《高中數(shù)學(xué)2_4_2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案新人教B版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)2_4_2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案新人教B版選修2-1（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)1 .掌握拋物線的幾何性質(zhì).（重點(diǎn)）2 .掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問(wèn)題.（重點(diǎn)）3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)等問(wèn)題.（難點(diǎn)）基礎(chǔ)初探教材整理拋物線的幾何性質(zhì)閱讀教材P61,完成下列問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)方程y = 2px( p 0)y = - 2px(p0)x = 2py( p0)x = - 2py( p0)圖形性質(zhì)住日 八、八、準(zhǔn)線P x-2P x-2P y= 2p y=2范圍x0, yC Rx0, xe R ywo, xCR x 軸 y 軸 （0,0） e= 1判斷（正確的打“，”，錯(cuò)
2、誤的打“x”）（1）拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱.（）（2）拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，一條對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱中心.（）（3）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同，但是其離心率都相同.（）【答案】（1） X （2） V （3） V質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1： 解惑：疑問(wèn)2: 解惑：疑問(wèn)3: 解惑：小組合作型利用拋物線的性質(zhì)求拋物線方程b例El 已知雙曲線2x-2b2=l(a0, b0)的兩條漸近線與拋物線y2 = 2px( p0)的準(zhǔn)線分別交于 A B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2, 4AOB勺面積為小,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【精彩點(diǎn)撥】由雙曲線離心率求得其漸近線方程，從
3、而求得交點(diǎn)A, B的坐標(biāo)，即可得到三角形面積表達(dá)式，從而得到p的值，進(jìn)而寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程.ca2b2b【自主解答】由已知得己=2,所以一a=4,解得a=0).拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,一 p即2= 3, - p= 6,，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2= 12x或y2= 12x, 其準(zhǔn)線方程分別為 x= 3和x=3.拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用例回正三角形的-個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2= 2 Px(p0)上，求這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng).【精彩點(diǎn)撥】先證明x軸是它們的公共對(duì)稱軸，再求三角形邊長(zhǎng).【自主解答】如圖所示，設(shè)正三角形OAB勺頂點(diǎn)A, B在拋物線上，且坐標(biāo)分別為 A(xi,22yi) , B
4、(X2, y2),貝Uyi=2pxi, y2=2px2.又 OA OB 所以 x2+y2=x2+yl,即 x2 x2+ 2pxi 2Px2= 0,整理得(xi x2)( xi + x2 + 2p) = 0. xi0, x20,2 p0, xi= x2,由此可得 | yi| = | y?| ,即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱，由此得/ AOx= 30 ,所以 yi = -3xi,與 y2=2pxi 聯(lián)立，解得 yi = 2/p, . .|AB=2yi=4/p.拋物線的幾何性質(zhì)在解與拋物線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)具有廣泛的應(yīng)用，但是在解題的過(guò)程中又容易忽視這些隱含的條件.本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和正三角形的性質(zhì)證
5、明A, B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.另外，拋物線方程中變量x, y的范圍也是常用的幾何性質(zhì).再練一題2.等腰直角三角形 AO咕接于拋物線y2=2px(p0), O為拋物線白頂點(diǎn)， OALOB則 RtABO勺面積是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2【解析】由拋物線的對(duì)稱性，可知koA= 1,可得A, B的坐標(biāo)分別為(2p,2p), (2p,1 -，22p) ,Sa abo= 2 X 2 px 4 P= 4p .【答案】B探究共研型拋物線的焦點(diǎn)弦及其它弦的問(wèn)題探究1直線過(guò)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F,與拋物線交于 A(xi, yi), B(x2, y。兩 點(diǎn)，由拋物線的定
6、義知，| AF=xi+p, |BF =x2+p,求|AB.一.p p【提本】| AB = | AF| +1 BF =xi +2+ x2+ 2 = xi + x2+ p.探究2解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題需注意什么?【提示】解決拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過(guò)定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.例圖 過(guò)點(diǎn)Q4,1)作拋物線y= 8x的弦AB,恰被點(diǎn)Q所平分，求AB所在直線的 方程.【精彩點(diǎn)撥】法一：設(shè) A：xi, yi), B(x2, y。，用點(diǎn)差法求kAB；法二：設(shè)直線 AB的方程，建立方程求解.【自主解答】法一 設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為
7、A(xi, yi), E(x2, y),則有2 c2 cyi = 8xi, y2= 8x2,.1. (yi + y2)( yi y2)= 8(xi x2).又 yi+y2 = 2, 1- yi-y2 = 4(xi-x2),所求弦AB所在直線的方程為 y-i = 4(x-4),即 4x- y- i5 = 0.y2= 8x,法二 設(shè)弦AB所在直線的方程為 y=k(x 4) + i.聯(lián)立消去x,y= k x-4 + i,得 ky2-8y-32k+ 8=0, 此方程的兩根就是線段端點(diǎn)A, B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由根與系數(shù)得yi + y2=g.k又 yi+y2=2,k = 4.所求弦AB所在直線的方程為 4x
8、- y- i5 = 0.直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題直線和拋物線相交于 Nxi, yi) , B(x2, y。兩點(diǎn)，直線的斜率為 k.(i) 一般的弦長(zhǎng)公式：| AB = 1i + k21 xi-x2|.(2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)拋物線y2= 2px(p0)的焦點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB=xi + x2+p.(3) “中點(diǎn)弦”問(wèn)題解題策略方法再練一題3.已知y=x+m與拋物線y2=8x交于A, B兩點(diǎn).(i)若|AB =i0,求實(shí)數(shù)m的值；(2)若OAL OB求實(shí)數(shù)m的值.y= x+m,22【解】 由 2 8 得 x + (2m- 8)x+m=0.設(shè) A(xi, yi) , Rx2, y2), 則 x
9、i+x2= 82m| xi - x2= m2, yi y2= m(xi +x2)+xi x2+n2文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持= 8m)因?yàn)閨AB =5+ k2,xi+ X224x1X2 =木 464 32m= 10,所以 m=焉.2(2)因?yàn)?OALOB 所以 XiX2+yiy2= m+8mi= 0,解得 mi= - 8, mi= 0(舍去)，所以 mi= 8.構(gòu)建體系1 .頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是 x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. y2= 4 xB. x2=16yC. y2=16xD. y2=8x2p【解析】依題意知拋物線的萬(wàn)程為y=
10、2px(p 0),又2=4,，p=8,2p=16,故萬(wàn)程為 y2= 16x.【答案】 C2 .若拋物線y2=2x上有兩點(diǎn) A B,且AB垂直于x軸，若|AB=2、/2,則拋物線的焦 點(diǎn)到直線AB的距離為()B.D.1A.21 C.61【解析】 線段AB所在的直線的方程為 x=1,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 2, 0 ,則焦點(diǎn)到 ,1 1直線AB的距離為12=；.【答案】A3 .已知A呢過(guò)拋物線2x2=y的焦點(diǎn)的弦，若| AB =4,則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】 設(shè) A(X1, y1), B(X2, y2),由拋物線2x2= y,可得p = 4,| AB = y + y2+p=4,1 1
11、5y1 + y2 = 4-4=,故AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y1 + y2152 = 8 .158文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.24 .右直線axy+1 = 0經(jīng)過(guò)拋物線 y=4x的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a=.【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，代入直線方程得 axi- 0+1 = 0, a= 1 1.【答案】15 .設(shè)直線y=2x + b與拋物線y2=4x交于A, B兩點(diǎn)，已知弦 AB的長(zhǎng)為35,求b的 值.y= 2x+ b,m 由丫2_收消去 y,得 4x2+4(b1)x+ b2= 0.由 0,得 bv 1.設(shè) A(x1, y1), Rx2, y2).ntb2則 x
12、1 + x2=1 b, x1x2=.4| x1 - x2| = yjx+ x22 4x1x2 = 1 2b.| AB = 1+2| x1 - x2| = 5J5 , 1 - 2b = 3-5. - 1-2b=9,即 b=- 4.我還有這些不足：(2)我的課下提升方案：(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1 .已知點(diǎn)P(6 , y)在拋物線y2=2px(p0)上，若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8,則 焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于()A. 2B.1C. 4D.8【解析】拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線為x=-p,因?yàn)镻(6, y)為拋物線上的點(diǎn)，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到
13、準(zhǔn)線的距離，所以6+p = 8,所以p=4,即焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于4,故選C.【答案】C2.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)FPMK1等邊三角形時(shí)，其面積為 ()B. 4A. 2 ：3C. 6【解析】 據(jù)題意知， FPM等邊三角形,2mP 了，m ,則M i, m),等邊三角形邊長(zhǎng)為| PF =| PM= | FM，PML拋物線的準(zhǔn)線.設(shè)2m , i+ 4,又由F(i,0),2ipm=i fm,得 i+m=M i + i 2+m,得m= 2。3, 等邊三角形的邊長(zhǎng)為【答案】D4,其面積為4故選D.3.已知拋物線y2=2px(p0),過(guò)其焦點(diǎn)且
14、斜率為的直線交拋物線于 A, B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A. x= 1B. x=- 1C. x = 2D. x=- 2【解析】設(shè)A( xi, yi), B(x2y。，代入拋物線方程得y2= 2pxi,2y2=2px2,一得,P=k=1(yi + y2)( yi y2)= 2p( x x2).P . y A . yi y22Pxi x242又.yi + y2 = 4, 所求拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=- i.【答案】B4.設(shè)F為拋物線C: y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30。的直線交 C于A, B兩點(diǎn)，則I AB =()30A. 丁B 6C. i2D. 7 3【
15、解析】焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為3, 0 ,直線AB的斜率為里所以直線AB的方程為丫=坐-43,代入 y2= 3x得弓而=0，321621設(shè) A(xi, yi) , B(x2, y2),則 Xi + X2=y, 3 21 3，所以 | AB| = xi +X2+5 = F2=12,故選 C.【答案】C5.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(xi,yi),B(X2,y),若Xi+X2=6,那么|AB等于()A. i0B. 8C. 6D. 4【解析】由題意知p=2, | AE| =xH-x2+p=8.故選B.【答案】B二、填空題6 .拋物線y2=x上到其準(zhǔn)線和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為 .i【解析】設(shè)拋
16、物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, 5),此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 x+4,到頂點(diǎn)的距離為yx2zqx2,由題意有x+ 4=Zx、jx2,，x=8，y=乎，此點(diǎn)坐標(biāo)為 i +巫 8， 4【答案】8, 727 .直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 k =.【解析】當(dāng)k=0時(shí)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，當(dāng)kwo時(shí)，聯(lián)立方程消去 y得k2x2+ 4( k-2)x+4=0,由題意 = i6(k2)2i6k2=0, . k=i.【答案】0或i8 .平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(i,0)的距離和到直線x=i的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)P(-i,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是 .【導(dǎo)學(xué)
17、號(hào)：】【解析】設(shè)機(jī)器人為A(x,y),依題意得點(diǎn)A在以F(i,0)為焦點(diǎn)，x=i為準(zhǔn)線的拋物線上，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.過(guò)點(diǎn)R i,0),斜率為k的直線為y=k(x+i). 2 y=4x,2由得 ky4y +4k=0.y= kx+ k,當(dāng)k = 0時(shí)，顯然不符合題意;2當(dāng) kwo 時(shí)，依題意得 = ( 4) -4k - 4k0,解得k1或k 0),p設(shè) A(xo, yo),由題知 M 0, 2 .|AM = 2p 2xo+ y+ 2 =17,，x0=8,代入方程 x0=2pyo,p得 8 = 2p 3-2 ,解得 p = 2 或 p=4.，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2= 4y或x2=
18、8y.210.已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y=6x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于 A, B兩點(diǎn).若直線l的傾斜角為60。，求| AB的值；(2)若|AB =9,求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.【解】 因?yàn)橹本€l的傾斜角為60。，所以其斜率 k=tan 60 = 小.33又F2, 0 ,所以直線l的方程為y=V3 x-2 .y2= 6x,聯(lián)立y=3消去 y 得 x2 5x + ：= 0.設(shè) A(Xi,y。，B(x2,y2),則Xi +X2=5,一p p而 | AB = | AF +| BF =X1 + 2+x2+2= X1 + X2+ p,所以 | AB =5+3=8.(2)設(shè)a(Xi, y。，Rx2, y
19、2),由拋物線定義知| AB = | AF + | BF = X1 +X2+p= Xi + X2+3,所以 xi+X2=6,于是線段 AB的中點(diǎn) M的橫坐標(biāo)是3.3 3 9又準(zhǔn)線方程是x= 2,所以M到準(zhǔn)線的距離為3 + 1=1能力提升21 . (2016 荷洋期末)已知拋物線x = 2py( p0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作傾斜角為30的直線與拋物線交于A, B兩點(diǎn)，若犒,則篙=()1A. 一 51D- 2【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F0, P ,故過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為30。的直線的方程為y+ p,與拋物線方程聯(lián)立得x223px-p2=0,解方程得 Xa= 3p33Xb= 3p,所以|AF |xa|1麗=
20、的=3,故選C.2 .已知拋物線C: y2=8x與點(diǎn)M 2,2),過(guò)拋物線 C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于a, b兩點(diǎn)，若Ma Mb- 0,則k=(1A.2B.C. 2【解析】D.由題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),則過(guò)焦點(diǎn)且斜率為k的直線的方程為 y= k(x2),與拋物線方程聯(lián)立，消去 y化簡(jiǎn)得k2x2-(4 k2+8)x+4k2=0,設(shè)點(diǎn)A(Xi,yi) , B(x2, y2),則 xi + X2= 4+ A, xiX2=4,所以 y + y2 = k(x1 + x2) 4k = g, y1y2= k2 X1X2kk2(xi+x2)+4 = 16,因?yàn)?Ma MBf 0,所以(xi
21、+2)( x2+2) + (y12)( y2 2) =0(*),將上面各個(gè)量代入(*),化簡(jiǎn)得 k2 4k+4 = 0,所以 k=2,故選D.223.拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線x y r 、 k3 3=1相交于A, B兩點(diǎn)，右/ABF為等邊三角形，則 p=【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】 由于x2=2py(p0)的準(zhǔn)線為y = - p,由x -y =3,解得準(zhǔn)線與雙曲線x2 y2= 3的交點(diǎn)為3+：P：B,所以AB=23+46.由 ABF為等邊三角形，得p,解得p=6.【答案】64.已知拋物線x= y2與過(guò)點(diǎn)(一1,0)且斜率為k的直線相交于 A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原 點(diǎn)，當(dāng) OAB勺面積等于 訴時(shí)，求k的值.【解】 過(guò)點(diǎn)( 1,0)且斜率為k的直線方程為y=k(x+1),x=y2,2由方程組消去x,整理得ky2+y-k=0,y= k x+1 ,設(shè)A(xi, yi) , B(x2, y2),由根與系數(shù)之間的關(guān)系得yi + y2=-, yiy2=- 1.k設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)N, JE然N點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,0). Sa oaiejSaoan+ Saobn= 2| Ot| y1| -1- -110,y1+y2 4y1y2=21 ON y1-y2|1 1 解得6或6.
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