雙曲線方程(2)待定系數(shù)法:即“先定位,后定量”,如果不能確定焦點的位置,應(yīng)注意分類討論或恰當(dāng)設(shè)置簡化討論若已知雙曲線過兩點,焦點位置不能確定,可設(shè)方程為Ax2By21(AB0)的一條漸近線為xy0,則a_. 【導(dǎo)學(xué)號:62172271】雙曲線y21的漸近線為y,已知一條漸近線為xy0,即yx,因為a0,所以,所以a.3雙曲線1的離心率為_a24,b25,c29,e.4若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(3,4),則此雙曲線的離心率為_. 【導(dǎo)學(xué)號:62172272】由雙曲線的漸近線過點(3,4)知,.又b2c
10、2a2,即e21,e2,e.5已知點F1(3,0)和F2(3,0),動點P到F1,F(xiàn)2的距離之差為4,則點P的軌跡方程為_1(x0)由題設(shè)知點P的軌跡方程是焦點在x軸上的雙曲線的右支,設(shè)其方程為1(x0,a0,b0),由題設(shè)知c3,a2,b2945.所以點P的軌跡方程為1(x0)6已知F為雙曲線C:x2my23m(m0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為_由雙曲線方程知a23m,b23,c.不妨設(shè)點F為右焦點,則F(,0)又雙曲線的一條漸近線為xy0,d.7(2016全國卷改編)已知方程1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是_(1,3)原方程表示雙曲線,且兩焦點間
11、的距離為4.則因此1n0,即2m4.10過雙曲線x21的右焦點且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點,則AB_. 【導(dǎo)學(xué)號:62172273】4由題意知,雙曲線x21的漸近線方程為yx,將xc2代入得y2,即A,B兩點的坐標(biāo)分別為(2,2),(2,2),所以AB4.11已知M(x0,y0)是雙曲線C:y21上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個焦點,若0,則y0的取值范圍是_由題意知a,b1,c,F(xiàn)1(,0),F(xiàn)2(,0),(x0,y0),(x0,y0)0,(x0)(x0)y0,即x3y0.點M(x0,y0)在雙曲線上,y1,即x22y,22y3y0,y00,b0),若矩形ABCD的四
12、個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2AB3BC,則E的離心率是_2如圖,由題意知AB,BC2c.又2AB3BC,232c,即2b23ac,2(c2a2)3ac,兩邊同除以a2,并整理得2e23e20,解得e2(負值舍去)B組能力提升(建議用時:15分鐘)1已知F為雙曲線C:1的左焦點,P,Q為C上的點若PQ的長等于虛軸長的2倍,點A(5,0)在線段PQ上,則PQF的周長為_44由雙曲線C的方程,知a3,b4,c5,點A(5,0)是雙曲線C的右焦點,且PQQAPA4b16,由雙曲線定義,得PFPA6,QFQA6.PFQF12PAQA28,因此PQF的周長為PFQFPQ281644.
13、2已知點F是雙曲線1(a0,b0)的左焦點,點E是該雙曲線的右頂點,過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,若ABE是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_(1,2)由題意易知點F的坐標(biāo)為(c,0),A,B,E(a,0),ABE是銳角三角形,0,即0,整理得3e22ee4,e(e33e31)0,e(e1)2(e2)1,e(1,2)3(2016北京高考)雙曲線1(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2,則a_.2雙曲線1的漸近線方程為yx,易得兩條漸近線方程互相垂直,由雙曲線的對稱性知1.又正方形OABC的邊長為
14、2,所以c2,所以a2b2c28,因此a2.4已知雙曲線1(a0,b0)的一個焦點為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切,則雙曲線的方程為_x21由雙曲線的漸近線yx,即bxay0與圓(x2)2y23相切,則b23a2.又雙曲線的一個焦點為F(2,0),a2b24,聯(lián)立,解得a21,b23.故所求雙曲線的方程為x21.5(2017南通三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線y21與拋物線y212x有相同的焦點,則雙曲線的兩條漸近線的方程為_yx拋物線y212x的焦點為(3,0),a219,a2.雙曲線的兩條漸近線方程為yx.6(2016天津高考改編)已知雙曲線1(b0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點,四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為_1由題意知雙曲線的漸近線方程為yx,圓的方程為x2y24,聯(lián)立解得或即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形,其相鄰兩邊長為,故2b,得b212.故雙曲線的方程為1.