《簡單的線性規(guī)劃問題》教學(xué)設(shè)計

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1、《簡單的線性規(guī)劃問題》教學(xué)設(shè)計 一、教學(xué)內(nèi)容分析 線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支 ，主要用于解 決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型。簡單 的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個變量的線性規(guī)劃， 其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出。 涉 及更多個變量的線性規(guī)劃問題不能用初等方法解決。 與 其 它 部 分 知 識 的 聯(lián) 系， 表 現(xiàn) 在： 二、學(xué)情分析 本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)了不等式、直線方程的基礎(chǔ)上，通過實(shí)例，鞏固二元一次不等式（組）所 表示的平面區(qū)域，使學(xué)生從實(shí)際優(yōu)化問題中抽象出約束條件和目標(biāo)函數(shù)， 理解平面區(qū)

2、域的意 義，并會畫出平面區(qū)域， 還能初步用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示簡單的二元線性規(guī)劃的限制條件， 將實(shí) 際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。 從數(shù)學(xué)知識上看，問題涉及多個已知數(shù)據(jù)、 多個字母變量，多個不等關(guān)系，從數(shù)學(xué)方法上看， 學(xué)生對圖解法的認(rèn)識還很少， 數(shù)形結(jié)合的思想方法的掌握還需時日， 這都成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困 難。所以，通過這種從點(diǎn)與數(shù)對的對應(yīng)， 線與方程的對應(yīng)，到平面區(qū)域與不等式組的對應(yīng)的 過渡和提升，使學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想方法的實(shí)質(zhì)及其重要性。 三、設(shè)計思想 本課以問題為載體， 以學(xué)生為主體，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為手段， 以問題解決為目的，以多媒體課件 作為平臺，激發(fā)他們動手操作、觀察思考、猜想探究的

3、興趣。注重引導(dǎo)幫助學(xué)生充分體驗(yàn) 從 實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題”的建構(gòu)過程， 從具體到一般”的抽象思維過程，應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合”的思 想方法，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)會分析問題、解決問題的能力。 四、教學(xué)目標(biāo) 1 .使學(xué)生了解二元一次不等式表示平面區(qū)域； 2 .了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、 目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念； 3 .了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題 4 .培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高 學(xué)生建模”和解決實(shí)際問題的能力 5 .結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和 用數(shù)學(xué)”的意識，激勵學(xué)生創(chuàng)新 五、教

4、學(xué)重難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題 教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。 六、教學(xué)支持條件分析 教師可借助計算機(jī)或圖形計算器，從激勵學(xué)生探究入手，講練結(jié)合，精準(zhǔn)的直觀演示能 使教學(xué)更富趣味性和生動性 . 通過讓學(xué)生觀察、討論、辨析、畫圖，親身實(shí)踐，調(diào)動多感官去體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模、用模的思 想，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)形結(jié)合”思想方法建立起代數(shù)問題和幾何問題間的密切聯(lián)系. 七、教學(xué)過程 1、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題 引例：某工廠用 A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用 4個A配件, 耗時1h;每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用 4個A配件，耗時2h.已知該廠每天最多可從配

5、件廠獲得 16個A配件和12個B配件，按每天工作 8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？ 問題1:該廠日生產(chǎn)安排受哪些條件約束？ 設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日分別生產(chǎn) x, y件，得出二元一次不等式組： 丸十2、M 8. Ax 二 16, 」之12. y e N. ［師生活動］學(xué)生讀題，引導(dǎo)閱讀理解 后，列表 一建立數(shù)學(xué)關(guān)系式 一畫平面區(qū)域，教師關(guān)注有多少學(xué)生寫出了線性數(shù)學(xué)關(guān)系式， 有多少學(xué)生畫出了相應(yīng)的平面區(qū)域， 在巡視中并發(fā)現(xiàn)代表性的練習(xí)進(jìn)行展示， 強(qiáng)調(diào)這是同一 事物的兩種表達(dá)形式數(shù)與形。 ［設(shè)計意圖］：引導(dǎo)學(xué)生讀題，完成實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程.承前一課時，使學(xué)生進(jìn)一步熟

6、練 如何從實(shí)際問題中抽象出不等式組(約束條件)并用平面區(qū)域表示。 2、分析問題，形成概念 問題2:可能的日安排，什么意思？ (0, 0) , ( 0, 1) , (0,2), (0, 3); (1,0), (1,1), (1,2), ( 1, 3); (2, 0) , (2,1), ( 2, 2) , (2, 3); ［師生活動］教學(xué)中，可以結(jié)合幾何畫板，讓學(xué)生 讀出”可行解，即可行域中的 18個整點(diǎn), 對于邊界附近的點(diǎn)，如(3, 3) , (4, 3, ) , (4, 4)是否可行域中，需引導(dǎo)學(xué)生配合不 等式來判斷，這將有助于學(xué)生手繪解決問題時的慎密思考. ［設(shè)計意圖

7、］:讓學(xué)生了解日生產(chǎn)方案的數(shù)學(xué)符號表示，不等式組（ 1）的整數(shù)解（x ,y）的實(shí) 際意義，并給出 何行解"、可行域”概念。 問題3:若每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利 2萬元，每生產(chǎn)一彳^乙產(chǎn)品獲利 3萬元，如何安排生產(chǎn) 利潤最大？ 利潤函數(shù)模型的建立.設(shè)生產(chǎn)利潤為 z （萬元），則z=2x+3y。 ［師生活動［①引導(dǎo)學(xué)生分別求各種可能安排的利潤（列舉）： z=? x y z=2x+3y 0 o 0 0 1 3 ?? … … 4 1 11 4 2 14 觀察得到，當(dāng)x=4, y=2時，z最大，z的最大值為14萬元.引出最優(yōu)解概念。 ②以上過程計算繁瑣，

8、操作難度大，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整探究思路，尋找解決問題的新方法。由 2 芭 y — — — x + - 利潤函數(shù)的解析式 z=2x+3y,可變形為 3 3 ,故求z的最大值，可轉(zhuǎn)化為求 二 不 卜 的最大值，而B是直線z=2x+ 3y在y軸上的截距，只要找到直線系 z=2x + 3y與y軸 的交點(diǎn)、工’的最高即可. 如it劃出 竄33 g電 e如 2 x+3-y e 44 2-Xtly s 3 y = 1X17 = 1J.7? ③示范解答 解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日分別生產(chǎn) x, y件，依題意，得不等

9、式組: 4"12. keN, （列出不等式） （畫出可行域） 平面區(qū)域（如圖）， 依題意，得目標(biāo)函數(shù) z=2x + 3y. （求出目標(biāo)函數(shù)） 作直線2x+3y=0,平移之，經(jīng)過點(diǎn) M時，z最大。（平移目標(biāo)函數(shù)表示直線） 由x=4, x+2y=8得點(diǎn)M的坐標(biāo)（4, 2）. （求（寫）出最優(yōu)解） 因此，當(dāng) x=4, y=2 時，z 最大，Zmax=2X4+3>2=14 （萬元）. ［設(shè)計意圖］:通過添加最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)入對新知識的探究， 借助計算機(jī)技術(shù)展示數(shù)學(xué)關(guān)系式平 面區(qū)域、表格等各種形態(tài)的表現(xiàn)形式，在數(shù)、圖、表的關(guān)聯(lián)中進(jìn)行觀察，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形

10、結(jié) 合思想。 從筆算到計算，從點(diǎn)到直線再到平面（區(qū)域），從一個函數(shù)到多個函數(shù)，從特殊到一般， 從具體到抽象的認(rèn)識過程，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的過程，獲得問題的解 決，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng) 3、反思過程，提煉方法 問題4:什么線性規(guī)劃問題是？求解簡單線性規(guī)劃的步驟？ 線性規(guī)劃問題： 在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問題，稱為線性 規(guī)劃問題.線性規(guī)劃問題的模型由目標(biāo)函數(shù)和可行域組成， 其中可行域是可行解的集合， 可 行解是滿足約束條件的解.使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu) 解。 步驟：第1步：依題意，列出不等式組；

11、第2步：畫出可行域（實(shí)際上也就找到了可行解）； 第3步：依題意，求出目標(biāo)函數(shù) ； 第4步：作出目標(biāo)函數(shù)所表示的某條直線（通常選作過原點(diǎn)的直線），平移此直線并觀 察此直線經(jīng)過可行域的哪個（些）點(diǎn)時，函數(shù)有最大（?。┲? 第5步：求（寫）出最優(yōu)解和相應(yīng)的最大（?。┲怠? （建、畫、移、求、答） 4、變式演練，深入探究 問題5:如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利 2萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利 4萬元，如何安排生產(chǎn) 利潤最大? 目標(biāo)函數(shù)為z=2x+4y,直線z=2x+4y與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 作出直線2x+4y=0,并平移，觀察知，當(dāng)直線 z=2x+4y經(jīng)過點(diǎn)（2, 3）

12、或（4, 2）時, 直線與y軸的交點(diǎn)最高，即 x=2 , y=3或x=4 , y=2時，z取最大值，且zmax=16. 問題6:如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利 3萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品虧損 2萬元，如何安排生產(chǎn) 利潤最大? 讓學(xué)生先猜測；注意: z的最大值 一直線z=3x - 2y在y軸上的截距— z的最小 值. 目標(biāo)函數(shù)為 z=3x-2y ,直線z=3x-2y與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 0-1 ，3) .作出直線 3x-2y=0,并平移，觀察知，當(dāng)直線 z=3x-2y經(jīng)過點(diǎn)（4, 0）時，直線z=3x-2y與y軸的交 點(diǎn)最低，即x=4 , y=0時，z取最大值，且Zmax=

13、12. ［設(shè)計意圖］進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)目標(biāo)函數(shù)直線的縱截距與 z的最值之間的關(guān)系，有時并不是截距越大, z值越大。這樣使學(xué)生產(chǎn)生思想上的知識的沖突，從而進(jìn)一步認(rèn)識到目標(biāo)函數(shù)直線的縱截距 與Z的最值之間的關(guān)系! 5、運(yùn)用新知，解決問題 (1)求z=2x+y的最大值，使x,y滿足約束條件 (2)求z=3x+5y的最大值，使x,y滿足約束條件 ［5x+3>SU ，八 t+L 工一57百3」 ［設(shè)計意圖］：這里是兩個練習(xí)都是純數(shù)學(xué)問題，主要是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，熟練求出線性目 標(biāo)函數(shù)的最值. 5、歸納總結(jié)，鞏固提高 (1)歸納總結(jié) 為使學(xué)生對所學(xué)的知識有一個完整而深刻的印象，我請學(xué)生從以下兩方面自己小結(jié)。 (1)這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？ (2)學(xué)到了哪些思考問題的方法？ (學(xué)生回答) (2)布置作業(yè) 課下作業(yè) (1)補(bǔ)充：解決線性規(guī)劃問題需要哪些主要步驟？ (2)教科書 P105,習(xí)題3.3, A3 ［設(shè)計意圖］有利于學(xué)生養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時 也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力