《同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)(第七版)1-3 函數(shù)極限》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)(第七版)1-3 函數(shù)極限（71頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 三 講 函 數(shù) 的 極 限 函數(shù)的極限一 、 函 數(shù) 極 限 的 概 念二 、 不 同 過 程 的 函 數(shù) 極 限 的 關(guān) 系三 、 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 函數(shù)的極限一 、 函 數(shù) 極 限 的 概 念二 、 不 同 過 程 的 函 數(shù) 極 限 的 關(guān) 系三 、 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì) 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（
2、 三 ） 各 過 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 1自變量恒取正值，遞增地?zé)o限變大x u例( ) arctanf x x 2當(dāng)x 時，( ) 2f x xoylim ( ) x f x A （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 2自變量恒取負(fù)值， |x|遞增地?zé)o限變大x u例
3、：2 xoy( ) arctanf x x當(dāng)x 時，( ) 2f x lim ( ) x f x A （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 xoy3自變量可取正值，也可取負(fù)值， |x|無限變大x u例：21( ) 1f x x 當(dāng)x 時，( ) 0f x lim ( )x f x A （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 xoy
4、4x遞增地?zé)o限接近常數(shù)x0，但恒不等于x0u例：, 1,( ) 0, 1,2, 1.x xf x xx x 0 x x -1 1當(dāng)1x 時，( ) 1f x 0lim ( )x x f x A （左極限） （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 xoy 5x遞減地?zé)o限接近常數(shù)x0，但恒不等于x0u例：, 1,( ) 0, 1,2, 1.x xf x xx x 0 x x 1 1當(dāng)1x 時，( ) 1f x （右極限）0lim ( )x x f x A （一）自變量
5、的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 （一）自變量的不同變化過程x x x 0 x x 0 x x 0 x x123456 xoy 6|x-x0|無限變小，但恒不等于0u例：2 1( ) 1xf x x 0 x x 12當(dāng)1x 時，( ) 2f x 0lim ( )x x f x A 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限
6、 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 12 xoy1 1 xoyxoy-1 1 xoyx 函數(shù)極限的統(tǒng)一定義如果存在常數(shù)A具有如下性質(zhì)：,0 “一個時刻”,使得“在該時刻以后”恒有( ) ,f x A 2 xoy 2 xoyx x 0 x x 0 x x 0 x x則稱函數(shù)在該過程中極限存在，極限為A.考慮自變量的某個變化過程， 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自 變 量 的 不 同 變 化 過 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 一、函數(shù)極限的概念（ 一 ） 自
7、 變 量 的 不 同 變 化 過 程（ 二 ） 函 數(shù) 極 限 的 統(tǒng) 一 定 義（ 三 ） 各 過 程 的 函 數(shù) 極 限 定 義（ 四 ） 舉 例 函數(shù)極限的統(tǒng)一定義,0 “一個時刻”,使得“在該時刻以后”恒有( )f x A ( )A f x A xoyA+A-A x x x 0 x x 0 x x 0 x x 123456（三）各過程的函數(shù)極限定義 x x x 0 x x 0 x x 0 x x 123456（三）各過程的函數(shù)極限定義 1自變量恒取正值，遞增地?zé)o限變大x u例( ) arctanf x x 2當(dāng)x 時，( ) 2f x xoylim ( ) x f x A 1自變量恒取
8、正值，遞增地?zé)o限變大x u例( ) arctanf x x 2當(dāng)x 時，( ) 2f x xoylim ( ) x f x A “一個時刻”使得“在該時刻以后”恒有( ) .f x A 0 ， u例2 xoy X “一個時刻”使得“在該時刻以后”恒有X0當(dāng)xX時1自變量恒取正值，遞增地?zé)o限變大x ( ) arctanf x x當(dāng)x 時，( ) 2f x lim ( ) x f x A 0 ，( ) .f x A x x x 0 x x 0 x x 0 x x 123456（三）各過程的函數(shù)極限定義 x x x 0 x x 0 x x 0 x x 123456（三）各過程的函數(shù)極限定義 2自變量
9、恒取負(fù)值， |x|遞增地?zé)o限變大x u例：2 xoy( ) arctanf x x當(dāng)x 時，( ) 2f x lim ( ) x f x A 2自變量恒取負(fù)值， |x|遞增地?zé)o限變大x u例：2 xoy( ) arctanf x x當(dāng)x 時，( ) 2f x lim ( ) x f x A “一個時刻”使得“在該時刻以后”恒有( ) .f x A 0 ， u例：2 xoy “一個時刻”使得“在該時刻以后”恒有 -XX0當(dāng)x0當(dāng)|x|X時3自變量可取正值，也可取負(fù)值， |x|無限變大x 21( ) 1f x x 當(dāng)x 時，( ) 0f x lim ( )x f x A 0 ，( ) .f x A
10、 x x x 0 x x 0 x x 0 x x 123456（三）各過程的函數(shù)極限定義 x x x 0 x x 0 x x 0 x x 123456（三）各過程的函數(shù)極限定義 xoy 4x遞增地?zé)o限接近常數(shù)x0，但恒不等于x0u例：, 1,( ) 0, 1,2, 1.x xf x xx x 0 x x -1 1當(dāng)1x 時，( ) 1f x 0lim ( )x x f x A （左極限） xoy 4x遞增地?zé)o限接近常數(shù)x0，但恒不等于x0u例：, 1,( ) 0, 1,2, 1.x xf x xx x 0 x x -1 1當(dāng)1x 時，( ) 1f x 0lim ( )x x f x A （左極限） “一個時刻”使得“在該時刻以后”恒有0 ，( ) .f x A xoyu例：-1 1 “一個時刻”使得“在該時刻以后”恒有 0 1-當(dāng)x0-x0當(dāng)x0 x0 1+1-當(dāng)x 0-x0，則在該過程中必存在“一個時刻”，使得在該“時刻以后”恒有：f (x)0.推論若函數(shù) f (x)在某一過程中不小于零，且存在極限A，則A0. 函數(shù)的極限一 、 函 數(shù) 極 限 的 概 念二 、 不 同 過 程 的 函 數(shù) 極 限 的 關(guān) 系三 、 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì)
同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)(第七版)1-3 函數(shù)極限
