狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,目錄(1/1),目 錄,,,概述,,2.1,狀態(tài)和狀態(tài)空間模型,,2.2,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型,,2.3,根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型,,2.4,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型,,2.5,傳遞函數(shù)陣,,2.6,線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,,2.7 Matlab,問題,,本章小結(jié),,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(1,/8),2.4,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,,,從上一節(jié)的討論可知,同一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,即使其維數(shù)相同,但其具體結(jié)構(gòu)和系數(shù)矩陣也是多種多

2、樣的,,,,如系統(tǒng)矩陣,A,可以為對(duì)角線矩陣的或者約旦矩陣的,,,,也可以為其他形式的。,,即,,,狀態(tài)空間模型不具有唯一性,。,,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,2/8),為何同一個(gè)系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)空間模型?,,原因,: 狀態(tài)變量的不同選擇,,這就產(chǎn)生了一個(gè)問題:,,各種不同選擇的狀態(tài)變量之間,以及它們所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間的關(guān)系如何?,,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,3/8),此外,在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中,某些特殊的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型對(duì)討論問題相對(duì)簡(jiǎn)單得多,如前面建立的對(duì)角線規(guī)范形的和約旦規(guī)范形。,,于是自然會(huì)提出如下問題:,,如何把一般形式的狀態(tài)空間模型變換成特定形式

3、的狀態(tài)空間模型,以降低系統(tǒng)的分析問題和設(shè)計(jì)問題的難度。,,解決上述兩個(gè)問題,就需引入狀態(tài)空間的線性變換。,,什么是狀態(tài)空間的線性變換?,如何理解?,,本章關(guān)鍵喔!,,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,4/8),狀態(tài)變量是一組實(shí)變量,它們所組成的狀態(tài)空間為一個(gè)實(shí)線性空間。,,由線性代數(shù)知識(shí)可知,線性空間中,隨著表征空間坐標(biāo)的,基底的選取的不同,,空間中的點(diǎn)關(guān)于各種基底的,坐標(biāo)亦不同,。,,這些基底之間的關(guān)系為進(jìn)行了一次坐標(biāo)變換,而空間中的點(diǎn)的,坐標(biāo)則相當(dāng)于作了一次相似變換。,,如,在如右圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,,A,點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)存在如下變化關(guān)系(其中,P,為非可逆的變換矩陣),

4、,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,5/8),n,維空間中的旋轉(zhuǎn)變換、極坐標(biāo)變換,線性空間中的相似變換,都屬于空間變換。,,其中旋轉(zhuǎn)變換和相似變換還屬于線性變換。,,狀態(tài)空間中由于狀態(tài)變量的不同選擇類似于線性空間中的坐標(biāo)架的不同選擇，,,同一個(gè)系統(tǒng)不同選擇狀態(tài)變量組之間存在類似于線性空間不同坐標(biāo)架之間的線性變換,,,因此我們將在狀態(tài)空間中坐標(biāo)變換稱為狀態(tài)空間的線性變換。,,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,6/8),引入坐標(biāo)變換和狀態(tài)空間線性變換等概念,實(shí)際上就回答了上述兩個(gè)問題:,,1.,不同選取狀態(tài)變量之間存在一個(gè),坐標(biāo)變換,,其相應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間也存在一個(gè)相應(yīng)的,相似變換

5、,。,,2.,既然可以對(duì)狀態(tài)變量和狀態(tài)空間模型進(jìn)行線性變換,則在一定條件下應(yīng)可以將一般形式的狀態(tài)空間模型變換成某種特殊的狀態(tài)空間模型。,,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,7/8),本節(jié)主要討論狀態(tài)空間的線性變換,以及如何將系統(tǒng)狀態(tài)空間描述變?yōu)槠浼s旦規(guī)范形。,,本章關(guān)鍵問題:,,1.,線性變換的幾何及空間意義,建立空間想象力,,2.,如何作系統(tǒng)線性變換,,3.,系統(tǒng)的對(duì)角規(guī)范形和約旦規(guī)范形描述,,4.,代數(shù)重?cái)?shù)、幾何重?cái)?shù)與約旦矩陣,,5.,如何求矩陣的廣義特征向量,建立空間概念,可是學(xué)好控制理論的關(guān)鍵喔,,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形,(,8/8),主要內(nèi)容為,:,,狀態(tài)空間的線性

6、變換,,系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量,,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形,,化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形,,狀態(tài)空間的線性變換(1/,2),2.4.1,狀態(tài)空間的線性變換,,,對(duì)于一個(gè),n,階,動(dòng)態(tài)系統(tǒng),可通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)?n,個(gè)狀態(tài)變量以建立狀態(tài)空間模型來(lái)描述它。,,但是,這,n,個(gè)狀態(tài)變量的選擇卻不是唯一的。,,這一點(diǎn)可利用線性代數(shù)中的基底不唯一來(lái)理解。,,一個(gè),n,維線性獨(dú)立的狀態(tài)變量向量,在,n,維狀態(tài)空間中構(gòu)成一個(gè)坐標(biāo)系,即相當(dāng)于空間中的一個(gè)基底。,,根據(jù)線性代數(shù)知識(shí),在這個(gè)空間中還存在另外的坐標(biāo)系,且與原坐標(biāo)系存在一個(gè)線性變換關(guān)系。,,狀態(tài)空間的線性變換(,2/2),下面分別討論:,,狀態(tài)空間

7、的線性變換,,狀態(tài)空間模型的線性變換,,上述狀態(tài)變量向量,x,與,,間的變換,稱為狀態(tài)的線性變換。,由線性代數(shù)知識(shí)可知,它們之間必有如下變換關(guān)系,狀態(tài)空間的線性變換(1/1),1.,狀態(tài)空間的線性變換,,,設(shè)描述同一個(gè),線性,狀態(tài)空間的兩個(gè),n,維的狀態(tài)變量向量分別為,其中,P,為,n,?,n,維的非奇異變換矩陣。,值得指出的是:,變換矩陣,P,只有為非奇異的,才能使,x,和,,間的變換關(guān)系是等價(jià)的、唯一的和可逆的。,,兩種表達(dá)式式之間存在什么關(guān)系?,狀態(tài)空間的線性變換(1,/14),2,.狀態(tài)空間模型的線性變換,設(shè)在狀態(tài)變量,x,和,,下,系統(tǒng)狀態(tài)空間模型分別為,將變換關(guān)系,x,=,P,,代

8、入,?,(,A,,,B,,,C,,,D,),的,狀態(tài)方程中有,,狀態(tài)空間的線性變換(,2/14),由于變換矩陣,P,非奇異,因此有,則有,應(yīng)該注意的是,系統(tǒng)的初始條件也必須作相應(yīng)的變換,即,將上式與狀態(tài)空間模型,,比較,則線性系統(tǒng),?(,A,,,B,,,C,,,D,),在線性變換矩陣,P,下的各矩陣具有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系,其中,t,0,為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻。,,狀態(tài)空間的線性變換(,12/14)—,例,2-5,下面介紹狀態(tài)空間模型變換的算例。,,,例,2-5,,試將以下狀態(tài)空間模型,作變換矩陣為下式所示的線性變換,,狀態(tài)空間的線性變換(1,3/14),解,,線性變換,P,的逆矩陣為,因此,有,,狀態(tài)

9、空間的線性變換(1,4/14),故系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,值得指出的是,狀態(tài)空間的線性變換只是對(duì)狀態(tài)變量作變換,對(duì)系統(tǒng)的輸入和輸出未作變換,因此,,系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系對(duì)狀態(tài)變換保持不變,。,,系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量,(,1/2),2.4.2,系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量,,,由前面的討論可知,當(dāng)選擇不同的狀態(tài)變量,則獲得不同的狀態(tài)空間模型描述。,,實(shí)際上,狀態(tài)空間模型只是系統(tǒng)在不同的狀態(tài)變量選擇下對(duì)系統(tǒng)的一種描述,它隨狀態(tài)變量選擇的不同而不同,并不具有唯一性和不變性。,,那么,到底系統(tǒng)在狀態(tài)空間中有哪些描述,哪些性質(zhì)是不變的,是不隨狀態(tài)變量的選取不同而

10、變化的?,,,線性定常系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由特征值和特征向量所表征。,,系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特性和行為具有重要的影響,,,決定了系統(tǒng)的基本特性。,,系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量,(,2/2),下面我們將討論系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)線性變換后,,,其特征值不變,,,亦即狀態(tài)線性變換不改變系統(tǒng)的基本特性。,,系統(tǒng)矩陣的特征值是一種描述系統(tǒng)本質(zhì)特征的,并具有唯一性的不變量,即不隨狀態(tài)變量的選取不同而變化的不變量,它在系統(tǒng)分析和綜合上起著重要的作用。,,下面將分別討論:,,系統(tǒng)的特征值和特征向量,,系統(tǒng),特征值的不變性,,特征向量的計(jì)算,,廣義特征向量和特征向量鏈,難點(diǎn)喔!,重點(diǎn)喔,難點(diǎn)喔!,重點(diǎn)喔,,系統(tǒng)的特

11、征值和特征向量(,1/,4),1,.,,系統(tǒng)的特征值和特征向量,,,狀態(tài)空間的線性變換,只是改變了描述系統(tǒng)的角度(或說(shuō)坐標(biāo)系),系統(tǒng)的本質(zhì)特征應(yīng)保持不變。,,對(duì)于線性定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō),系統(tǒng)的特征值(極點(diǎn))決定了系統(tǒng)的基本特性。,,特征值應(yīng)是系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征之一。,,系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)線性變換后,其本質(zhì)特征之一的特征值應(yīng)保持不變,亦即狀態(tài)線性變換不改變系統(tǒng)的基本特性。,,下面先討論矩陣特征值和特征向量的定義。,,系統(tǒng)的特征值和特征向量(,2/,4)—,特征值和特征向量定義,定義,2-2,,設(shè),v,是,n,維非零向量,,A,是,n,?,n,矩陣。若方程組,,Av,=,?,v,,成立,則稱,?,為矩陣,A,

12、的,特征值,,非零向量,v,為,?,所對(duì)應(yīng)的矩陣,A,的,特征向量,。,,,將上述特征值的定義式寫為,,(,?,I,-,A,),v,=0,,其中,I,為,n,×,n,的單位矩陣。,,因此,,,由代數(shù)方程論可知,,,上式有非零特征向量,v,的解的充要條件為,,|,?,I,-,A,|=0,,并稱上式為矩陣,A,的,特征方程,,,而,|,?,I,-,A,|,為,A,的,特征多項(xiàng)式,。,,系統(tǒng)的特征值和特征向量(,3/4)—,特征值和特征向量定義,將,|,?,I,-,A,|,展開，可得,,|,?,I,-,A,|=,?,n,+,a,1,?,n,-1,+…+,a,n,-1,?+,a,n,=0,,其中,a

13、,i,(,i,=1,2,…,,n,),稱為特征多項(xiàng)式的系數(shù)。,,因此,,,n,?,n,維的矩陣,A,的特征多項(xiàng)式為,n,階多項(xiàng)式。,,若矩陣,A,為實(shí)矩陣,則對(duì)應(yīng)的特征方程為一實(shí)系數(shù)代數(shù)方程,共有,n,個(gè)根。,,這,n,個(gè)根或?yàn)閷?shí)數(shù),或?yàn)槌蓪?duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。,,求解矩陣特征值的方法即為求解矩陣,A,的特征方程。,,n,階的特征方程的,n,個(gè)根,?,1,,,?,2,,…,,?,n,即為矩陣,A,的,n,個(gè)特征值。,,在得到特征值,?,i,后,,,由式,(2-46),或式,(2-47),可求得矩陣對(duì)應(yīng)于,?,i,的特征向量,v,i,。,,系統(tǒng)的特征值和特征向量(,4/4,),如下定義所示,,矩陣特

14、征值的概念可推廣至線性定常系統(tǒng),?(,A,,,B,,,C,,,D,),。,,,定義,對(duì)于線性定常系統(tǒng),?(,A,,,B,,,C,,,D,),,系統(tǒng)的特征值即為系統(tǒng)矩陣,A,的特征值。,,,關(guān)于系統(tǒng)特征值,幾點(diǎn)注記:,,A.,,一個(gè),n,維線性定常系統(tǒng)必然有,n,個(gè)特征值與之對(duì)應(yīng)。,,B.,,對(duì)于物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng),其系統(tǒng)矩陣必為實(shí)矩陣。,,因此,線性定常系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式必為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,即系統(tǒng)的特征值或?yàn)閷?shí)數(shù),或?yàn)槌蓪?duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。,,系統(tǒng),特征值的不變性(1/2),2.,系統(tǒng)特征值的不變性,,,系統(tǒng)的特征值表征了系統(tǒng)本質(zhì)的特征。,,而線性變換只是相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)從另外一個(gè)角度來(lái)描述而已,并未改

15、變系統(tǒng)的本質(zhì)。,,刻劃了系統(tǒng)本質(zhì)特征的系統(tǒng)特征值應(yīng)不隨線性變換而改變,即有如下,結(jié)論,:,,線性定常系統(tǒng)特征值對(duì)線性變換具有不變性。,,系統(tǒng),特征值的不變性(2/2),對(duì)于這個(gè)結(jié)論,亦可證明如下:,,設(shè)系統(tǒng)原狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣為,A,,,經(jīng)線性變換,后,系統(tǒng)矩陣為,可見,系統(tǒng)經(jīng)線性變換后,其特征值不變。,矩陣,,的特征多項(xiàng)式為,即證明了,A,的特征多項(xiàng)式等于的,,特征多項(xiàng)式。,,特征向量的計(jì)算,(1,/9),3.,特征向量的計(jì)算,,,如何求解特征值,?,i,對(duì)應(yīng)的,特征向量?,,求解特征向量,即求如下齊次矩陣代數(shù)方程的非零解,,(,?,i,I,-,A,),v,i,=0,,,由于,?,i,

16、為,A,的特征值,故,?,i,I,-,A,不可逆。,,因此,由代數(shù)方程理論可知,該方程組的解并不唯一。,,由特征向量的定義可知,我們需求解的是線性獨(dú)立的特征向量。,,實(shí)際上,具體求特征向量時(shí),可假定其特征向量的某個(gè)或幾個(gè)元素的值,然后再求得該特征向量其他元素的值。,,特征向量的計(jì)算,(2,/9),當(dāng)特征方程存在重根時(shí),線性獨(dú)立的特征向量可能不唯一。,,因此,就產(chǎn)生如下問題:,,問題:,,對(duì)應(yīng)于特征值,?,i,究竟有幾個(gè)獨(dú)立的特征向量,?,,答案:,矩陣的重特征值,?,i,所對(duì)應(yīng)的線性獨(dú)立的特征向量可能不止一個(gè)。,,它的獨(dú)立特征向量的數(shù)目等價(jià)于系統(tǒng)的維數(shù)與線性方程組(,2-47),的線性獨(dú)立的方

17、程數(shù)之差,即為,,n,-rank(,?,i,I,-,A,),,其中,rank,為矩陣的秩。,,特征向量的計(jì)算,(3,/9),因此,,r,重的特征值可能存在1至,r,個(gè)線性獨(dú)立的特征向量。,,由此,導(dǎo)出如下問題:,,獨(dú)立的特征向量數(shù)到底具有什么意義?,,它與特征值的重?cái)?shù)之間有何關(guān)系?,,下面引入代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)兩個(gè)概念。,不要混淆喔!,,特征向量的計(jì)算,(4,/9),兩個(gè)基本概念:,,代數(shù)重?cái)?shù),。,,由特征方程求得的特征值,?,i,的重?cái)?shù)稱為特征值,?,i,的代數(shù)重?cái)?shù)。,,幾何重?cái)?shù),。,,特征值,?,i,線性獨(dú)立的特征向量數(shù)稱為特征值,?,i,的幾何重?cái)?shù)。,,代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)是兩個(gè)不同的概念

18、。,,幾何重?cái)?shù)具有幾何上空間表征的意義,它代表在空間分解上不變的幾何子空間的數(shù)目。,,而代數(shù)重?cái)?shù)僅具有代數(shù)意義,它代表特征值在特征方程的重?cái)?shù)。,,特征向量的計(jì)算,(5,/9)—,例,2-6,例,2-6,,求如下矩陣的特征向量,解,1.,,由特征方程,|,?,I,-,A,|=0,求得系統(tǒng)的特征值。,,特征向量的計(jì)算,(,6/9)—,例,2-6,解該,特征方程,,,可求得系統(tǒng)的特征值為,,?,1,=1,,?,2,=,?,3,=2,,即2為系統(tǒng)的二重特征值,其代數(shù)重?cái)?shù)為2,,,2.,計(jì)算,?,1,=1,的特征向量。,,按定義有,,(,?,1,I-,A,),v,1,=0,,即,,,特征向量的計(jì)算,(

19、,7/9)—,例,2-6,解之得特征向量,v,1,的通解為,,v,1,=[,v,11,,v,11,,2,v,11,],?,,,令,v,11,=1,,解之得,,v,1,=[,v,11,,v,12,,v,13,],?,= [1 1 2],?,,特征向量的計(jì)算,(,8/9)—,例,2-6,3.,,計(jì)算重特征值,?,2,=,?,3,=2,的特征向量。,,按定義有,,(,?,2,I-,A,),v,2,=0,,即,,特征向量的計(jì)算,(,9/9)--,例,2-6,由于,,n,-rank(,?,2,I,-A)=2,,因此,,,特征值應(yīng)有,2,個(gè)獨(dú)立特征向量,故該重特征值的幾何重?cái)?shù)亦為2。,,解之得特征向量

20、,v,2,的通解為,,v,2,=[,v,21,,v,22,,v,21,],?,,令,v,21,=1,,v,22,=0,和,1,,解之得,,v,2,=[1 0 1],?,和,v,3,=[1 1 1],?,,即重特征值,2有兩個(gè)線性獨(dú)立的特征向量。,,廣義特征向量和特征向量鏈,(1,/12),4.,廣義特征向量和特征向量鏈,,,某些重特征值的線性獨(dú)立特征向量數(shù)(幾何重?cái)?shù))小于其代數(shù)重?cái)?shù),從而使得矩陣所有特征值所對(duì)應(yīng)的線性獨(dú)立特征向量數(shù)之和小于矩陣維數(shù)。,,為此,為能進(jìn)行空間的結(jié)構(gòu)分解和分析,下面引入一組輔助的空間變換基向量--廣義特征向量和特征向量鏈。,,,定義,,廣義特征向量是重特征值,

21、?,i,所對(duì)應(yīng)的某個(gè)線性獨(dú)立的特征向量,v,j,滿足如下方程組的向量,v,j,k,:,,廣義特征向量和特征向量鏈,(2,/12),解上述方程組一直到無(wú)解為止,就可求得特征值,?,i,的特征向量,v,j,所對(duì)應(yīng)的所有廣義特征向量,v,j,k,。,,,重特征值,?,i,的所有線性獨(dú)立特征向量,v,j,及其對(duì)應(yīng)的廣義特征向量,v,j,k,的個(gè)數(shù)等于其代數(shù)重?cái)?shù),否則就還存在其他特征向量或廣義特征向量。,,值得指出的是,并不是重特征值,?,i,的任何一組線性獨(dú)立的特征向量,都能求出所有的廣義特征向量。,,若,?,i,的某一組特征向量,v,j,及其相應(yīng)廣義特征向量,v,j,k,的個(gè)數(shù)小于該特征值的代數(shù)重?cái)?shù)

22、,則應(yīng)重新選取其他一組線性獨(dú)立的特征向量并求取相應(yīng)的廣義特征向量。,,廣義特征向量和特征向量鏈,(3,/12),重特征值,?,i,的特征向量,v,j,的廣義特征向量,v,j,,1,,,v,j,,2,,…,組成的向量鏈稱為,?,i,的特征向量,v,j,對(duì)應(yīng)的特征向量鏈。,,廣義特征向量并不是矩陣的特征向量,它只是與對(duì)應(yīng)的特征向量組成該矩陣在,n,維線性空間中的一個(gè)不變子空間。,,矩陣的所有特征向量和廣義特征向量線性獨(dú)立,并且構(gòu)成,n,維線性空間的一組基底。,,這在矩陣分析中是相當(dāng)重要的。,,廣義特征向量和特征向量鏈,(4,/12),下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)簡(jiǎn)單介紹線性空間的特征子空間分解。,,例,某5

23、維線性空間,,,存在一個(gè)3重特征值和一個(gè)2重特征值。,,3重特征值有2個(gè)獨(dú)立特征向量,2重特征值有1個(gè)獨(dú)立特征向量。,,則該線性空間可分解為如下3個(gè)獨(dú)立的不變特征子空間。,,廣義特征向量和特征向量鏈,(5,/12),,廣義特征向量和特征向量鏈,(6,/12),若該5維線性空間,,,3重特征值有1個(gè)獨(dú)立特征向量,2重特征值有2個(gè)獨(dú)立特征向量。,,則該線性空間可分解為如下3個(gè)獨(dú)立的不變特征子空間。,,廣義特征向量和特征向量鏈,(7,/12)—,例,2-7,例,2-7,,求如下矩陣的特征向量和特征向量鏈,解,1.,,由特征方程|,?,I,-,A,|=0,可求得系統(tǒng)的特征值為,,?,1,=,?,2,=

24、,?,3,=-1,,即-1為系統(tǒng)的三重特征值,其代數(shù)重?cái)?shù)為3。,,,2.,,計(jì)算對(duì)應(yīng)于三重特征值-,1,的特征向量。,,按定義有,,(,?,1,I-,A,),v,1,=0,,廣義特征向量和特征向量鏈,(8,/12)—,例,2-7,即,由于,,n,-rank(,?,1,I-A)=2,,因此,,,該特征值應(yīng)有,2,個(gè)獨(dú)立特征向量,故該重特征值的幾何重?cái)?shù)亦為2。,,由于該重特征值的幾何重?cái)?shù)小于代數(shù)重?cái)?shù)，因此存在廣義特征向量。,,,解之得如下特征向量的通解式,,,v,1,=[,v,11,,v,12,,-(,v,11,+,v,12,),/2],?,,廣義特征向量和特征向量鏈,(9,/12)—,例,2-7

25、,分別令兩組獨(dú)立的{,v,11,,v,12,}即可求得,三重特征值,?,1,的,兩個(gè)線性獨(dú)立的特征向量。,,三重特征值-1只有兩個(gè)線性獨(dú)立特征向量,其幾何重?cái)?shù)為2。,,因此,重特征值-1的兩個(gè)獨(dú)立特征向量中有一個(gè)一定存在廣義特征向量。,,下面通過(guò)求廣義特征向量來(lái)輔助決定選取合適的,v,11,和,v,12,。,,廣義特征向量和特征向量鏈,(,10/12)—,例,2-7,3.,計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征向量的廣義特征向量和特征向量鏈。,,按定義式(,2-51),,特征向量,v,1,的廣義特征向量,v,1,2,滿足,,(,?,1,I-,A,),v,1,2,=-,v,1,,即,因此,根據(jù)方程的可解性,存在廣義特征

26、向量的特征向量,v,1,中的,v,11,和,v,12,滿足,,v,11,=-3,v,12,3,倍關(guān)系,,廣義特征向量和特征向量鏈,(1,1/12)—,例,2-7,此時(shí)的廣義特征向量的解為,,v,1,2,=,[,r,1,,r,2,,-(,r,1,+,r,2,-,v,12,),/2],?,,其中,r,1,和,r,2,為任意數(shù)。,,因此存在廣義特征向量的特征向量,v,1,為和其對(duì)應(yīng)的廣義特征向量可以分別取為,,v,1,=[,v,11,,v,12,,-(,v,11,+,v,12,),/2],?,,=[-3,v,12,,v,12,,v,12,],?,,=[1 -1/3 -1/3],?,,v,1,2,

27、=,[,r,1,,r,2,,-(,r,1,+,r,2,-,v,12,),/2],?,,,=[1 2/3 -1],?,,廣義特征向量和特征向量鏈,(1,2/12)—,例,2-7,另外一個(gè)不存在廣義特征向量的,三重特征值,?,1,的特征向量為,,v,2,=[,v,11,,v,12,,-(,v,11,+,v,12,),/2],?,=[1 0 -1/2],?,,,本例共求得3個(gè)特征向量和廣義特征向量,。,,由于矩陣,A,的維數(shù)為3,?,3,因此對(duì)應(yīng)于上述特征向量和廣義特征向量,已不存在其他廣義特征向量。,,故特征值,?,1,對(duì)應(yīng)于特征向量,v,1,的特征向量鏈為,v,1,和,v,1,,2,。,

28、,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(1,/12),2.4.3,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形,,,對(duì)角線規(guī)范形是指系統(tǒng)矩陣,A,為對(duì)角線矩陣的一類狀態(tài)空間模型。,,對(duì)于該類狀態(tài)空間模型,由于在系統(tǒng)分析和綜合時(shí),清晰直觀,使問題得以簡(jiǎn)化,,該類系統(tǒng)可簡(jiǎn)化成,n,個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的并聯(lián),,故在狀態(tài)空間分析法中是較重要的一類特殊狀態(tài)空間模型。,,任何具有,n,個(gè)線性獨(dú)立特征向量的狀態(tài)空間模型一定能經(jīng)狀態(tài)變換變換成對(duì)角線規(guī)范形。,,該結(jié)論可詳細(xì)地并構(gòu)造性地證明如下。,,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(2,/12),結(jié)論,,已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,其中系統(tǒng)矩陣,若,A,的,n,個(gè)特征值,?,1,,,?,2,,…,,?,

29、n,所對(duì)應(yīng)的特征向量線性獨(dú)立,則必存在變換矩陣,P,,,使其進(jìn)行狀態(tài)變換,x,=,P,,后為對(duì)角線規(guī)范形,即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,為對(duì)角線矩陣,并且變換矩陣,P,可取為,,P,=[,p,1,,,p,2,,,…,,p,n,],,其中,p,i,為矩陣,A,對(duì)應(yīng)于特征值,?,i,的特征向量。,,三、化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(3,/12),證明,若,p,i,為對(duì)應(yīng)與特征值,?,i,的獨(dú)立特征向量,則必有,,Ap,i,=,?,i,p,i,,因此有,,[,Ap,1,,Ap,2,…,Ap,n,]=[,?,1,p,1,,?,2,p,2,…,?,n,p,n,],,對(duì)上式兩邊分別有,,[,Ap,1,,Ap,2,…,A

30、p,n,]=,A,[,p,1,,p,2,…,p,n,]=,AP,,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(4,/12),故,,AP,=,P,diag{,?,1,?,2,…,?,n,},,即,,P,-1,AP,=diag{,?,1,?,2,…,?,n,},即證明了結(jié)論。,對(duì)原狀態(tài)方程進(jìn)行線性變換,,,的后,可得,,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(,5/12)-,例,2-8,例,2-8,,試將下列狀態(tài)空間模型變換為對(duì)角線規(guī)范形,,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(,6/12)-,例,2-8,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,,?,1,=-1,,?,2,=-2,,?,3,=-3,,,2.,求特征值所對(duì)應(yīng)的

31、特征向量。,,由前述的方法可求得特征值,?,1,,,?,2,和,?,3,所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為,,p,1,=[1 0 1],?,,p,2,=[1 2 4],?,,p,3,=[1 6 9],?,,,3.,取,A,的特征向量組成變換矩陣,P,并求逆陣,P,-1,,,即有,,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(,7/12)—,例,2-8,4,.,計(jì)算各矩陣,5.,,系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(,8/12),下面給出快速計(jì)算矩陣特征向量及對(duì)角線規(guī)范形的一個(gè)特例:,,在第三節(jié)討論的狀態(tài)空間模型中,其系統(tǒng)矩陣為,其特征多項(xiàng)式為,,|,?,I-,A,|=,?,n,+,

32、a,1,?,n,-1,+…+,a,n,-1,?+,a,n,,即該類矩陣的最后一行與特征多項(xiàng)式的系數(shù)一一對(duì)應(yīng)。,,該類特殊系統(tǒng)矩陣,A,稱為,友矩陣,。,單位,,矩陣,,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(,9/12),友矩陣的特征向量的特點(diǎn):,,當(dāng)特征值為,?,i,時(shí),其對(duì)應(yīng)的特征向量為,該結(jié)論可由下式證明。,即,p,i,為友矩陣的特征值,?,i,對(duì)應(yīng)的特征向量。,,化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(,10/12)-,例,2-9,因此,當(dāng)友矩陣的特征值互異時(shí),將友矩陣變換成對(duì)角線矩陣的變換矩陣恰為下述,范德蒙矩陣,例,2-9,,試將下列狀態(tài)空間模型變換為對(duì)角線規(guī)范形,,三、化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(1,1/12

33、)-,例,2-9,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,,?,1,=0,,?,2,=-1,,?,3,=-2,,,2.,由于,A,為友矩陣,故將,A,變換成對(duì)角線矩陣的變換矩陣,P,及其,逆陣,P,-1,分別為,,三、化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形(1,2/12)—,例,2-9,3,.,計(jì)算各矩陣,4,.,,系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,,化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形(1/1),2.4.4,化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形,,,若系統(tǒng)存在重特征值且線性獨(dú)立特征向量數(shù)小于該特征值的重?cái)?shù)時(shí),則系統(tǒng)矩陣,A,不能變換成對(duì)角線矩陣。,,在此種情況下,,A,可變換成約旦矩陣,系統(tǒng)表達(dá)式可變換成約旦規(guī)范

34、形。,,下面將分別討論,,約旦塊和約旦矩陣,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,,約旦塊和約旦矩陣,(1/,3),1.,約旦塊和約旦矩陣,,,矩陣的約旦塊的定義為,由,l,個(gè)約旦塊,J,i,組成的塊對(duì)角的矩陣稱為約旦矩陣,如,,J,=block-diag{,J,1,,J,2,,…,,J,l,},,約旦塊和約旦矩陣,(2/,3),下述矩陣均為約旦矩陣,上述第一個(gè)約旦矩陣有兩個(gè)約旦塊,,,分別為,1,?,1,維的特征值,2,的約旦塊和,3,?,3,維的特征值,-1,的約旦塊,;,,第二個(gè)約旦矩陣有三個(gè)約旦塊,,,分別為,1,?,1,維的特征值,3,的約旦塊以及,1,?,1,維和,2,?,2,維的特征值,-1,的

35、兩個(gè)約旦塊。,,約旦塊和約旦矩陣,(,3/3),由約旦塊和約旦矩陣的定義可知,,,對(duì)角線矩陣可視為約旦矩陣的特例,,其每個(gè)約旦塊的維數(shù)為1,?,1。,,在本課程中,,若未加以特別指出的話,則所有對(duì)約旦矩陣有關(guān)的結(jié)論都同樣適用于對(duì)角線矩陣。,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(1/16),2.,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,,,定義,系統(tǒng)矩陣,A,為約旦矩陣的狀態(tài)空間模型稱為約旦規(guī)范形。,,,與對(duì)角線規(guī)范形一樣,約旦規(guī)范形也是線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析中一種重要的狀態(tài)空間模型。,,下面討論一般狀態(tài)空間模型與約旦規(guī)范形之間的線性變換的計(jì)算問題。,,,對(duì)于任何有重特征值且其線性獨(dú)立特征向量數(shù)小于其維數(shù)的矩陣,雖然不能通過(guò)

36、相似變換化成對(duì)角線矩陣,但,,可經(jīng)相似變換化為約旦矩陣。,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(2/16),狀態(tài)空間模型變換與對(duì)角線規(guī)范形、約旦矩陣規(guī)范形的關(guān)系?,一般狀態(tài),,空間表達(dá)式,對(duì)角線規(guī)范形,約旦規(guī)范形,n,個(gè)獨(dú)立特征向量,代數(shù)重?cái)?shù)=幾何重?cái)?shù),代數(shù)重?cái)?shù)>幾何重?cái)?shù),,n,個(gè)獨(dú)立特征向量與廣義特征向量,特例,線性變換,Understand,?,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(3/16),若將對(duì)角線矩陣視為約旦矩陣的特例的話,則任何矩陣皆可經(jīng)相似變換化為約旦矩陣。,,相應(yīng)地,任何狀態(tài)空間模型都可經(jīng)狀態(tài)變換變換成約旦規(guī)范形。,,任何矩陣都可變換成約旦矩陣,但能變換成有幾個(gè)約旦塊的約旦矩陣,則與系統(tǒng)的特征向量有關(guān)。

37、對(duì)此有如下,結(jié)論,:,,矩陣所變換成的約旦矩陣的約旦塊數(shù)等于該矩陣的線性獨(dú)立特征向量數(shù)(即幾何重?cái)?shù))。,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(4/16),由前面討論可知:,,任何狀態(tài)空間模型一定能經(jīng)狀態(tài)變換變換成約旦規(guī)范形。,,該結(jié)論可詳細(xì)地并構(gòu)造性地?cái)⑹霾⒆C明如下。,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(4/16),結(jié)論,,已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,x,’,=,A,x,+,B,u,,若,A,的共有,p,(,p,<,n,),個(gè)互異的特征值,,l,(,p,?,l,?,n,),個(gè)線性獨(dú)立特征向量,p,i,及相應(yīng)地廣義特征向量,p,i,j,(,i,=1,2,…,,l,;,j,=1,2,…,,m,i,),,,則必存在變換矩

38、陣,P,,,使其進(jìn)行狀態(tài)變換,x,=,P,,后為約旦規(guī)范形,即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,其中系統(tǒng)矩陣為約旦矩陣,并且變換矩陣,P,可取為,,P,=[,P,1,P,2,,…,P,l,],,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(5/16),變換矩陣,P P,=[,P,1,P,2,,…,P,l,],中的,P,i,為矩陣,A,對(duì)應(yīng)于線性獨(dú)立特征向量,p,i,的特征向量鏈組成的如下分塊矩陣,證明,若,p,i,和,p,i,j,為對(duì)應(yīng)與特征值,?,i,的獨(dú)立特征向量和廣義特征向量,則,必有,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(6/16),因此有,其中,J,i,為相應(yīng)的約旦塊。,Ap,i,=,?,i,p,i,,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(7/16)

39、,即,,P,-1,AP,=block-diag{,J,1,,J,1,…,J,l,},故,AP,i,=,P,i,J,i,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(8/16)—例,2-10,即對(duì)原狀態(tài)方程進(jìn)行線性變換,,的后,可得,,=,P,-1,AP,=block-diag{,J,1,,J,2,,…,,J,l,},,即證明了結(jié)論。,,,例,2-10,,試將下列狀態(tài)空間模型變換為約旦規(guī)范形,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(9/16)—例,2-10,解,1.,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,,?,1,=,?,2,=,?,3,=2,,?,4,=-1,,,2.,求特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。,,由前述的方法可求得特征值

40、2由如下兩個(gè)線性獨(dú)立特征向量,,P,1,1,=[1 1 -1 1/3],?,P,2,1,=[1 0 0 -1],?,,其中,p,1,1,無(wú)廣義特征向量,而,p,2,1,的廣義特征向量為,,P,2,2,=[1 1 0 -1],?,,特征值,-1的特征向量為,,P,3,1,=[0 0 0 1],?,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(10/16)—例,2-10,3.,取,A,的特征向量和廣義特征向量組成變換矩陣,P,并求逆陣,P,-1,,,即有,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(11/16)—例,2-10,4,.,計(jì)算各矩陣,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(12/16)—例,2-10,5.,,系統(tǒng)在新的

41、狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(13/16),對(duì)前面討論的特殊矩陣--友矩陣,它的廣義特征向量的快速計(jì)算方法為:,,當(dāng)特征值為,?,i,時(shí),其對(duì)應(yīng)的特征向量和廣義特征向量分別為,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(14/16)—例,2-11,解,1.,,先求,A,的特征值。由特征方程可求得特征值為,,?,1,=-1,,?,2,=,?,3,=-2,其中,m,i,為該特征值的代數(shù)重?cái)?shù)。,,該結(jié)論可由廣義特征向量和友矩陣的定義證明。,,,例,2-11,,試將下列狀態(tài)空間模型變換為約旦規(guī)范形,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(15/16)—例,2-11,3,.,計(jì)算各矩陣,2.,,由于,A,為友矩陣,故將,A,變換成對(duì)角線矩陣的變換矩陣,P,及其,逆陣,P,-1,分別為,,約旦規(guī)范形及其計(jì)算,(16/16)-例,2-11,4,.,,系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,,