《橢圓的標準方程》教學(xué)設(shè)計

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1、《橢圓的標準方程》教學(xué)設(shè)計 金鄉(xiāng)縣第一中學(xué) 劉明科 一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù) 1. 新課程標準理念——高中數(shù)學(xué)新課程標準指出： “強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，讓學(xué)生體會蘊涵在其中的思想方法。”在“橢圓及其標準方程”的引入與推導(dǎo)中，遵循學(xué)生的認識規(guī)律，通過動手實踐、觀察思考、合作交流、應(yīng)用反思等過程，讓學(xué)生逐步將認識由感性上升到理性，把學(xué)生學(xué)習(xí)知識當作認識事物的過程來進行教學(xué)，努力揭示知識的發(fā)生、發(fā)展過程。 2. 建構(gòu)主義理論——建構(gòu)主義認為：知識不是通過教師講授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會文化背景下，借助其他

2、人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，充分利用各種學(xué)習(xí)資源（包括文字教材、音像資料、多媒體課件、軟件工具以及從Internet上獲取的各種教學(xué)信息等等），通過意義建構(gòu)而獲得。由于學(xué)習(xí)是在一定的情境下借助其他人的幫助即通過人際間的協(xié)作活動而實現(xiàn)的意義建構(gòu)過程，因此建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認為“情境創(chuàng)設(shè)”、“協(xié)作學(xué)習(xí)”、“會話交流”是學(xué)習(xí)環(huán)境的基本要素。 二、教學(xué)背景分析 1. 教材分析 解析幾何是數(shù)學(xué)一個重要的分支，它溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。平面解析幾何問題，就是借助建立適當?shù)淖鴺讼担茖W(xué)合理地把幾何問題代數(shù)化，運用代數(shù)的方法來研究幾何問題。 在必修2中學(xué)生已初步掌握了解

3、析幾何研究問題的主要方法，并在平面直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形。在選修1中，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。本章所研究的三種圓錐曲線都是重要的曲線，因為對這幾種曲線研究的問題基本一致，方法相同，所以教材對這三種圓錐曲線的學(xué)習(xí)的重點放在了橢圓上，通過求橢圓的標準方程，是學(xué)生掌握推導(dǎo)出這一類軌跡方程的一般規(guī)律和化簡的常用方法。因此，“橢圓及其標準方程”起到了承上啟下的重要作用。 2. 學(xué)情分析 知識方面 （1）在必修2第二章里學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，并初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟，具備主動探究橢圓知識的基礎(chǔ)； （2）根據(jù)日常生活中

4、的經(jīng)驗，學(xué)生對橢圓有了一定的認識，但仍沒有上升到成為“概念”的水平，將感性認識理性化將會是對他們的一個挑戰(zhàn)； （3）在初中階段沒有涉及過含兩個字母、兩個根式的方程化簡問題； 自身特征方面 （1）我所教授的班級是文科班，他們普遍對數(shù)學(xué)有一定的畏難情緒，但是他們思維比較活躍，對新鮮事物有一定的好奇心和探索欲望，對老師的講授敢于質(zhì)疑，有自己的想法和主見，愿意自己去探索是什么和為什么。并且具備了初步的探索能力； （2）對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)只是停留在表面，對概念的形成過程不重視，所以無法深刻理解； （3）對于較復(fù)雜的計算問題，往往不知如何動手或懶得動手，計算能力較弱。但他們同時又樂于小組合作學(xué)習(xí)，

5、學(xué)習(xí)氣氛濃厚； 3. 教學(xué)方法及手段 新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進者，使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動、共同發(fā)展的過程。本節(jié)課采用讓學(xué)生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，并以多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實踐、觀察、交流、分析、概括等理性思維的基本過程，切實改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用幾何畫板的動態(tài)作圖優(yōu)勢為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。 三、教學(xué)目標及重難點 1. 教學(xué)目標 知識與技能 （1）掌握橢圓的定義； （2）理解橢圓標準方

6、程的推導(dǎo)過程，掌握橢圓標準方程的兩種形式，會運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程； 過程與方法 （1）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，逐步提高學(xué)生的觀察、分析、歸納、類比、概括能力； （2）通過橢圓標準方程的推導(dǎo)，進一步掌握求曲線方程的一般方法——坐標法，并滲透數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 情感、態(tài)度與價值觀 在動手折紙得出橢圓的定義的學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性；親身經(jīng)歷橢圓標準方程的獲得過程，感受數(shù)學(xué)的對稱、簡潔、和諧美，同時養(yǎng)成扎實嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，增強學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神。 2. 教學(xué)重難點 重點：橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式 難點：

7、橢圓的標準方程的建立和推導(dǎo) 四、教學(xué)流程示意圖 五、教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié) 教師為主活動 學(xué)生為主活動 設(shè)計意圖 情景引入 【折紙活動】 請拿出預(yù)先準備的圓形紙片（圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)異于圓心的一點），將圓紙片翻折，使翻折上去的圓弧通過F點，將折痕用筆畫上顏色，繼續(xù)上述過程，繞圓心一周，觀察所得到的圖形。 動畫演示折紙的過程。 【提問】在我們的日常生活中，橢圓隨處可見。你能舉出橢圓形的例子嗎？ 在肯定學(xué)生的回答后，老師加以補充。比如： ①嫦娥二號繞月球運行的是橢圓形的軌道； ②斜著切起出來的四色卷是橢圓的； ③裝飾品項鏈中間的飾物是橢圓形的； 由此可見，橢圓是我們

8、生活中一種重要的曲線。引出課題——橢圓及其標準方程。 動手實踐，課前完成 學(xué)生展示成果 學(xué)生踴躍回答 通過折紙游戲充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究心理。為引出新知做鋪墊。 通過舉例和展示生活中橢圓形的圖片，讓學(xué)生認識到橢圓和日常生活關(guān)系密切。 概念形成 讓我們回到折紙活動中，看看得到的橢圓究竟是怎樣形成的。我們不妨來分析其中的一個折疊過程。此時圓周上的點A與點F重合，連結(jié)OA，交折痕BC于點M，那么點M的軌跡是什么？（動畫演示） 【提問】 也就是說，橢圓就是滿足一定條件的點M的軌跡，那么點M滿足什么條件呢？ 如學(xué)生有困難，可按如下提

9、示鋪設(shè)認知階梯： 1. 如何用數(shù)學(xué)語言表達點A與定點F重合? 2. 線段垂直平分線上的點有什么幾何性質(zhì)? 3. 動點M與定點之間有什么關(guān)系? 【提問】 你能否給橢圓下個定義？ 預(yù)設(shè)：與兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓 教師引導(dǎo)，學(xué)生補充“平面內(nèi)”。 【提問】要成為橢圓的定義，必須保證它足夠嚴謹，經(jīng)得起推敲。那么這個常數(shù)是任意實數(shù)嗎？有什么限制條件嗎？ 預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會遇到障礙，此時教師提醒：如何體現(xiàn)點在圓的內(nèi)部？ 【提問】繼續(xù)深化問題：如果常數(shù)，常數(shù)時，將是什么樣的情形？ 回答：就是剛才得到的橢圓 學(xué)生以組為單位，合作探究，教師巡視指導(dǎo)

10、 點A與定點F2關(guān)于折痕軸對稱，折痕即對稱軸是線段AF的垂直平分線 到線段兩個端點距離相等 與兩個定點O、F的距離之和等于半徑OA 預(yù)設(shè)：點在定圓 的內(nèi)部即點到圓心的距離小于圓的半徑，也就是在定義中需要加上“常數(shù)”的限制。 常數(shù)，軌跡是線段； 常數(shù)，軌跡不存在； 通過分析動點與定點的關(guān)系，使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識，培養(yǎng)思維的嚴謹性 經(jīng)概括總結(jié)后得到：【板書】 文字語言：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于定長（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩

11、焦點的距離叫做橢圓的焦距。 數(shù)學(xué)語言： 概念深化 1. 已知、是定點，，動點滿足，則點M的軌跡是（ ） A．橢圓 B. 直線 C.圓 D.線段 2．已知是兩個定點，，以線段為一邊畫三角形，試問滿足條件“的周長為20”的頂點的軌跡是什么樣的圖形？為什么？ 認真思考后回答 學(xué)生初步理解了橢圓的概念，接下去還必須消化、鞏固。怎么消化鞏固？基于“雙基”和學(xué)生的認知規(guī)律，這里設(shè)計了兩道比較基礎(chǔ)的題目（第1題是自編題，第2道選自課本 2.1.1練習(xí)B第2題）。理解數(shù)學(xué)往往不可能一次完成，通過這兩道題，學(xué)生來“做”數(shù)學(xué)，在“做”的過程中，認識到對橢圓定義的理解，一要

12、抓住橢圓上的點所滿足的條件，二要注意定義中對“常數(shù)”的限定，從而進一步加深對橢圓概念的理解。 方程推導(dǎo) 我們已經(jīng)知道，在直角坐標平面上直線和圓都有相應(yīng)的方程，從而就可以用代數(shù)的方法來研究它們的幾何性質(zhì)、位置關(guān)系等。那么如何求橢圓的方程呢？ 【提問】求圓的方程的一般步驟是什么？ ① 建系設(shè)點： 【提問】根據(jù)簡單和優(yōu)化的原則，如何建立平面直角坐標系？ 以兩定點、所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系（如圖）．設(shè)．，為橢圓上的任意一點，則、．又設(shè)與、的距離的和等于． ② 集合表示： 由橢圓定義得：動點M的集合為： ③ 坐標化： 用含有動點坐標的

13、方程表示：． ④ 化簡： 預(yù)案：移項后兩次平方法 引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓圖形和推導(dǎo)出的橢圓方程的系數(shù)，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)實際上對應(yīng)圖形中的特殊線段，不妨令其為，則有，類比由化簡為截距式方程的方法將方程繼續(xù)化簡得到橢圓的標準方程 【板書】橢圓的標準方程 1． 焦點在軸上的橢圓的標準方程： ， 焦點是、．這里。 【提問】如果焦點在軸上，橢圓的方程又是什么呢？ 2． 焦點在軸上的橢圓的標準方程： 焦點是、．這里。 引導(dǎo)學(xué)生比較歸納出兩種標準方程的區(qū)別。 總結(jié)歸納：在兩種標準方程中，因為,所以可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上。 【練習(xí)】求下列方程表示的

14、橢圓的焦點坐標： （1） （2） ①建系設(shè)點 ②集合表示 ③坐標化 ④化簡 ⑤證明（一般省略） 回答 建立如圖坐標系： 小組交流，嘗試化簡 觀察方程的特點，得出標準方程。 記筆記 思考交流，并回答 思考交流，并回答 通過對必修2中坐標法研究曲線性質(zhì)方法的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生認識到本節(jié)課研究橢圓的一般方法和思路。在標準方程的推導(dǎo)過程中，問題的設(shè)

15、問讓學(xué)生認識到在推導(dǎo)方程的過程中進行等價 變形的重要性，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)演算習(xí)慣。提高運算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神；感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美 讓學(xué)生對橢圓的兩種標準方程有個清晰的認識，體會問題的本質(zhì)所在，只是位置的不同，圖形是一樣的，為后面的應(yīng)用做準備 初步應(yīng)用 例1 根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程。 （1） 兩個焦點的坐標分別是（-3,0），（3,0），橢圓上一點P與兩焦點的距離的和等于8； （2） 兩個焦點的坐標分別是（0，-4），（0,4），并且橢圓經(jīng)過點

16、（） （3） 已知橢圓的焦距是6，橢圓上的一點到兩焦點距離的和等于10 學(xué)生思考后回答 例1（1）（2）小題是教材上的例題，設(shè)計目的：一是進一步理解橢圓的焦點位置與橢圓標準方程的關(guān)系（注意焦點在軸還是在軸上），掌握運用待定系數(shù)法求解橢圓標準方程的方法；二是加深學(xué)生對橢圓定義的理解與運用，學(xué)會運用橢圓定義求解橢圓標準方程。（3）小題是對（1）（2）的變式題，其目的是對學(xué)生進行分類討論數(shù)學(xué)思想的滲透，達到拓展知識、提高能力的目的。 閱讀課本33頁內(nèi)容。 閱讀課本 橢圓的生成方式有多種，課本33頁給出了我們另外一種生成的方式，學(xué)生通過閱讀這部分內(nèi)容，再一次感受橢圓

17、的形成過程。 目標檢測 1. 已知橢圓的焦點坐標為和，且經(jīng)過點，求橢圓的標準方程。 2. 設(shè)是橢圓上一點，是橢圓的焦點。如果點與焦點的距離為4，那么點與焦點的距離是多少？ 學(xué)生獨立完成 這兩道題考查的知識點和方法與本節(jié)課所講解的內(nèi)容完全一致，通過這兩個小題對學(xué)生進行檢測，一方面可以加深學(xué)生對本節(jié)課的理解，同時也能夠及時反饋出學(xué)生對本節(jié)課知識和方法的落實情況，便于及時調(diào)整。 歸納小結(jié) 【課堂總結(jié)】 1． 知識層面 2． 方法層面 3． 學(xué)習(xí)反思 學(xué)生小結(jié)歸納，不足的地方老師補充說明。 讓學(xué)生自己小結(jié)，不僅僅總結(jié)知識，更重要的是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，這

18、樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識體系，理清知識脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 作業(yè)布置 1.必做題： 課本 第1、2題 2. 思考題： （2）已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，則的周長為 ; （3）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是 . 分層次布置作業(yè)，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識；為學(xué)有余力的學(xué)生留有進一步探索、發(fā)展的空間。 設(shè)計感悟：輕松愉快的課堂是學(xué)生思維發(fā)展的天地，討論、合作交流的主陣地，思想品德教育的好場所，因此面對新課改形勢下的新課堂，需要教師和學(xué)生一起來培育，一起來創(chuàng)造，一起來開拓。真正提高學(xué)生的動手能力、思維能力和創(chuàng)造能力。這其中，學(xué)生的自主探究活動顯得尤為重要，所以在本節(jié)課的設(shè)計中，充分考慮到了這一點。通過學(xué)生大量的自主探究，使學(xué)生在知識的發(fā)現(xiàn)和探索中去整理知識，掌握知識，運用知識，感受獲得知識的樂趣和成功的體驗。