【教學設計】《指數(shù)與指數(shù)冪的運算》(人教)

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1、 《指數(shù)與指數(shù)冪的運算》 ◆ 教材分析 從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上， 類比出正數(shù)的 n 次方根的定義， 從 而把指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù)。 進而推廣到有理數(shù)指數(shù)， 再推廣到實數(shù)指數(shù)， 并將冪的運算性質 由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪。 ◆ 教學目標 【知識與能力目標】 1、掌握 n 次方根及根式的概念，正確運用根式

2、的運算性質進行根式的運算； 2、了解分式指數(shù)冪的含義，學會根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的相互轉化； 3、理解有理數(shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪的含義及其運算性質。 【過程與方法目標】 具體習題，靈活運用根式運算。 由整數(shù)指數(shù)冪的運算性質理解有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質。 【情感態(tài)度價值觀目標】 1、通過學習 n 次方根的概念及根式的運算，提高學生的運算能力和邏輯思維。 2、通過分數(shù)指數(shù)冪的學習，讓學生體會嚴謹?shù)那髮W態(tài)度。 ◆ 教學重難點 【教學重點】 根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的互相轉化。 【教學難點】

3、 根式運算與有理數(shù)指數(shù)冪的運算。 ◆ 課前準備 通過本節(jié)導學案的使用， 引導學生復習回顧初中相關知識， 做好銜接， 為新知識的學習 奠定基礎。 ◆ 教學過程 ( 一 ) 創(chuàng)設情景，揭示課題 1、以折紙問題引入，激發(fā)學生的求知欲望和學習指數(shù)概念的積極性。 2、由實例引入，了解指數(shù)概念提出的背景，體會引入指數(shù)的必要性； （ 1）據(jù)國務院發(fā)展研究中心 2000 年發(fā)表的 《未來 20 年我國發(fā)展前景分析》 判斷 , 未來 20 年，我國 GDP(國內生產(chǎn)總值 ) 年平均增長率可望達到 7.3%。那么在

4、2010 年 , 我國的 GDP 可望為 2000 年的多少倍 ? （ 2）當生物死亡后 , 它機體內原有的碳 14 會按確定的規(guī)律衰減 , 大約每經(jīng)過 5730 年衰 減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期” . 根據(jù)此規(guī)律 , 人們獲得了生物體內碳 14 含量 P 1 與死亡年數(shù) t 之間的系 p 2  t 5730 ， 那么當生物體死亡了１萬年后，它體內碳 14 的含量 為多少？ （ 3）對 1.073 10， p 1 2 3、初中根式的概念  10000 5730

5、 這兩個數(shù)的意義如何？怎樣運算？ 思考 1: ４的平方根是什么？任何一個實數(shù)都有平方根嗎？一個數(shù)的平方根有幾個？ 思考 2:-27 的立方根是什么？任何一個實數(shù)都有立方根嗎？一個數(shù)的立方根有幾個？ 思考 3: 一般地，實常數(shù) a 的平方根、立方根是什么概念？ 思考 4: 如果 x4＝ a， x5＝ a， x6＝a，參照上面的說法，這里的 x 分別叫什么名稱？ 思考 5: 推廣到一般情形， a 的 n 次方根是一個什么概念？試給出其定義。 如果一個數(shù)的平方等于 a，那么這個數(shù)叫做 a 的平方根，如果一個數(shù)的立方等于 a，那

6、 么這個數(shù)叫做 a 的立方根。 思考 1:-8 的立方根， 16 的 4 次方根， 32 的 5 次方根， -32 的 5 次方根， 0 的 7 次方根， a6 的立方根分別是什么數(shù)？怎樣表示？ 思考 2: 設 a 為實常數(shù)，則關于 x 的方程 x3=a， x5=a 分別有解嗎？有幾個解？ 思考 3: 一般地，當 n 為奇數(shù)時，實數(shù) a 的 n 次方根存在嗎？有幾個？ 思考 4: 設 a 為實常數(shù)，則關于 x 的方程 x4=a， x6=a 分別有解嗎？有幾個解？ 思考 5: 一般地，當 n 為偶數(shù)時，實數(shù) a 的 n 次方根存在嗎？有幾個？ 思

7、考 6: 我們把式子 n a ( n N ,n 1) 叫做根式，其中 n 叫做根指數(shù)， a 叫做被開方數(shù)。 那么， a 的 n 次方根用根式怎么分類表示？ 當 n 是奇數(shù)時， a 的 n 次方根為 n a 。 當 n 是偶數(shù)時 , 若 a>0，則 a 的 n 次方根為 n a ； 若 a=0，則 a 的 n 次方根為 0； 若 a<0，則 a 的 n 次方根不存在。 思考 1: ( 3 2) 3,( 5 2) 5 ,( 4 2) 4 分別等于什么？一般地 ( n a )n 等于什么？ 思考 2: 3 ( 2)3 ,

8、5 25 , 4 24 , 4 ( 2) 4 分別等于什么？一般地 ( n a) n 等于什么？ 當 n 是奇數(shù)時 n an a ; 當 n 是偶數(shù)時 n an | a |。 例 1、求下列各式的值 (1) 3 64 ； (2) ( 2)4 ； (3) 3 ( 8)3 ； (4) ( 10)2 ； (5) 4 (3 )4 ； (6) 8 ( a 1)8 . 例 2、化簡下列各式 (1) 5 2 6 4 9 ；

9、 (2) ( a 1) 2 (1 a)2 3 (1 a)3 . 4、復習初中整數(shù)指數(shù)冪的運算性質； a m a n a m n (a m ) n amn (ab) n a n bn （二）研探新知 1、指數(shù)與指數(shù)冪的運算 （ 1）分數(shù)指數(shù)冪 思考 1: 設 a>0， 5 a10 ， a8 ， 4 a12 分別等于什么？ 思考 2: 觀察上述結論，你能總結出什么規(guī)律？ 思考 3:

10、 按照上述規(guī)律 , 根式 4 53 ， 3 75 ， 5 a7 分別可寫成什么形式？ n m n 思考 4: 我們規(guī)定： m a a ( a m，n∈ N且 n＞ 1) ， >0, 2 1 2 那么 83 表示一個什么數(shù)？ 32 ,45 分別表示什么根式？ n

11、 思考 5: 你認為如何規(guī)定 a m ( a>0, m, n∈ N，且 n＞ 1) 的含義？ 思考 6: 怎樣理解零的分數(shù)指數(shù)冪的意義？ 2 3 3 思考 7: ( 2)3 ,( 2)2 ,( 2)5 都有意義嗎？ n 當 a 0 時， a m (m, n N * , n 1) 何時無意義？ 正數(shù)的分數(shù)指數(shù)

12、冪的意義。 規(guī)定： m a n n a m (a 0, m, n N * ,n 1) m 1 1 * a n 0, m, n , n 1) m (a N a n n am

13、 0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于 0， 0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。 指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后， 指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)， 那 么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪。 2、有理指數(shù)冪的運算性質 （1） ar as ar s ( a 0, r , s Q ) ； （2） (ar )s ars (a 0, r , s Q ) ； （3） (ab)r ar br (a 0, b 0, r Q) ． 引 學生解決本 開 例 。

14、 3、無理指數(shù) 思考 1: 我 知道 2 ＝ 1． 414 21356 ?，那么 5 2 的大小如何確定？ 2 的 剩近似 5 2 的 剩近似 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9

15、.738 517 752 思考 2: 察上面兩個 表， 5 2 是一個確定的數(shù) ？ 思考 3: 有理指數(shù) 的運算性 適 于無理數(shù)指數(shù) ？ 指出：一般地，無理數(shù)指數(shù) a ( a 0, 是無理數(shù) ) 是一個確定的 數(shù)．有理數(shù)指數(shù) 的運算性 同 適用于無理數(shù)指數(shù) 。 思考：（教材 P63 練習 4） 鞏固 思考： （教材 P62 思考 ） （三）例 解 例 3、求下列各式的 2 1 ( 1) 5 ； (4) (16) (1) 27 3 ； (2) 25 2 ； (3)

16、 2 81  3 4 例 4、化簡下列各式的值 2 1 1 1 1 5 (1) (2a 3b 2 )( 6a 2b3 ) ( 3a 6b 6 )(a,b 0) 1 3 (2) (m4 n 8 )8 (m, n 0) (3) 3 25 125 4 25 (4) a2 (a 0) a 3 a2 說明：讓學生熟練掌握根式與分數(shù)指

17、數(shù)冪的互化和有理指數(shù)冪的運算性質運用。 （四）課堂練習 1、教材 P58 例 1。 2、教材 P63 練習 1-3 。 （五）課堂小結 本節(jié)主要學習了根式與分數(shù)指數(shù)冪以及指數(shù)冪的運算， 分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示 形式，根式與分數(shù)指數(shù)冪可以進行互化． 在進行指數(shù)冪的運算時， 一般地，化指數(shù)為正指數(shù)， 化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，以達到化 繁為簡的目的，對含有指數(shù)式或根式的乘除運算，還要善于利用冪的運算法則。 （六） 布置作業(yè) 1、 必做題：教材 P69 習題 2． 1（ A 組） 第 1－ 4 題。 2、選做題：教材 P70 習題 2． 1（ B 組） 第 2 題。 ◆ 教學反思 略。