中考數(shù)學(xué)專題'胡不歸'經(jīng)典講解

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1、胡不歸 知識(shí)背景： 從前，有一個(gè)小伙子在外地當(dāng)學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B（如圖1所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶），當(dāng)他氣喘吁吁地趕到父親眼前時(shí)，老人剛剛咽了氣，小伙子不覺失聲痛哭，鄰舍勸慰小伙子時(shí)告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？這個(gè)古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘有可能，他應(yīng)該選擇條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千年的“胡不歸問題”. 由于在驛道和沙礫地的行走速度不一樣，那么，小伙子有

2、沒有可能先在驛道上走一程后，再走沙礫地，雖然多走了路，但反而總用時(shí)更短呢？ 設(shè)在沙礫地行駛速度為，在驛道行駛速度為，顯然＜. 思路：不妨假設(shè)從C處進(jìn)入砂礫地.設(shè)總共用時(shí)為t,t=+=(BC+AC). 因?yàn)椋谴_定的，所以只要(BC+AC)最小，用時(shí)就最少?？梢訟為頂點(diǎn)作一條射線ON，使得∠MAN=α，且sinα=,過點(diǎn)C作AN的垂線，交于點(diǎn)E，這樣AC=CE,當(dāng)點(diǎn)B、C、E在一條直線上時(shí)，即過點(diǎn)B作AN的垂線交AM于點(diǎn)D，交AN于點(diǎn)F，即(BC+AC)的值最小為BF，小伙子可以先在驛道上走到點(diǎn)D處，然后再走砂礫地。這樣時(shí)間可以更短。 總結(jié)：在驛道上從點(diǎn)A走到點(diǎn)D的距離，其實(shí)就相當(dāng)于，在

3、砂礫上走了DF的距離，而 AB>BF,所以從點(diǎn)A直接到點(diǎn)B，用的時(shí)間肯定比先從點(diǎn)A到D再從點(diǎn)D到B所有的時(shí)間。 “胡不歸”模型建立： 如圖所示，已知sin∠MBN=k，點(diǎn) P為角∠MBN其中一邊 BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在射線BM、BN的同側(cè)，連接AP，則當(dāng)“PA+kPB”最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定? (構(gòu)造的角的正弦值為PB線段的系數(shù)值) 分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“kPB”系數(shù)化為1，過點(diǎn)P作 PQ⊥BN垂足為Q，則 kPB=PBsin∠MBN=PQ, “PA+kPB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)最小。 證明：直線外一點(diǎn)到

4、直線上任意一點(diǎn)的距離垂線段最短，也就是點(diǎn)到直線的距離。 注意:當(dāng)k值大于1時(shí)，則提取k，構(gòu)造某角正弦值等于系數(shù) 解題策略：“胡不歸”模型中涉及到兩個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)。 第一步：在系數(shù)不為1的線段的定端點(diǎn)處作一個(gè)角，使其的正弦值等 于此線段的系數(shù).（注意題目中有無特殊角） 第二步：過動(dòng)點(diǎn)作上一步的角的邊的垂線，構(gòu)造直角三角形. 第三步：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，找到最小值的位置. 第四步：計(jì)算. 例題講解： 如圖四邊形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60，M為對角線BD（不含B 點(diǎn)）上任意一點(diǎn),則 AM+BM 的最小值

5、為 . 解題思路：此題點(diǎn)A,B是定點(diǎn)，點(diǎn)M在BD上運(yùn)動(dòng)?？蓪? BM化為系數(shù)為1的線段，題目出現(xiàn)了特殊角 ∠DBC=30，只要過點(diǎn)M作BC的垂線交于點(diǎn)N， 即可將BM轉(zhuǎn)化為MN，即AM+BM=AM+MN， 過A點(diǎn)作BC的垂線交BD,BC分別于點(diǎn)M，N. 此時(shí)AM+BM 的最小值為AN. 證明：直線外一點(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)的距離垂線段最短。 變式思考：(1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會(huì)求嗎？ 解題思路：可以將2AM+BM提取一個(gè)2，即2AM+BM=2（AM+BM），同上述

6、的解題思路。 變式：如圖，AC是圓O的直徑，AC=4，弧BA=120，點(diǎn)D是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OD+BD的最小值為______. 解題思路：此題可將BM化為系數(shù)為1的線段，構(gòu)造 “胡不歸”模型之前，一定要在點(diǎn)B處作一個(gè)角 使得sin∠B=,只要過點(diǎn)B作AC的平行線BK。 過點(diǎn)D作BK的垂線交于點(diǎn)E,BM=DE,即 OD+BD=OD+DE,過點(diǎn)O作BK的垂線交于點(diǎn)M,當(dāng) E點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，OD+BD，最小值為OM. 如圖，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高為AO，點(diǎn)D為射

7、線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD-DC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速度3個(gè)單位每秒，動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為1個(gè)單位每秒，則當(dāng)AD= 時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為 秒. 解題思路: 求運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，可根據(jù),先表示出時(shí)間出來， 點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為,在DC上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 為,所以總時(shí)間為t=+.建立“胡不歸” 模型，過點(diǎn)D作AB的垂線交于點(diǎn)E，因?yàn)閟in∠BAO=, 所以=DE即t=+,過點(diǎn)C作AB的垂線交 A0，AB分別于點(diǎn)D，E.此時(shí)+最小值為CE， 即可確定點(diǎn)D的位置使得運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。

8、 填空題： 如圖，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+2PB的最小值為 . 等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲走完全程菁優(yōu)網(wǎng)的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為_________. 圓中胡不歸模型： 如圖，在△ACE中，CA=CE，CAE=30，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線

9、段AE上． 試說明CE是⊙O的切線； 若中AE邊上的高為h，試用含 h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB； 設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的AB的長． 二次函數(shù)胡不歸模型 如圖，已知拋物線（k為常數(shù)，k>0）與x軸從左至右依次交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D． （1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－5，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （2）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD

10、以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？ 如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于D、 C兩點(diǎn)，連接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）． （1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為____________________，tan∠BAC=__________； （2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？ 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二

11、次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0），B（0，－），C（2，0），其中對稱軸與x軸交于點(diǎn)D． 求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則的最小值為__________． 如圖，已知拋物線，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D． （1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為____________________； （2）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒個(gè)

12、單位運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為多少時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最少？ 【問題探究】 (1)如圖①，點(diǎn)E是正△ABC高AD上的一定點(diǎn)，請?jiān)贏B上找一點(diǎn)F，使EF=AE，并說明理由； (2)如圖②，點(diǎn)M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，求AM+MC的最小值； 【問題解決】 (3)如圖③，A、B兩地相距600km，AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路．點(diǎn)B到AC的最短距離為360km．今計(jì)劃在鐵路線AC上修一個(gè)中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路．如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍．那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，請確定中轉(zhuǎn)站M的位置，并求出AM的長．（結(jié)果保留根號(hào)）