蘇科版八年級數(shù)學上冊3.3 勾股定理的簡單應(yīng)用（含解析）

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1、3.3 勾股定理的簡單應(yīng)用 一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．如圖，在一個高為3m，長為5m的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度為（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 2．一艘輪船以16海里∕小時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，同時另一輪船以12海里∕小時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口3小時后，則兩船相距（　?。? A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里 3．一個長為10米的梯子AB斜靠在墻上，AC⊥BC，AC＝BC，當梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時，梯子足B沿CB方向水平

2、滑動y米，則x與y的大小關(guān)系是（　　） A．x＝y(tǒng) B．x＞y C．x＜y D．不確定 4．一海輪以24海里/時的速度從港口A出發(fā)向東南方向航行，另一海輪以18海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向西南方向航行，離開港口2小時后，兩海輪之間的距離為（　　） A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里 5．2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓涵和學校國旗護衛(wèi)隊的其他同學們趕到學校舉行了簡樸而降重的升旗儀式．傾聽著雄壯的國歌聲，目送著五星紅旗級緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生．愛動腦筋的王梓涵設(shè)計了一個方案來測量學校旗桿的高度．將升旗的繩子拉直到末端剛好

3、接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5m處，測得此時繩子末端距離地面高度為1m，最后根據(jù)剛剛學習的勾股定理就能算出旗桿的高度為（　?。? A．10m B．11m C．12m D．13m 6．如圖，將一根長13厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為（　?。├迕祝? A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．請把答案直接填寫在橫線上） 7．如圖，在一次暴風災(zāi)害中，一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30角，那么這棵樹折斷之前的高度是　　米．

4、8．如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿的底端，繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿6m處，此時繩子末端距離地面2m，則繩子的總長度為　　m． 9．如圖，臺風過后某中學的旗桿在B處斷裂，旗桿頂部A落在離旗桿底部C點6米處，已知旗桿總長15米，則旗桿是在距底部　　米處斷裂． 10．已知小明和小王從同一地點出發(fā)，小明向正東方向走了2km，小王向正南方向走了3km，此時兩人之間相距　　km． 11．如圖，將一根長12厘米的筷子置于底面半徑為3厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為　　厘米． 12．如圖，某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，現(xiàn)計劃在

5、空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，則要投入　　元． 13．在一次玩耍中，小麗問小穎：“如果我現(xiàn)在從你所站的位置向東走3米，再向南走12米，再向東走2米，那么我與你相距　　米．” 14．如圖，將一根長為20cm的吸管，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)吸管露在杯子外面的長度是為hcm，則h的取值范圍是　　． 三、解答題（本大題共6小題，共58分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 15．如圖，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算這塊土地的面積，以便估

6、算產(chǎn)量．小明測得AB＝8m，AD＝6m，CD＝24m，BC＝26m，又已知∠A＝90．求這塊土地的面積． 16．如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖中的四邊形ABCD），經(jīng)測量，在四邊形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90． （1）△ACD是直角三角形嗎？為什么？ （2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？ 17．有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為5m，12m．現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形綠地，且擴允部分是以12m為直角邊的直角三角形，求擴充部分三角形綠地的面積．（如

7、圖備用） 18．學完勾股定理之后，同學們想利用升旗的繩子、卷尺測算出學校旗桿的高度．小明發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，請你幫小明求出旗桿的高度． 19．如圖所示，木工師傅做一個三角形屋梁架ABC．已知AB＝AC＝4m，為牢固起見，還需做一根中柱AD（AD是△ABC的中線）加以連接，中柱AD＝3m，求屋梁跨度BC的長． 20．蘇科版《數(shù)學》八年級上冊第35頁第2題，介紹了應(yīng)用構(gòu)造全等三角形的方法測量了池塘兩端A、B兩點的距離．星期天，愛動腦筋的小剛同學用下面的方法也能夠測量出家門前池塘兩端A、B兩點的距離．他是這樣做的：

8、 選定一個點P，連接PA、PB，在PM上取一點C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即確定池塘兩端A、B兩點的距離為15m． 小剛同學測量的結(jié)果正確嗎？為什么？ 答案與解析 一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（2019春?泉山區(qū)期中）如圖，在一個高為3m，長為5m的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度為（　?。? A．7m B．8m C．9m D．10m 【分析】當?shù)靥轰仢M樓梯時其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可．

9、 【解析】由勾股定理得： 樓梯的水平寬度4， ∵地毯鋪滿樓梯是其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和， ∴地毯的長度至少是3+4＝7（m）． 故選：A． 2．（2019秋?江蘇省連云港期中）一艘輪船以16海里∕小時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，同時另一輪船以12海里∕小時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口3小時后，則兩船相距（　?。? A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里 【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程＝速度時間，得兩條船分別走了48，36海里．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離． 【解析】∵兩船行駛的方向是

10、東北方向和東南方向， ∴∠BAC＝90， 3小時后，兩艘船分別行駛了163＝48，123＝36海里， 根據(jù)勾股定理得：60（海里）． 故選：C． 3．（2019秋?江蘇省靖江市校級期中）一個長為10米的梯子AB斜靠在墻上，AC⊥BC，AC＝BC，當梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時，梯子足B沿CB方向水平滑動y米，則x與y的大小關(guān)系是（　?。? A．x＝y(tǒng) B．x＞y C．x＜y D．不確定 【分析】根據(jù)題意由勾股定理得出關(guān)于AC，BC，x，y的等式，再利用2AC﹣x＜2BC+y，得出x＞y． 【解析】∵AC＝BC，當梯子的頂端A下滑x米時，梯足B沿CB方向滑動了y米，

11、∴CD＝AC﹣x，EC＝BC+y＝AC+y， ∴AC2+BC2＝（AC﹣x）2+（AC+y）2， ∴2AC?x﹣x2＝2BC?y+y2， ∴x（2AC﹣x）＝y(tǒng)（2BC+y）， ∵AC＝BC， ∴2AC﹣x＜2BC+y， ∴x＞y， 故選：B． 4．（2019秋?江蘇省睢寧縣期中）一海輪以24海里/時的速度從港口A出發(fā)向東南方向航行，另一海輪以18海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向西南方向航行，離開港口2小時后，兩海輪之間的距離為（　?。? A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里 【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程＝速度時間，得

12、兩條船分別走了48，36．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離． 【解析】如圖，連接BC． ∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向， ∴∠BAC＝90， 兩小時后，兩艘船分別行駛了242＝48（海里），182＝36（海里）， 根據(jù)勾股定理得：BC60（海里）． 故選：C． 5．（2019秋?江蘇省新北區(qū)期中）2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓涵和學校國旗護衛(wèi)隊的其他同學們趕到學校舉行了簡樸而降重的升旗儀式．傾聽著雄壯的國歌聲，目送著五星紅旗級緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生．愛動腦筋的王梓涵設(shè)計了一個方案來測量學校旗桿的高度．將升旗的繩子拉直到末

13、端剛好接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5m處，測得此時繩子末端距離地面高度為1m，最后根據(jù)剛剛學習的勾股定理就能算出旗桿的高度為（　?。? A．10m B．11m C．12m D．13m 【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為x，可得AC＝AD＝x，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【解析】設(shè)旗桿高度為x，可得AC＝AD＝x，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m 根據(jù)勾股定理得，繩長的平方＝x2+12， 右圖，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方＝（x﹣1）2+52， ∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11． 故

14、選：B． 6．（2019秋?江蘇省鎮(zhèn)江期中）如圖，將一根長13厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為（　?。├迕祝? A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先應(yīng)根據(jù)勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即10，故筷子露在杯子外面的長度至少為多少可求出． 【解析】如圖所示，筷子，圓柱的高，圓柱的直徑正好構(gòu)成直角三角形， ∴勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即10（cm）， ∴筷子露在杯子外面的長度至少為13﹣10＝3cm， 故選：C． 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．請把答案直接填寫在橫線上） 7

15、．（2019秋?江蘇省惠山區(qū)校級期中）如圖，在一次暴風災(zāi)害中，一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30角，那么這棵樹折斷之前的高度是　6　米． 【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了短直角邊和一銳角為30度，運用直角三角形30度角的性質(zhì)，從而得出這棵樹折斷之前的高度． 【解析】∵一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30角， 如圖，可知：∠ACB＝90，AC＝2米，∠ABC＝30， ∴AB＝2AC＝4米， ∴折斷前高度為2+4＝6（米）． 故答案為6． 8．（2019秋?江蘇省鼓樓區(qū)校級期中）如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿的底端，繩

16、子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿6m處，此時繩子末端距離地面2m，則繩子的總長度為　10　m． 【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)繩子的長度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝6m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x． 【解析】過C作CB⊥AD于B， 設(shè)繩子的長度為xm，則AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝6m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+62＝x2， 解得：x＝10， 即繩子的長度為10m． 故答案為：10． 9．（2019秋?江蘇省大豐區(qū)期中）如圖，臺風過后某中學的旗桿在B處斷裂，旗桿頂部A落

17、在離旗桿底部C點6米處，已知旗桿總長15米，則旗桿是在距底部　6.3　米處斷裂． 【分析】旗桿折斷的部分，未折斷的部分和旗桿頂部離旗桿底的部分構(gòu)成了直角三角形，運用勾股定理可將折斷的未知求出． 【解析】設(shè)旗桿是在距底部x米處斷裂，則折斷部分的長為（15﹣x）m， 由勾股定理得：x2+62＝（15﹣x）2， 解得：x＝6.3， 即旗桿是在距底部6.3米處斷裂， 故答案為：6.3． 10．（2019秋?江蘇省溧水區(qū)期中）已知小明和小王從同一地點出發(fā)，小明向正東方向走了2km，小王向正南方向走了3km，此時兩人之間相距　　km． 【分析】根據(jù)小明和小王兩人所走的方向，可知小明和小

18、王兩人的路線可構(gòu)成直角三角形，兩人的距離為直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理可求解出． 【解析】如圖所示，∠ACB＝90， ∴AB（km）． 故答案為：． 11．（2019秋?江蘇省海州區(qū)期中）如圖，將一根長12厘米的筷子置于底面半徑為3厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為　2　厘米． 【分析】首先應(yīng)根據(jù)勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即10，故筷子露在杯子外面的長度至少為多少可求出． 【解析】如圖所示，筷子，圓柱的高，圓柱的直徑正好構(gòu)成直角三角形， ∴勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即10cm， ∴筷子露在杯子外面的長度至少為12

19、﹣10＝2cm， 故答案為2． 12．（2019秋?江蘇省連云港期中）如圖，某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，則要投入　7200　元． 【分析】仔細分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果．連接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的長，由BD、CD、BC的長度關(guān)系可得三角形DBC為一直角三角形，DC為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構(gòu)成，則容易求解． 【解析】連接BD， 在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，

20、 在△CBD中，CD2＝132BC2＝122， 而122+52＝132， 即BC2+BD2＝CD2， ∴∠DBC＝90， S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC， 36． 所以需費用36200＝7200（元）． 故答案為：7200 13．（2019秋?江蘇省邗江區(qū)校級期中）在一次玩耍中，小麗問小穎：“如果我現(xiàn)在從你所站的位置向東走3米，再向南走12米，再向東走2米，那么我與你相距　13　米．” 【分析】根據(jù)題意作出直角三角形，再利用勾股定理進而得出答案． 【解析】由題意可得： AC＝5m，BC＝12m， 則AB13（m）． 故答案為：13． 14．（201

21、9秋?江蘇省永嘉縣期中）如圖，將一根長為20cm的吸管，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)吸管露在杯子外面的長度是為hcm，則h的取值范圍是　7≤h≤8?。? 【分析】根據(jù)勾股定理求出h的最短距離，進而可得出結(jié)論． 【解析】如圖，當筷子、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時，h最短， 此時AB13，故h最短＝20﹣13＝7（cm）； 當筷子豎直插入水杯時，h最大，此時h最大＝20﹣12＝8（cm）． 故答案為：7≤h≤8． 三、解答題（本大題共6小題，共58分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 15．（2019秋?江蘇省宿豫區(qū)期中）如圖，小明爸

22、爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算這塊土地的面積，以便估算產(chǎn)量．小明測得AB＝8m，AD＝6m，CD＝24m，BC＝26m，又已知∠A＝90．求這塊土地的面積． 【分析】本題要先把解四邊形的問題轉(zhuǎn)化成解三角形的問題，再用勾股定理解答． 【解析】連接BD， ∵∠A＝90， ∴BD2＝AD2+AB2＝100 則BD2+CD2＝100+576＝676＝262＝BC2，因此∠CBD＝90， S四邊形ABCD＝S△ADB+S△CBDAD?ABBD?CD682410＝144（平方米）． 16．（2019秋?江蘇省睢寧縣期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊

23、空地（圖中的四邊形ABCD），經(jīng)測量，在四邊形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90． （1）△ACD是直角三角形嗎？為什么？ （2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？ 【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90； （2）分別利用三角形的面積公式求出△ABC、△ACD的面積，兩者相加即是四邊形ABCD的面積，再乘以80，即可求總花費． 【解析】（1）如圖，連接AC， 在

24、Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90，AB2+CB2＝AC2 ∴AC＝5cm， 在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90； （2）∵S△ABC34＝6，S△ACD512＝30， ∴S四邊形ABCD＝6+30＝36， 費用＝3680＝2880（元）． 答：鋪滿這塊空地共需花費2880元． 17．（2019秋?江蘇省連云港期中）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為5m，12m．現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形綠地，且擴允部分是以12m為直角邊的直角三角形，求擴充部分三角形綠地

25、的面積．（如圖備用） 【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊AB，（1）當AB＝AD時或AB＝BD，求出CD即可；（2）當AB＝BD時，求出CD、AD即可；（3）當DA＝DB時，設(shè)AD＝x，則CD＝x﹣5，求出即可． 【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90，AC＝5m，BC＝12m， ∴AB＝13m， （1）如圖1，當AB＝AD時，CD＝5m， 則△ABD的面積為：BD?AC（5+5）12＝60（m2）； 若延長BC到D，使CD＝AC＝12m，則△ABD的面積為ADBC＝60 （m2）， 60﹣30＝30 （m2）； （2）圖2，當AB＝BD時，CD＝8m，則△ABD的面積為

26、：BD?AC（5+8）12＝78（m2）； 78﹣30＝48（m2）； （3）如圖3，當DA＝DB時，設(shè)AD＝x，則CD＝x﹣5， 則x2＝（x﹣5）2+122， ∴x＝16.9， 則△ABD的面積為：BD?AC16.912＝101.4（m2）； 101.4﹣30＝71.4（m2）． 答：擴充后等腰三角形綠地的面積是30m2或48m2或71.4m2． 18．（2019秋?江蘇省溧水區(qū)期中）學完勾股定理之后，同學們想利用升旗的繩子、卷尺測算出學校旗桿的高度．小明發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，請你幫小明求出旗桿的高度．

27、【分析】根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的長，即旗桿的高． 【解析】設(shè)旗桿的高AB為xm，則繩子AC的長為（x+1）m 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2 ∴x2+52＝（x+1）2 解得x＝12 ∴AB＝12 ∴旗桿的高12m． 19．（2019秋?江蘇省溧水區(qū)期中）如圖所示，木工師傅做一個三角形屋梁架ABC．已知AB＝AC＝4m，為牢固起見，還需做一根中柱AD（AD是△ABC的中線）加以連接，中柱AD＝3m，求屋梁跨度BC的長． 【分析】首先利用等腰三角形的性質(zhì)求得D為BC的中點，然后利用勾股定理求得BD的長，

28、從而求得BC的長． 【解析】∵AB＝AC＝4，AD是△ABC的中線，AD＝3， ∴AD⊥BC，BDBC， 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD， ∴BC＝2BD＝2， ∴屋梁跨度BC的長度是2m． 20．（2019秋?江蘇省建湖縣期中）蘇科版《數(shù)學》八年級上冊第35頁第2題，介紹了應(yīng)用構(gòu)造全等三角形的方法測量了池塘兩端A、B兩點的距離．星期天，愛動腦筋的小剛同學用下面的方法也能夠測量出家門前池塘兩端A、B兩點的距離．他是這樣做的： 選定一個點P，連接PA、PB，在PM上取一點C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即確定池塘兩端A、B兩點的距離為15m． 小剛同學測量的結(jié)果正確嗎？為什么？ 【分析】由勾股定理的逆定理證出△BCP是直角三角形，∠BCP＝90，得出∠ACB＝90，再由勾股定理求出AB即可． 【解析】小剛同學測量的結(jié)果正確，理由如下： ∵PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m， ∴AC＝PA﹣PC＝9m，PC2+BC2＝52+122＝169，PB2＝132＝169， ∴PC2+BC2＝PB2， ∴△BCP是直角三角形，∠BCP＝90， ∴∠ACB＝90， ∴AB15（m）． 18