線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,目錄(1/1),目 錄,,,概述,,5.1,李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義,,5.2,李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理,,5.3,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,,5.4,非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,,5.5 Matlab,問題,,,本章小結(jié),,5.3,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,,,本節(jié)主要研究李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。,,討論的主要問題有:,,基本方法,: 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,,矩陣?yán)钛牌罩Z夫方程的求解,,線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,,線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理及穩(wěn)定性分

2、析,李雅普諾夫方法在,線性系統(tǒng)的應(yīng)用,(1/2),,由上節(jié)知,,,李雅普諾夫第二法是分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法,,,但具體運(yùn)用時(shí)將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數(shù)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,,由于各類系統(tǒng)的復(fù)雜性,,,在應(yīng)用李雅普諾夫第二法時(shí),,,難于建立統(tǒng)一的定義李雅普諾夫函數(shù)的方法。,,目前的處理方法是,,,針對系統(tǒng)的不同分類和特性,,,分別尋找建立李雅普諾夫函數(shù)的方法。,李雅普諾夫方法在,線性系統(tǒng)的應(yīng)用,(,2/2),,本節(jié)將討論對線性系統(tǒng),,,包括,,線性定常連續(xù)系統(tǒng),、,,線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng),和,,線性定常離散系統(tǒng),,,,如何利用李雅普諾夫第二法及如何選取李雅普諾夫函數(shù)來分析該線性系統(tǒng)

3、的穩(wěn)定性。,李雅普諾夫方法在線性,系統(tǒng)的應(yīng)用,(,3/2),,5.3.1,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,,,設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,x,’,=,A,x,,這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn):,,1),,當(dāng)系統(tǒng)矩陣,A,為非奇異時(shí),,,系統(tǒng)有且僅有一個(gè)平衡態(tài),x,e,=0,,即為狀態(tài)空間原點(diǎn);,,2),若該系統(tǒng)在平衡態(tài),x,e,=0,的某個(gè)鄰域上是漸近穩(wěn)定的,,,則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的;,,3),對于該線性系統(tǒng),,,其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式。,線性,定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(1,/21),,上述第(3)點(diǎn)可由如下定理中得到說明。,,,定理,5-7,,線性定

4、常連續(xù)系統(tǒng),,x,’,=,A,x,,的平衡態(tài),x,e,=0,為漸近穩(wěn)定的充要條件為:,,對任意給定的一個(gè)正定矩陣,Q,,,都存在一個(gè)正定矩陣,P,為矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,的解,,,并且正定函數(shù),V,(,x,)=,x,?,P,x,即為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。,□,線性定常連續(xù),系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(2,/21)—,定理,5-7,,證明,(1) 先證充分性。,,即證明,,,若對任意的正定矩陣,Q,,,存在正定矩陣,P,滿足方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,,,則平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的。,,證明思路：,線性定常連續(xù),系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析

5、,(3,/21),由于,P,正定,,,選,,擇正定函數(shù),V,(,x,)=,x,?,P,x,為李,,雅普諾夫函數(shù),計(jì)算李雅普諾夫函數(shù),V,(,x,)對時(shí)間,t,的,全導(dǎo)數(shù),V,’,(,x,),通過判定,V,’,(,x,)的定號性來判定平衡態(tài),x,e,的穩(wěn)定性,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(4,/21),證明過程為：,,已知滿足矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,的正定矩陣,P,存在,,,故令,,V,(,x,)=,x,?,P,x,.,,由于,V,(,x,),為正定函數(shù),,,而且,V,(,x,),沿軌線對時(shí)間,t,的全導(dǎo)數(shù)為,,V,’,(,x,)=,(,x,?,P,x,),

6、’,,=,x,?,’,P,x,+,x,?,P,x,’,,=(,A,x,),?,P,x,+,x,?,P,a,x,,=,x,?,(,A,P,+,P,A,),x,,=-,x,?,Q,x,,而,Q,為正定矩陣,,,故,V,’,(,x,),為負(fù)定函數(shù),,根據(jù),漸近穩(wěn)定性定理,(,定理,5-4,),,即證明了系統(tǒng)的平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的,,,于是充分性得證。,,,(2) 再證必要性。,,即證明:若系統(tǒng)在,x,e,=0,處是漸近穩(wěn)定的,,,則對任意給定的正定矩陣,Q,,,必存在正定矩陣,P,滿足矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,證明思路：,,由正定矩陣,Q,構(gòu)造滿足,矩陣方程,,PA

7、,+,A,?,P,=-,Q,,的正定矩陣,P,。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(5,/21),,證明過程為,：,,對任意給定的正定矩陣,Q,,構(gòu)造,矩陣,P,如下,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(6,/21),由矩陣指數(shù)函數(shù),e,At,的定義和性質(zhì)知,,,上述被積矩陣函數(shù)的各元素一定是具有,t,k,e,?,t,形式的諸項(xiàng)之和,,,其,?,是,A,的特征值。,,因?yàn)橄到y(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,,,則矩陣,A,的所有特征值,?,的實(shí)部一定小于零,,,因此上述積分一定存在,,,即,P,為有限對稱矩陣。,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(7,/21),又由于,,Q,正定,,

8、,,矩陣指數(shù)函數(shù),e,At,可逆,,,,則由方程(,5-15),可知,,,P,為有限的正定矩陣。,,因此,,,P,為正定矩陣。,,線性定常,連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,(8,/21),將矩陣,P,的表達(dá)式(,5-15),代入矩陣方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,可得:,因此,,,必要性得證。,,線性定常,連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,(9,/21),上述定理給出了一個(gè)判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡便方法,,,該方法,,不需尋找李雅普諾夫函數(shù),,,,不需求解系統(tǒng)矩陣,A,的特征值,,,,只需解一個(gè)矩陣代數(shù)方程即可,,,計(jì)算簡便。,,該矩陣方程又稱為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程。,,

9、由上述定理,,,可得如下關(guān)于正定矩陣,P,是李雅普諾夫矩陣方程的唯一解的推論。,,推論,5-1,,如果線性定常系統(tǒng),x,’,=,A,x,在平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的,,,那么李雅普諾夫代數(shù)方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,對給定的任意正定矩陣,Q,,,存在唯一的正定矩陣解,P。,,,□,,,證明,,用反證法證明,。,,即需證明: 李雅普諾夫代數(shù)方程由兩個(gè)正定矩陣解,,,但該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,,設(shè)李雅普諾夫代數(shù)方程由兩個(gè)正定矩陣解,P,1,和,P,2,,,則將,P,1,和,P,2,代入該方程后有,,P,1,A,+,A,?,P,1,=-,Q,,P,2,A,+,A,?,P,2,=-

10、,Q,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(10,/21)—,推論1,,兩式相減,,,可得,,(,P,1,-,P,2,),A,+,A,?,(,P,1,-,P,2,)=0,,因此,,,有,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(11,/21),所以,,,對任意的,t,,,下式均成立:,令,t,=0,和,t,=,T,(,?,0),,則有,,推論,5-1,,如果線性定常系統(tǒng),x,’,=,A,x,在平衡態(tài),x,e,=0,是漸近穩(wěn)定的,,,那么李雅普諾夫代數(shù)方程,,PA,+,A,?,P,=-,Q,,對給定的任意正定矩陣,Q,,,存在唯一的正定矩陣解,P。,,由,定理,5-7,可知,,,當(dāng),P,

11、1,和,P,2,為滿足李雅普諾夫方程的正定矩陣時(shí),,,則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。,,故系統(tǒng)矩陣,A,為漸近穩(wěn)定的矩陣,,,矩陣指數(shù)函數(shù),e,AT,將隨著,T,→,?,而趨于零矩陣,,,即,,P,1,-,P,2,=0,或,P,1,=,P,2,,,?,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(12,/21),,在應(yīng)用上述基本定理和推論時(shí),,,還應(yīng)注意下面幾點(diǎn):,,如果,V,’,(,x,,,t,)=-,x,?,Q,x,沿任意一條狀態(tài)軌線不恒為零,,,那么,Q,可取為非負(fù)定矩陣,,,而系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的充要條件為:,,存在正定矩陣,P,滿足李雅普諾夫代數(shù)方程。,,Q,矩陣只要選成正定的或根據(jù)上述情況選為

12、非負(fù)定的,,,那么最終的判定結(jié)果將與,Q,的不同選擇無關(guān)。,,由,定理,5-7,及其,推論,5-1,可知,,,運(yùn)用此方法判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時(shí),,,最方便的是選取,Q,為單位矩陣,,,即,Q,=,I,。,,于是,,,矩陣,P,的元素可按如下李雅普諾夫代數(shù)方程:,,PA,+,A,?,P,=-,I,,求解,,,然后根據(jù),P,的正定性來判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(13,/21),,下面通過一個(gè)例題來說明如何通過求解矩陣?yán)钛牌罩Z夫方程來判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,,,例,5-9,,試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性

13、,分析,(14,/21)—,例,5-9,解,,設(shè)選取的李雅普諾夫函數(shù)為,,V,(,x,)=,x,?,P,x,,由,定理,5-7,可知,,,上式中的正定矩陣,P,滿足李雅普諾夫方程,,PA,+,A,?,P,=-,I,.,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(15,/21)—,例,5-9,于是,,,令對稱矩陣,P,為,將,P,代入李雅普諾夫方程,,,可得,展開后得,,,有:,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(16,/21),因此,,,得如下聯(lián)立方程組:,解出,p,11,,,p,12,和,p,22,,,得,,為了驗(yàn)證對稱矩陣,P,的正定性,,,用合同變換法檢驗(yàn)如下:,線性定常連續(xù)

14、系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(17,/21),由于變換后的對角線矩陣的對角線上的元素都大于零,,,故矩陣,P,為正定的。因此,,,系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。,,此時(shí),,,系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)和它沿狀態(tài)軌線對時(shí)間,t,的全導(dǎo)數(shù)分別為,,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(1,8/21)—,例,5-10,例,5-10,,控制系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。,,要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,,,試確定增益的取值范圍。,解,由圖可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(1,9/21)—,例,5-10,不難看出,,,原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。,,選取,Q,為非負(fù)定實(shí)對稱矩陣,,,則,由于為非

15、正定,,,且只在原點(diǎn)處才恒為零,,,其他非零狀態(tài)軌跡不恒為零。,,因此,,,對上述非負(fù)定的,Q,,,李雅普諾夫代數(shù)方程和相應(yīng)結(jié)論依然成立。,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(,20/21)—,例,5-10,設(shè),P,為實(shí)對稱矩陣并代入李雅普諾夫方程,,,可得,求得,為使原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的,,,矩陣,P,須為正定。,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,分析,(,21/21)—,例,5-10,采用合同變換法,,,有,從而得到,P,為正定矩陣的條件,即,,0<,k,<6,,,由上例可知,,,選擇,Q,為某些非負(fù)定矩陣，也可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性,,,益處是可使數(shù)學(xué)運(yùn)算得到簡化。,,