中考數(shù)學綜合專題訓練【二次函數(shù)壓軸題】提升與解析

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1、數(shù)學專題之【二次函數(shù)壓軸題】精品解析中考數(shù)學綜合專題訓練【二次函數(shù)壓軸題】提升與解析 1. （2011年湖北省武漢市，25，12分）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點.（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D.現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；（3）如圖2，將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點.問在y軸的負半軸上是否存在點P，使PEF的內(nèi)心在y軸上.若存在，求出

2、點P的坐標；若不存在，請說明理由. 分析：拋物線的解析式的求法及拋物線的平移。答案：解：（1）拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A（-3,0），B（-1,0）兩點9a-3b+30 且a-b+30解得a1b4拋物線的解析式為y=x2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1拋物線的頂點M（-2，,1）直線OD的解析式為y=x于是設平移的拋物線的頂點坐標為（h， h），平移的拋物線解析式為y=（x-h）2+h.當拋物線經(jīng)過點C時，C（0，9），h2+h=9，解得h=.當h時，平移的拋物線與射線CD只有一個公共點.（2）當拋物線與直線CD只有一個公共點時，由方程組y=（x-h）2+h,y=-2x

3、+9.得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，解得h=4.此時拋物線y=（x-4）2+2與射線CD唯一的公共點為（3，3），符合題意.綜上：平移的拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的值或取值范圍是h=4或h.（3）方法1將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x2，設EF的解析式為y=kx+3（k0）.假設存在滿足題設條件的點P（0，t），如圖，過P作GHx軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線，垂足為G，H.PEF的內(nèi)心在y軸上，GEP=EPQ=QPF=HFP，GEPHFP，.9分GP/PH=GE/HF,-xE/xF=(yE-t)/(yF-

4、t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t)2kxExF=（t-3）（xE+xF）由y=x2，y=-kx+3.得x2-kx-3=0.xE+xF=k,xExF=-3.2k（-3）=（t-3）k,k0,t=-3.y軸的負半軸上存在點P（0，-3），使PEF的內(nèi)心在y軸上.方法2設EF的解析式為y=kx+3（k0）,點E，F(xiàn)的坐標分別為（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=-3.作點E關于y軸的對稱點R（-m,m2）,作直線FR交y軸于點P，由對稱性知EPQ=FPQ，點P就是所求的點.由F,R的坐標，可得直線FR的解析式為y=（n-m）x+mn.當x=0，y=mn=-3,P（0，-3）.y軸的負

5、半軸上存在點P（0,-3），使PEF的內(nèi)心在y軸上.點評：二次函數(shù)是中考考查的必考內(nèi)容之一，本題是綜合考查二次函數(shù)的一些基礎知識，需要考生熟悉二次函數(shù)的相關基本概念即可解題2（如圖，在直角坐標系中，已知點A（0，1），B（-4，4），將點B繞點A順時針方向90得到點C；頂點在坐標原點的拋物線經(jīng)過點B（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；（2）拋物線上一動點P，設點P到x軸的距離為d1，點P到點A的距離為d2，試說明d2=d1+1；（3）在（2）的條件下，請?zhí)骄慨旤cP位于何處時，PAC的周長有最小值，并求出PAC的周長的最小值【解題思路】（1）設拋物線的解析式：y=ax2，把B（-4，4）代入即可

6、得到a的值；過點B作BEy軸于E，過點C作CDy軸于D，易證RtBAERtACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C點坐標（3，5）；（2）設P點坐標為（a，b），過P作PFy軸于F，PHx軸于H，則有d1= a2，又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，在RtPAF中，利用勾股定理得到PA=d2= a2+1，即有結(jié)論d2=d1+1；（3）PAC的周長=PC+PA+5，由（2）得到PAC的周長=PC+PH+6，要使PC+PH最小，則C、P、H三點共線，P點坐標為（3，），此時PC+PH=5，得到PAC的周長的最小值=5+6=11【答案】（

7、1）設拋物線的解析式：y=ax2，拋物線經(jīng)過點B（-4，4），4=a42，解得a=，所以拋物線的解析式為：y= x2； 過點B作BEy軸于E，過點C作CDy軸于D，如圖，點B繞點A順時針方向90得到點C，RtBAERtACD，AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，OD=AD+OA=5，C點坐標為（3，5）；（2）設P點坐標為（a，b），過P作PFy軸于F，PHx軸于H，如圖，點P在拋物線y= x2上，b= a2，d1= a2， AF=OF-OA=PH-OA=d1-1= a2-1，PF=a，在RtPAF中，PA=d2= = a2+1，d2=d1+1； （3）由（1）得AC=5， P

8、AC的周長=PC+PA+5=PC+PH+6，則C、P、H三點共線時，PC+PH最小， 此時P點的橫坐標為3，把x=3代入y= x2，得到y(tǒng)=，即P點坐標為（3，），此時PC+PH=5，PAC的周長的最小值=5+6=11【點評】本題考查了點在拋物線上，點的橫縱坐標滿足二次函數(shù)的解析式和頂點在原點的二次函數(shù)的解析式為：y=ax2；也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及兩點之間線段最短本題第（3）小題的關鍵是將PAC的周長轉(zhuǎn)化為PC與PH和的關系，從而求出三角形周長的最小值難度較大1yxO（第28題）123424331234412本題第（3）小題與2010年南通市28題的第（3）小題非常類似，如下題，供參

9、考。（2010江蘇南通，28，14分）已知拋物線yax2bxc經(jīng)過A（4，3）、B（2，0）兩點，當x=3和x=3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等經(jīng)過點C（0，2）的直線l與 x軸平行，O為坐標原點（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為A，判斷直線l與A的位置關系，并說明理由；（3）設直線AB上的點D的橫坐標為1，P（m，n）是拋物線yax2bxc上的動點，當PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積3已知拋物線：yx22x+m1與x軸只有一個交點，且與y軸交于A點，如圖，設它的頂點為B(1)求m的值；(2)過A作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證ABC是

10、等腰直角三角形；(3)將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線C，且與x軸的左半軸交于E點，與y軸交于F點，如圖，請在拋物線C上求點P，使得EFP是以EF為直角邊的直角三角形 【解題思路】(1)由拋物線與x軸只有一個交點，則b24ac0，得出關于m的方程，求出m的值(2)求出點A、B的坐標，得出OAOB，再根據(jù)ACx軸，得出BAC45，根據(jù)點C和點A是關于拋物線對稱軸的對稱點，得出ABBC，則ABC為等腰直角三角形或分別計算出AB、AC、BC的長度，由勾股定理的逆定理確定為等腰直角三角形(3)由平移規(guī)律，得出拋物線C的解析式，得出點E、F的坐標；待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，根據(jù)互相垂直的兩

11、條直線的系數(shù)之間的關系，設出過點E、F的EF的垂線的解析式；分別解兩條垂線與拋物線解析式構(gòu)成的方程組，得出點P的坐標【解】（1）拋物線與x軸只有一個交點，b24ac2241(m1)0，解得m2（2）方法一：m2，拋物線的解析式為yx2x+1把x0代入yx2x+1，得y1，點A的坐標為（0，1）把y0代入yx2x+1，得x1，點B的坐標為（1，0）AOB是等腰直角三角形又ACOB，BACOAB45A，C是對稱點，ABBC，ABC是等腰直角三角形方法二：m2，拋物線的解析式為yx2x+1把x0代入yx2x+1，得y1，點A的坐標為（0，1）把y0代入yx2x+1，得x1，點B的坐標為（1，0）AC

12、x軸，點C的縱坐標為1把y1代入yx2x+1，得x10，x22點C的坐標為(2，1)AC2，AB，BCABBC又AB2+BC2+2+24AC2，ABC是等腰直角三角形（3）平移后解析式為yx22x3，可知F(0，3)把y0代入yx22x3，得x11，x23又點E在x軸得左半軸上，E(1，0)設直線EF的解析式為ykx3，把E(1，0)代入ykx3，得k3，EF的解析式為：y3x3平面內(nèi)互相垂直的兩條直線的系數(shù)k值相乘等于1，過E點或F點的直線為y+b把E點和F點分別代入可得b或3，或y3解方程解得x11，x2x1是E點橫坐標，舍去把x2代入，得y，P1（，）同理，解方程解得x10(舍去)，x2

13、把x2代入，得y，P2(，)【點評】本題主要考查了二次函數(shù)及其運用，b24ac0二次函數(shù)yax2+bx+c與x軸只有一個交點；對稱軸是關于直線對稱的兩個點的垂直平分線，垂直平分線上的點到線段兩個端點到距離相等；把拋物線上下平移，就是縱坐標進行加減運算，即“上加下減”；平面上互相垂直的兩條直線的比例系數(shù)的乘積等于1 4 如圖，拋物線yx2mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交與點C（0，-1）且對稱軸是x=1.（1）求拋物線解析式及A，B兩點的坐標；（2）在x軸下方拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積是3？若存在，求出點D的坐標，若不存在，說明理由（使用圖1）；（3）點Q在y軸上，點P在

14、拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點P的坐標（使用圖2）.xx=1ABCyO圖2xx=1ABCyO圖1【思路分析】（1）根據(jù)對稱軸公式可求解m,代入C點坐標可求解n；（2）將四邊形分割成三角形AOC、OCD、OBD，三角形AOC面積可求，三角形OCD、OBD，的底已知，高分別為點D的橫坐標和縱坐標的相反數(shù)，根據(jù)三個三角形面積和是3列方程求解；（3）通過畫圖可觀察以Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形時，點Q只能在y軸正半軸上，且PQ=AB=4 , PQ AB ,即已知點P橫坐標，代入拋物線解析式可求縱坐標【答案】解：（1）x=1,m=，yx2x+n

15、.把C（0，-1）代入得n= -1,求拋物線解析式是yx2x-1；令0x2x-1，得x=3或-1，A，B兩點的坐標分別是（-1,0）（3,0）；（2）存在.設D的坐標是（x，y），則yx2x-1，連接AC、CD、OD、BD.SAOC+ SOCD+ SOBD=3，11+1x+3(-y)=3,+x+3(x2+x+1)=3,解得x=2或1，所以y=-1或-，D的坐標是（2，-1）、（1, -）.（3）（3）1當AB為邊時：設PQ =AB=4 , PQ AB ,則P點的橫坐標是4或-4，把x=4代入yx2x-1得y=;把x= -4代入yx2-x-1得y=7，即當P的坐標是（4，）或（-4，7）時以Q、

16、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形.2當AB為對角線時，則AB與PQ互相平分，線段AB中點是G，PQ過G與y軸交于Q點，過點P作x軸垂線交x軸于H，則PHGQOC，所以OG=GH，又因為點G的橫坐標是1，所以點P的橫坐標是2，把x=2代入yx2-x-1得y= -1，即當P的坐標是（2，-1），即當P的坐標是（2，-1）時以Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形. 綜上，當P的坐標是（4，）、（-4，7）或（2，-1）時以Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形.【點評】這類探究類問題首先假設存在，根據(jù)圖形的存在性，求出符合條件的點的坐標如果不存在，經(jīng)過推理論證或計算，能夠得出與已知條件或公

17、里相矛盾的結(jié)論，從而推出假設錯誤5某工廠在生產(chǎn)過程中要消耗大量電能，消耗每千度電產(chǎn)生利潤與電價是一次函數(shù)關系，經(jīng)過測算，工廠每千度電產(chǎn)生利潤y(元/千度)與電價x(元/千度)的函數(shù)圖象如圖：（1）當電價為600元千度時，工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤是多少？（2）為了實現(xiàn)節(jié)能減排目標，有關部門規(guī)定，該廠電價x(元/千度)與每天用電量m(千度)的函數(shù)關系為x=10m+500，且該工廠每天用電量不超過60千度，為了獲得最大利潤，工廠每天應安排使用多少度電？工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤最大是多少元？【解題思路】由函數(shù)圖象上的兩個點很容易用代定系數(shù)法求出一次函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值?！敬鸢浮拷猓海?）

18、工廠每千度電產(chǎn)生利潤y(元/千度)與電價(元/千度)的函數(shù)解析式為：該函數(shù)圖象過點，解得 當電價x=600元/千度時，該工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤（元/千度）（3）設工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤為w元，由題意得：化簡配方，得：由題意，當時，即當工廠每天消耗50千度電時，工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤為5000元?！军c評】試題充分體現(xiàn)了函數(shù)知識在生活中的廣泛應用，用函數(shù)知識可以解決生活中的很多問題。6拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點為A（m4,0）和B(m,0)，與直線y=x+p相交于點A和點C(2m4,m6).(1)求拋物線的解析式；（2）若點P在拋物線上，且以點P和A,C以及另一點Q為頂點的平行四邊形

19、ACQP面積為12，求點P,Q的坐標；（3）在（2）條件下，若點M是x軸下方拋物線上的動點，當PQM的面積最大時，請求出PQM的最大面積及點M的坐標。【解題思路】(1)求函數(shù)關系式的三種方法是一般式，頂點式和交點式。此題可由A,C兩點在一次函數(shù)圖象上，求得m值，從而得出A,C兩個點的坐標，進一步確定出B的坐標，然后選取任意一種方法求出拋物線的解析式。(2)由平行四邊形的面積，及一邊長，很容易求得高，再由特殊角求出PQ與y軸的交點。結(jié)合二次函數(shù)求出P,Q的坐標?？赡苡袃煞N情況，分別討論。（3）PQM中PQ一定，只需PQ上的高最大則PQM的面積最大。【答案】解：點和在直線y=x+p上解得設拋物線拋

20、物線解析式為（2）AC=，AC所在直線的解析式為：，BAC=45的面積為12中AC邊上的高為過點D作DKAC與PQ所在直線相交于點K，DK=,DN=4的邊PQ所在直線在直線AC的兩側(cè)可能各有一條，PQ的解析式為或解得或方程組無解即,四邊形ACQP是平行四邊形， 當時，當時，滿足條件的P,Q點是,或,（3）設，過點M作y軸的平行線，交PQ所在直線點T，則，過點M作MSPQ所在直線于點S，=當時，PQM中PQ邊上高的最大值為【點評】本題綜合性較強，考查了很多基礎知識、還要具備較高的空間想象能力、必須考慮到各種情況，此題的運算量和難度都比較大。7如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于A、B兩點，

21、點A在x軸上，點B的橫坐標為8.（1）求該拋物線的解析式； （2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PEAB于點E.設PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關于x的函數(shù)關系式，并求出l的最大值；連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的坐標【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正方形的性質(zhì)求出A、B點的坐標，利用一般式根據(jù)待定系數(shù)法求解. （2）根據(jù)AOMPED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP-yD求出二函

22、數(shù)最值即可；根據(jù)G和F點的位置進行分類討論：當點G落在y軸上時，由ACPGOA得PC=AO=2，即，解得x的值，求出P點的坐標，當點F落在y軸上時，同法可得求出P點的坐標【解】（1）對于，當y0，x2.當x8時，y.A點坐標為（2，0），B點坐標為由拋物線經(jīng)過A、B兩點，得解得（2）設直線與y軸交于點M當x0時，y. OM.點A的坐標為（2，0），OA2.AMOMOAAM345.由題意得，PDEOMA，AOMPED90，AOMPED.DEPEPD345點P是直線AB上方的拋物線上一動點，PDyPyD滿足題意的點P有三個，分別是 當點G落在y軸上時，由ACPGOA得PCAO2，即，解得，所以當點

23、F落在y軸上時，同法可得，（舍去）.【點評】此題是一個典型的動點壓軸題，它融知識于一體，包萬象于其中，知識點之多,綜合性之強，難度系數(shù)之大.分類討論思想是重要的數(shù)學思想，同學們一定注意掌握ABCOxy圖128如圖12，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（0，2）、（1，0）、（4，0）P是線段OC上的一動點（點P與點O、C不重合），過點P的直線xt與AC相交于點Q設四邊形ABPQ關于直線xt的對稱的圖形與QPC重疊部分的面積為S點B關于直線xt的對稱點B的坐標為_；求S與t的函數(shù)關系式【解題思路】(1)對稱點連線被對稱軸垂直平分，可以求B的坐標；（2）因為點P的位置不同導致點B的對稱

24、點B的位置不同，可能在線段OC上，也可能在線段OC的延長線上，如圖a和圖b，重合部分分別是四邊形和三角形，圖a先求AC的解析式和AB的解析式，求出點M的縱坐標，然后用QPC的面積減去BMC的面積；圖b，直接求QPC的面積即可QQPP【答案】（1）B（2t+1,0）（2）當t=1.5是點B關于x=t的對稱點B與點C重合當0t0)是直線y=x上的一個動點，Q是OP的中點，以PQ為斜邊按圖（15.2）所示構(gòu)造等腰直角三角形PRQ.當PBR與直線CD有公共點時,求x的取值范圍；在的條件下，記PBR與COD的公共部分的面積為S.求S關于x的函數(shù)關系式，并求S的最大值。 【解題思路】用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，從而進一步解決問題。【答案】解：.設以A(1,5)為頂點的二次函數(shù)解析式為的圖像經(jīng)過了點B(5,5) 解得即：.如圖，作點A關于y軸對稱點,與y軸交與點D,作點B關于x軸對稱點,與x軸交與點C,連接AD,AC,CB,BA.四邊形ABCD的周長最小。A(1,5),B(5,1) .如圖直線AB的解析式為直線與直線的交點，點Q為OP的中點PBR與直線CD有公共點，即【點評】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角形、四邊形等知識的綜合運用。難度較大。22