5.5差分與等距節(jié)點(diǎn)newton插值

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,*,第四節(jié) 差分與等距節(jié)點(diǎn),newton,插值,5.5.1,、差分及其性質(zhì),5.5.2,、,等距節(jié)點(diǎn)插值公式,5.5.3,、例題分析,12/12/2024,1,在實(shí)際應(yīng)用,Newton,插值多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常遇到插值,節(jié)點(diǎn)是等距的情況，此時(shí)可以簡(jiǎn)化,Newton,插值公式。,個(gè)插值節(jié)點(diǎn)：,已知,其中,為步長(zhǎng),于是在差商中，,分母部分將變得簡(jiǎn)單，,計(jì)算量主要集中在分子（兩節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值,的差）。,分析差商的形式，引入差分概念,當(dāng)插值節(jié)點(diǎn),x,0,x,1,x,n,分布等距時(shí)，,也即,h=x,k+1,-,x,k,k=0

2、,1,2,n-1,一、差分及其性質(zhì),12/12/2024,2,定義,5.5.1.,一階中心差分,12/12/2024,3,依此類推,12/12/2024,4,向前差分算子，,差 分,12/12/2024,5,引入下列常用算子符號(hào)：,并稱,I,為恒等算子，,E,為移位算子，各算子之間如下關(guān)系,故,同理,12/12/2024,6,差分的性質(zhì),性質(zhì),5.5,常數(shù)的差分等于零,性質(zhì),5.6,函數(shù)值可以表示各階差分,12/12/2024,7,12/12/2024,8,性質(zhì),5.7,12/12/2024,9,性質(zhì),5.8,12/12/2024,10,差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：,12/12/2024,11,12/1

3、2/2024,12,差分表,12/12/2024,13,5.5.2,、,Newton,插值公式,由差商與向前差分的關(guān)系,Newton,插值基本公式為,如果假設(shè),1.,Newton,向前,(,差分,),插值公式,計(jì)算,x,0,點(diǎn)附近的值,12/12/2024,14,則插值公式,化為,12/12/2024,15,此公式為牛頓,向前,插值公式，其余項(xiàng)為,12/12/2024,16,類似有牛頓,向后,插值公式,等距節(jié)點(diǎn)插值公式,12/12/2024,17,等距節(jié)點(diǎn)插值公式,:,牛頓向前插值公式、牛頓向后插值公式。,12/12/2024,18,例,1,分別作出,f(x,)=x,2,+x+1,的前差和后差

4、表。,解,:,前差表見(jiàn)表,47;,后差表見(jiàn)表,48,表,47,三、例題分析,12/12/2024,19,表,4,8,12/12/2024,20,例,2,給出正弦函數(shù),sinx,由,x=0.4,到,0.7,的值,(h=0.1),試分別用牛頓前差和后差公式計(jì)算,sin0.57891,的近似值。,解：作差分表,49,。,表,4,12/12/2024,21,利用牛頓前差公式,12/12/2024,22,利用牛頓后差公式,12/12/2024,23,為使用牛頓插值公式，先構(gòu)造差分表,.,例3,給出 在,處的函數(shù)值，試用,4,次等距節(jié)點(diǎn)插值公式計(jì)算 及,的近似值并估計(jì)誤差,.,解,根據(jù)題意，插,值,條件為,由于 接近 ，所以應(yīng)用牛頓向前插值公式計(jì)算,的近似值,.,12/12/2024,24,(,注意：表中帶下劃線的數(shù)據(jù)為 點(diǎn)的各階向前差分，雙下劃線為 點(diǎn)的各階向后差分,.),12/12/2024,25,取,則,用表,2-4,上半部的各階向前差分，得,12/12/2024,26,由余項(xiàng)公式（,4.11,）得誤差估計(jì),其中,（,4.11,）,12/12/2024,27,于是,計(jì)算 應(yīng)使用牛頓向后插值公式，,用差分表,2-4,中下半部的各階向后差分，得,這里,12/12/2024,28,其中,由余項(xiàng)公式,（,4.13,）得誤差估計(jì),（,4.13,）,12/12/2024,29,