余弦定理練習(xí) 含答案

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1、課時(shí)作業(yè)2　余弦定理 時(shí)間：45分鐘　　滿分：100分 課堂訓(xùn)練 1．在△ABC中，已知a＝5，b＝4，∠C＝120.則c為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C.或 D. 【答案】　B 【解析】　c＝ ＝＝. 2．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cosB＝(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】　由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理 cosB＝＝＝. 3．在△ABC中，三個(gè)角A、B、C的對邊邊長分別為a＝3、b＝4、c＝6，則bccosA＋cacosB＋abcosC＝___

2、_____. 【答案】　 【解析】　bccosA＋cacosB＋abcosC＝bc＋ca＋ab＝(b2＋c2－a2)＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2)＝(a2＋b2＋c2)＝. 4．在△ABC中： (1)a＝1，b＝1，∠C＝120，求c； (2)a＝3，b＝4，c＝，求最大角； (3)a:b:c＝1: :2，求∠A、∠B、∠C. 【分析】　(1)直接利用余弦定理即可； (2)在三角形中，大邊對大角； (3)可設(shè)三邊為x，x,2x. 【解析】　(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝12＋12－211(－)＝3，∴c＝. (2)顯然∠C最大，

3、 ∴cosC＝＝＝－.∴∠C＝120. (3)由于a:b:c＝1: :2，可設(shè)a＝x，b＝x，c＝2x(x>0)． 由余弦定理，得cosA＝＝＝， ∴∠A＝30. 同理cosB＝，cosC＝0.∴∠B＝60，∠C＝90. 【規(guī)律方法】　 1．本題為余弦定理的最基本應(yīng)用，應(yīng)在此基礎(chǔ)上熟練地掌握余弦定理的結(jié)構(gòu)特征． 2．對于第(3)小題，根據(jù)已知條件，設(shè)出三邊長，由余弦定理求出∠A，進(jìn)而求出其余兩角，另外也可考慮用正弦定理求∠B，但要注意討論解的情況． 課后作業(yè) 一、選擇題(每小題5分，共40分) 1．△ABC中，下列結(jié)論： ①a2>b2＋c2，則△ABC為鈍角三角形； ②

4、a2＝b2＋c2＋bc，則∠A為60； ③a2＋b2>c2，則△ABC為銳角三角形； ④若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，則a:b:c＝1:2:3， 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】　A 【解析】　①cosA＝<0， ∴∠A為鈍角，正確； ②cosA＝＝－， ∴∠A＝120，錯(cuò)誤； ③cosC＝>0， ∴∠C為銳角，但∠A或∠B不一定為銳角，錯(cuò)誤； ④∠A＝30，∠B＝60，∠C＝90， a:b:c＝1: :2，錯(cuò)誤．故選A. 2．△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，設(shè)向量p＝(a＋c，b

5、)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，則∠C的大小為(　　) A. B. C. D.π 【答案】　B 【解析】　∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q， ∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0 即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝. ∴∠C＝. 3．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A＝，a＝，b＝1，則c等于(　　) A．2 B．3 C.＋1 D．2 【答案】　B 【解析】　由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA， 所以()2＝1＋c2－21ccos， 即c2－c－6＝0，解得c＝3或c＝－2(舍)．故

6、選B. 4．在不等邊三角形ABC中，a為最大邊，且a2∠B，∠A>∠C，故2∠A>∠B＋∠C.又因?yàn)椤螧＋∠C＝π－∠A，所以2∠A>π－∠A，即∠A>.因?yàn)閍20，所以0<∠A<.綜上，<∠A<. 5．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120，則sinA的值為(　　) A. B. C. D．－ 【答案】　A 【解析】　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝

7、42＋62－246(－)＝76， ∴c＝.由正弦定理得＝，即＝， ∴sinA＝＝. 6．△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，且2b＝a＋c，∠B＝30，△ABC的面積為，那么b等于(　　) A. B．1＋ C. D．2＋ 【答案】　B 【解析】　∵2b＝a＋c，又由于∠B＝30， ∴S△ABC＝acsinB＝acsin30＝，解得ac＝6， 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB ＝(a＋c)2－2ac－2accos30＝4b2－12－6， 即b2＝4＋2，由b>0解得b＝1＋. 7．在△ABC中，若acosA＋bcosB＝ccosC，則這

8、個(gè)三角形一定是(　　) A．銳角三角形或鈍角三角形 B．以a或b為斜邊的直角三角形 C．以c為斜邊的直角三角形 D．等邊三角形 【答案】　B 【解析】　由余弦定理acosA＋bcosB＝ccosC可變?yōu)閍＋b＝c， a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2) a2b2＋a2c2－a4＋b2a2＋b2c2－b4＝c2a2＋c2b2－c4 2a2b2－a4－b4＋c4＝0， (c2－a2＋b2)(c2＋a2－b2)＝0， ∴c2＋b2＝a2或a2＋c2＝b2， ∴以a或b為斜邊的直角三角形． 8．若△ABC的周長等于20，面積是10，∠A

9、＝60，則BC邊的長是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】　C 【解析】　依題意及面積公式S＝bcsinA， 得10＝bcsin60，即bc＝40. 又周長為20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7. 二、填空題(每小題10分，共20分) 9．在△ABC中，三邊長AB＝7，BC＝5，AC＝6，則的值為________． 【答案】?。?9 【解析】　由余弦定理可求得cosB＝，∴＝||

10、||cos(π－B)＝－||||cosB＝－19. 10．已知等腰三角形的底邊長為a，腰長為2a，則腰上的中線長為________． 【答案】　a 【解析】　如圖，AB＝AC＝2a，BC＝a，BD為腰AC的中線，過A作AE⊥BC于E，在△AEC中，cosC＝＝，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcosC，即BD2＝a2＋a2－2aa＝a2，∴BD＝a. 三、解答題(每小題20分，共40分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 11．在△ABC中，已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，試判斷三角形的形狀． 【分析】　解決本

11、題，可分別利用正弦定理或余弦定理，把問題轉(zhuǎn)化成角或邊的關(guān)系求解． 【解析】　方法一：由正弦定理＝＝＝2R，R為△ABC外接圓的半徑，將原式化為 8R2sin2Bsin2C＝8R2sinBsinCcosBcosC. ∵sinBsinC≠0，sinBsinC＝cosBcosC， 即cos(B＋C)＝0，∴∠B＋∠C＝90，∠A＝90，故△ABC為直角三角形． 方法二：將已知等式變?yōu)閎2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC. 由余弦定理可得：b2＋c2－b2()2－c2()2＝2bc. 即b2＋c2＝ 也即b2＋c2＝a2，故△ABC為直角三角形． 【

12、規(guī)律方法】　在利用正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化時(shí)，等式兩邊a，b，c及角的正弦值的次數(shù)必須相同，否則不能相互轉(zhuǎn)化． 12．(2013全國新課標(biāo)Ⅰ，理)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90. (1)若PB＝，求PA； (2)若∠APB＝150，求tan∠PBA. 【解析】　(1)由已知得，∠PBC＝60，∴∠PBA＝30， 在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2cos30＝，∴PA＝. (2)設(shè)∠PBA＝α，由已知得，PB＝sinα， 在△PBA中，由正弦定理得＝，化簡得，cosα＝4sinα， ∴tanα＝，∴tan∠PBA＝.