計(jì)數(shù)原理+排列組合復(fù)習(xí)課 (高三一輪復(fù)習(xí))

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1、 兩 個(gè) 計(jì) 數(shù) 原 理排 列 ， 排 列 數(shù) 公 式 組 合 ， 組 合 數(shù) 公 式應(yīng) 用 【 例 1】 有 兩 個(gè) 袋 子 ， 其 中 一 個(gè) 袋 子 裝 有 20個(gè) 紅 色 小 球 ， 每 個(gè) 球 上 標(biāo) 有 1至 20中 的 號(hào) 碼 ， 另 一 個(gè) 袋 子 裝 有 白 色 小 球 15 個(gè) ， 每 個(gè) 球 上 標(biāo) 有 1至 15中 的 號(hào) 碼 ， (1)從 袋 子 中 任 取 一 個(gè) 小 球 ， 有 多 少 種 不 同 的 取 法 ？ (2)從 袋 中 任 取 紅 白 球 各 一 個(gè) ， 有 多 少 種 不 同 的 取 法 ？ 點(diǎn) 評(píng) ： 分 清 是 “ 分 類 ” 還 是 “ 分 步

2、 ” 是區(qū) 別 應(yīng) 用 這 兩 個(gè) 原 理 的 關(guān) 鍵 所 在 分 析 ： 分 類 ： 方 法 可 分 類 ， 類 與 類 是 并 列 關(guān) 系 ， 一 類 方 法 能 完 成 一 件 事 ； 分 步 ： 過(guò) 程 需 分 步 ， 步 與 步 是 前 后 相 繼 的 關(guān) 系 ， 一 步 不 能 完 成 一 件 事 情 ， 幾 步 共 同 才解 ： (1)分 兩 類 ： 從 紅 球 中 任 取 一 個(gè) 有 20種 不 同 的 取 法 從 白 球 中 任 取 一 個(gè) 有 15種 不 同 的 取 法 由 分 類 計(jì) 數(shù) 原 理 得 20 15 35(種 ), 即 共 35種 不 同 取 法 (2)分 兩

3、 步 ： 從 紅 球 中 任 取 一 個(gè) 有 20種 不 同 的 取 法 ； 從 白 球 中 任 取 一 個(gè) 有 15種 不 同 的 取 法 ，由 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 得 20 15 300(種 ),即 共 300種 不 同 取 法 能 完 成 一 件 事 。 1、 分 類 、 分 步 兩 個(gè) 原 理 的 區(qū) 別 與 聯(lián) 系分 類 計(jì) 數(shù) 原 理 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理定 義 做 一 件 事 ， 完 成 它 可 以 有 n類 辦 法 ，第 一 類 辦 法 中 有 種 不 同 的 方 法 ，第 二 類 辦 法 中 有 種 不 同 的 方 法 ， ，第 n類 辦 法 中 有 種 不 同 的 方

4、 法 ， 那 么 完 成 這 件 事 共 有 種 不 同 的 方 法 . 做 一 件 事 ， 完 成 它 可 以 有 n個(gè) 步 驟 ，做 第 一 步 中 有 種 不 同 的 方 法 ，做 第 二 步 中 有 種 不 同 的 方 法 ，做 第 n步 中 有 種 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 這 件 事 共 有 種 不 同 的 方 法 .相 同 點(diǎn) 做 一 件 事 或 完 成 一 項(xiàng) 工 作 的 方 法 數(shù)不 同 點(diǎn) 直 接 （ 分 類 ） 完 成 間 接 （ 分 步 驟 ） 完 成名 稱內(nèi) 容 1m2m nm1 2 3 nN m m m m 1m2mnm1 2 3 nN m m m m

5、 【 鞏 固 練 習(xí) 】 已 知 集 合 M 3, 2, 1,0,1,2,P(a,b)是 平 面 上 點(diǎn) ， (1) P可 表 示 多 少 個(gè) 不 同 的 點(diǎn) ？ (2) P可 表 示 多 少 個(gè) 坐 標(biāo) 軸 上 的 點(diǎn) ？ (2)分 三 類 ： 第 一 類 ： P為 x軸 上 (除 原 點(diǎn) )的 點(diǎn) 有 5種 ， 第 二 類 ： P為 y軸 上 (除 原 點(diǎn) )的 點(diǎn) 有 5種 ， 第 三 類 ： P為 原 點(diǎn) 有 1種 ， 由 分 類 計(jì) 數(shù) 原 理 得 5 5 1 11(種 )， P可 表 示 11個(gè) 坐 標(biāo) 軸 上 的 點(diǎn) 解 ： (1)分 兩 步 ： 第 一 步 ： 先 確 定 橫

6、坐 標(biāo) a有 6種 不 同 的 選 法 ； 第 二 步 ： 再 確 定 縱 坐 標(biāo) b有 6種 不 同 的 選 法 ， 由 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 得 6 6 36 (種 )， P可 表 示 36個(gè) 不 同 的 點(diǎn) 【 例 2】 用 五 種 不 同 顏 色 給 圖 中 四 個(gè) 區(qū) 域 涂 色 ， 每 個(gè) 區(qū) 域 涂 一 種 顏 色 ， (1)共 有 多 少 種 不 同 的 涂 色 方 法 ？ (2)若 要 求 相 鄰 (有 公 共 邊 )的 區(qū) 域 不 同 色 ， 那 么 共 有 多 少 種 不 同 的 涂 色 方 法 ？1 234解 ： (1)由 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 可 知 ， 共 有

7、=625種 ； 45 (2)只 有 2和 4可 同 色 。 若 2， 4不 同 色 有 種 ， 若 2， 4同 色 ， 有 種 ， 共 有 120+60=180種 。 分 析 ： 有 5種有 5種有 5種 有 5種分 析 ： 5 4 3 2 120 5 4 3 60 1 234 21 53 4= 420（ 種 ）3 335444555 2 ACACA 解 ： 按 顏 色 分 類 ， 有 三 類 不 同 的 著 色 方 法 ：（ 1） 涂 5色 ： 有 種 ；55A（ 2） 涂 4色 ： 有 種 .4445AC由 分 類 計(jì) 數(shù) 原 理 ， 不 同 的 著 色 方 法 有 ：2（ 3） 涂 3色

8、 ： 有 種 .3335 AC練 習(xí) 如 圖 ， 一 個(gè) 地 區(qū) 分 為 5個(gè) 行 政 區(qū) 域 ， 現(xiàn) 給 地 圖 著 色 ，要 求 相 鄰 地 區(qū) 不 得 使 用 同 一 顏 色 ， 現(xiàn) 有 5種 顏 色 可 供 選 擇 ，則 不 同 的 著 色 方 法 共 有 種 （ 以 數(shù) 字 作 答 ） . 【 例 3】 有 4名 學(xué) 生 報(bào) 名 參 加 數(shù) 學(xué) 、 物 理 、 化 學(xué) 競(jìng) 賽 ， 每 人 限 報(bào) 一 科 ， 有 多 少 種 不 同 的 報(bào) 名 方 法 ？ 有 4名 學(xué) 生 爭(zhēng) 奪 數(shù) 學(xué) 、 物 理 、 化 學(xué) 競(jìng) 賽 的 冠 軍 ， 有 多少 種 不 同 的 結(jié) 果 ？分 析 ：

9、4名 學(xué) 生 報(bào) 名 參 加 競(jìng) 賽 ， 不 得 兼 報(bào) ， 是 “ 人 選 科 目 ” ， 每 人 都 有 3種 不 同 的 報(bào) 名 方 法 ， 可 把 4名 學(xué) 生 報(bào) 名 視 為 4個(gè) 步 驟 ， 用 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 ； 4名 學(xué) 生 爭(zhēng) 奪 三 項(xiàng) 冠 軍 ， 因 每 位 冠 軍 只 能 是 一 名 學(xué) 生 獲 得 ， 故 應(yīng) 是 “ 科 目 選 人 ” ， 每 個(gè) 科 目 的 冠 軍 都 有 4種 可 能 ， 將 3個(gè) 科 目 選 冠 軍 視 為 3個(gè) 步 驟 ， 也 應(yīng) 用 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 解 ： 4名 學(xué) 生 中 ， 每 人 都 要 選 報(bào) 數(shù) 學(xué) 、 物 理 、

10、 化 學(xué) 中 的 一 科 ， 根 據(jù) 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 ， 共 有 種 報(bào) 名 方 法 43 3 3 3 3 81 4名 學(xué) 生 爭(zhēng) 奪 數(shù) 學(xué) 、 物 理 、 化 學(xué) 三 項(xiàng) 冠 軍 ， 每 一 項(xiàng) 冠 軍都 有 4種 不 同 的 結(jié) 果 ， 共 有 種 不 同 的 結(jié) 果 。 34 4 4 4 64 2、 排 列 和 組 合 的 區(qū) 別 和 聯(lián) 系名 稱 排 列 組 合定 義 從 n個(gè) 不 同 元 素 中 取 出 m個(gè) 元 素 ， 按一 定 的 順 序 排 成 一 列 從 n個(gè) 不 同 元 素 中 取 出 m個(gè) 元 素 ，把 它 并 成 一 組種 數(shù) 所 有 排 列 的 的 個(gè) 數(shù)

11、所 有 組 合 的 個(gè) 數(shù)符 號(hào)計(jì) 算公 式關(guān) 系性 質(zhì) 區(qū) 別 先 選 后 排 只 選 不 排mnA mnC( 1) ( 1)mnA n n n m !( )!mn nA n m ! 0! 1nnA n ! )1()1( m mnnnCmn )!(! ! mnm nCmn 10 nCm m mn n mA C A 11m mn nA nA 11 mnmnmn CCCmnnmn CC 【 算 一 算 】(1)計(jì) 算 1111 mm nm nmnm A AA (2)解 方 程 34 12 140 xx AA (3) 1 1( 2)n n nm m mA nA A n 排 列 應(yīng) 用 題 的 求

12、解 應(yīng) 著 眼 的 三 個(gè) 方 面 ：(1)問(wèn) 題 的 結(jié) 果 是 否 與 順 序 有 關(guān) ， 能 否 歸 結(jié) 為 排 列 問(wèn) 題 ；(2)問(wèn) 題 中 的 幾 個(gè) 元 素 指 的 是 什 么 ， m個(gè) 元 素 的 一 個(gè) 排 列 對(duì) 應(yīng) 著 的 事 件 是 什 么 ；(3)從 n個(gè) 元 素 中 每 次 取 出 m個(gè) 元 素 的 一 個(gè) 排 列 對(duì) 應(yīng) 著 的 事 件 是 什 么 一 、 特 殊 優(yōu) 先 原 則 在 有 限 制 的 問(wèn) 題 中 ， 優(yōu) 先 考 慮 特 殊 元 素 或 特 殊位 置 三 大 原 則 ：二 、 先 取 后 排 原 則先 取 后 排 原 則 也 是 解 排 列 組 合

13、問(wèn) 題 的 總 原 則 ， 尤 其 是排 列 與 組 合 的 綜 合 問(wèn) 題 。三 、 正 難 則 反 原 則 若 從 正 面 直 接 解 決 問(wèn) 題 有 困 難 時(shí) ， 則 考 慮 排 除法 ： 先 不 管 約 束 條 件 ， 求 出 總 數(shù) ， 再 剔 除 不 合 要 求的 部 分 采 用 策 略 ：（ 1） 特 殊 位 置 /元 素 優(yōu) 先 排 列 的 策 略 ：（ 2） 合 理 分 類 與 準(zhǔn) 確 分 步 的 策 略 ；（ 3） 排 列 、 組 合 混 合 問(wèn) 題 先 選 后 排 的 策 略 ；（ 4） 正 難 則 反 、 等 價(jià) 轉(zhuǎn) 化 的 策 略 ；（ 5） 相 鄰 問(wèn) 題 捆 綁

14、 處 理 的 策 略 ；（ 6） 不 相 鄰 問(wèn) 題 插 空 處 理 的 策 略 ；（ 7） 定 序 問(wèn) 題 除 法 處 理 的 策 略 ；（ 8） 分 排 問(wèn) 題 直 排 的 策 略 （ 一 排 考 慮 ， 分 段 研 究 ） . 排 列 : 順 序 ；【 例 1 】 7人 按 下 述 要 求 排 成 一 列 ， 分 別 有 多 少 種 不 同 的 站 法 ？ (1)甲 不 站 在 兩 端 ； (2)甲 、 乙 必 須 站 在 兩 端 ； (3)甲 、 乙 不 相 鄰 ； (4)甲 、 乙 必 須 相 鄰 ； (5)甲 、 乙 之 間 相 隔 2人 ； (6)甲 在 乙 的 前 面 (可 以

15、 不 相 鄰 )a cb d e gf分 析 ： 由 于 元 素 甲 、 乙 有 特 殊 要 求 ， 故 可 采 用 優(yōu) 先 元 素 或 位 置 優(yōu) 先 排 列 解 ： (1)(特 殊 位 置 分 析 法 )由 于 甲 不 站 在 兩 端 ， 可 先 從 除 甲 外 的 6人 中 任 選 2人 站 于 兩 端 共 有 種 方 法 ， 再 將 所 剩 5 人 在 所 剩 5個(gè) 位 置 上 進(jìn) 行 全 排 列 有 種 方 法 ， 故 共 有 種 不 同 的 站 法 26A 55A2 56 5 3600A A (間 接 法 )7人 全 排 列 共 有 種 ， 其 中 甲 在 兩 端 者 有 種 ，

16、故 甲 不 在 兩 端 的 所 有 站 法 ， 共 有 種 77A 1 62 6A A7 1 67 2 6 3600A A A (特 殊 元 素 分 析 法 )由 于 甲 不 站 在 兩 端 ， 故 甲 只 能 站 在 中 間 五 個(gè) 位 置 之 一 ， 有 種 ， 余 下 的 6人 進(jìn) 行 全 排 列 共 有 種 ， 由 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 得 ， 共 有 種 不 同 的 站 法 15A 66A1 65 6 3600A A (2)先 排 甲 、 乙 于 兩 端 有 種 排 法 ， 再 讓 余 下 的 5人 進(jìn) 行 排 有 種 ， 故 甲 、 乙 站 在 兩 端 的 所 有 排 法 有 種

17、 排 法 22A55A 5 25 2A A(3)(插 空 法 )由 于 甲 、 乙 不 相 鄰 ， 故 先 排 除 了 甲 、 乙 以 外 的 5人 ， 有 種 排 法 ， 再 將 甲 、 乙 兩 人 插 入 6個(gè) 空 檔 有 種 ， 由 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 得 :甲 、 乙 不 相 鄰 的 排 法 有 種 不 同 的 排 法 a cb d e分 析 26A55A 5 25 6 3600A A (間 接 法 )7人 全 排 列 有 種 ， 其 中 甲 、 乙 相 鄰 者 有 種 ，從 而 甲 、 乙 不 相 鄰 者 有 種 不 同 的 排 法 77A 2 62 6A A7 2 67 2 6

18、 3600A A A (4)(捆 綁 法 )設(shè) 想 將 甲 、 乙 2人 并 作 一 人 ， 與 其 余 5人 進(jìn) 行 全 排 列 ， 共 有 種 排 法 ， 又 此 2人 的 位 置 可 交 換 ， 即 有 種 排 法 ， 于 是 共 有 種 不 同 的 排 法 66A 22A2 62 6 1440A A a cb d e gf分 析(5)先 從 另 5人 中 選 2人 排 于 甲 、 乙 之 間 ， 有 種 排 法 ， 又 甲 、 乙 2人 的 排 法 有 種 ， 最 后 將 甲 、 乙 及 其 中 間 2人 共 4人 并 作 一 個(gè) 元 素 ， 與 其 余 3人 排 列 列 有 種 排

19、法 ， 故 共 有 種 不 同 的 排 法 25A22A 2 2 45 2 4 960A A A 44A (6)(整 體 、 對(duì) 稱 法 )注 意 到 甲 在 乙 前 與 甲 在 乙 后 的 排 法 一 樣 多 ， 故 共 有 種 排 法 771 25202 A 點(diǎn) 評(píng) ： “ 先 ” 與 “ 后 ” ， “ 并 ” 與 “ 插 ” 都 是 辨證 的 ， 是 可 以 互 相 轉(zhuǎn) 化 的 ， 在 處 理 限 位 排 列 問(wèn) 題時(shí) ， 應(yīng) 靈 活 運(yùn) 用 上 述 方 法 與 策 略 考 點(diǎn) 四 定 序 問(wèn) 題 消 序 (定 序 元 素 后 排 )策 略 【 例 3】 7人 排 隊(duì) , 其 中 甲

20、乙 丙 3 人 順 序 一 定 共 有 多 少不 同 的 排 法 ？ 47A 【 練 】 用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 組 成 沒(méi) 有 重 復(fù) 數(shù) 字 的 十 位數(shù) 字 小 于 個(gè) 位 數(shù) 字 的 五 位 數(shù) 共 有 多 少 個(gè) ？ 2259AA【 練 】 某 班 新 年 聯(lián) 歡 會(huì) 原 定 的 5個(gè) 節(jié) 目 已 排 成 節(jié) 目單 ， 開(kāi) 演 前 又 增 加 了 兩 個(gè) 新 節(jié) 目 .如 果 將 這 兩 個(gè) 新節(jié) 目 插 入 原 節(jié) 目 單 中 ， 且 兩 個(gè) 新 節(jié) 目 不 相 鄰 ， 那么 不 同 插 法 的 種 數(shù) 為30 例 7.8人 排 成 前 后 兩 排 ,每 排 4人

21、,其 中 甲 乙 在 前 排 ,丁 在 后 排 ,共 有 多 少 排 法 ？解 :8人 排 前 后 兩 排 ,相 當(dāng) 于 8人 坐 8把 椅 子 ,可 以 把 椅 子 排 成 一 排 . 先 在 前 4個(gè) 位 置 排 甲 乙 兩個(gè) 特 殊 元 素 有 _種 ,再 排 后 4個(gè) 位 置 上 的特 殊 元 素 有 _種 ,其 余 的 5人 在 5個(gè) 位 置上 任 意 排 列 有 _種 ,則 共 有 _種 . 前 排 后 排24A14A 55A 24A 55A14A一 般 地 ,元 素 分 成 多 排 的 排 列 問(wèn) 題 ,可歸 結(jié) 為 一 排 考 慮 ,再 分 段 研 究 . 點(diǎn) 撥 : 先 不

22、考 慮 定 序 的 條 件 , 排 好 后 再 除 以 要 求 定 序 的 元 素 的 全 排 列 數(shù) . 變 式 10人 身 高 各 不 相 等 , 排 成 前 后 排 , 每 排 5人 , 要 求 從 左 至 右 身 高 逐 漸 增 加 ， 共 有 多 少 排 法 ？ 510C 【 小 試 牛 刀 】 (1)從 a,b,c,d 4名 學(xué) 生 中 選 出 2名 完 成 一 件 工 作 ，有 多 少 種 不 同 的 選 法 ？ (2)從 a,b,c,d 4名 學(xué) 生 中 選 出 2名 完 成 兩 件 不 同 的 工 作 ，有 多 少 種 不 同 的 選 法 ？ 24A2 4C 組 合 ： 無(wú)

23、順 序 問(wèn) 題 ： 將 4本 不 同 的 書(shū) ， 按 下 列 要 求 分 組 有 多 少 不 同的 分 法 ？ (1)分 成 兩 組 ， 一 組 3本 ， 另 一 組 1本 ；(2)平 均 分 成 兩 組；分 組 問(wèn) 題(3)分 成 三 組 ， 一 組 2本 ， 另 兩 組 各 1本 ；(4)分 給 甲 、 乙 兩 人 ， 甲 3本 ， 乙 1本 ；(5)分 給 甲 、 乙 兩 人 ， 1人 3本 ， 另 1人 1本 ； 1.把 abcd分 成 平 均 兩 組ab cdac bdad bc 有 _多 少 種 分 法 ？C42 C22A22 3cdbdbc adacab 這 兩 個(gè) 在 分 組

24、時(shí) 只 能 算 一 個(gè) 平 均 分 成 的 組 ， 不 管 它 們 的 順 序 如 何 ， 都 是 一 種 情 況， 所 以 分 組 后 要 除 以 Amm， 即 m!， 其 中 m表 示 組 數(shù) 。分 組 問(wèn) 題 2.把 abcdef分 成 平 均 三 組 有 _多 少 種 分 法 ？分 組 問(wèn) 題ab cd efab ef cdcd ab efcd ef abef ad cdef cd abac de ef 這 6個(gè) 在 分 組 時(shí) 只 能 算 一 個(gè) 平 均 分 成 的 組 ， 不 管 它 們 的 順 序 如 何 ， 都 是 一 種 情 況， 所 以 分 組 后 要 除 以 A mm，

25、即 m!， 其 中 m表 示 組 數(shù) 。 C62 C42A33 15 1.把 abcd分 成 兩 組 ， 一 組 3個(gè) ， 一 組 1個(gè) ，abc dabd cacd b有 _多 少 種 分 法 ？ C43 C11 4bcd a 分 組 總 共 有 4種分 組 問(wèn) 題 :(不 平 均 分 組 ) 有 種 方 法 ；11C 可 先 分 3本 的 一 組 ， 再 分 1本 的 一 組 ， 這 是 連 續(xù) 進(jìn)行 的 過(guò) 程 ， 因 此 應(yīng) 采 用 分 步 法 將 4本 不 同 的 書(shū) ， 按 下 列 要 求 分 組 有 多 少 不 同 的 分 法 ？ (1)分 析 ：解 ： 第 1步 ： 從 4本

26、書(shū) 中 任 取 3本 分 給 3本 的 一 組 ， 第 2步 ： 余 下 的 1本 書(shū) 分 給 1本 的 一 組 ， 根 據(jù) 乘 法 原 理 ， 共 有 =4 種 不 同 分 法 3 14 1C C分 組 問(wèn) 題(1)分 成 兩 組 ， 一 組 3本 ， 另 一 組 1本 ；分 二 步 有 種 分 法 ；34C 不 平 均 分 組 ， 無(wú) 分 配 目 標(biāo) 將 4本 不 同 的 書(shū) ， 按 下 列 要 求 分 組 有 多 少 不 同 的 分 法 ？ 有 種 方 法 ；2 2C解 ： 由 于 分 步 處 理 過(guò) 程 使 分 組 產(chǎn) 生 了 順 序 ， 要 用 “ 除 法 ” 消序 第 二 步 ，

27、再 分 余 下 的 2本 書(shū) 得 到 另 一 組 ， 有 種 分 法 ；24C故 符 合 要 求 的 分 法 有 =3 種 不 同 分 法 2 24 222C CA(2)平 均 分 成 兩 組 ；第 一 步 ， 先 從 4本 書(shū) 中 分 得 2本 得 到 一 組 ， 全 部 平 均 分 配 ， 無(wú) 分 配 目 標(biāo) 將 4本 不 同 的 書(shū) ， 按 下 列 要 求 分 組 有 多 少 不 同 的 分 法 ？ 有 種 分 法 ；12C解 ： 由 于 分 步 處 理 使 后 面 二 組 產(chǎn) 生 了 先 后 順 序 ， 要 用 “ 除 法 ” 消序 第 二 步 ， 再 從 余 下 的 2本 書(shū) 中 分

28、 1本 得 到 另 一 組， 有 種 分 法 ；24C故 符 合 要 求 的 分 法 有 =3 種 不 同 分 法 2 1 14 2 122C C CA (3)分 成 三 組 ， 一 組 2本 ， 另 兩 組 各 1本 ；第 一 步 ， 先 從 4本 書(shū) 中 分 2本 得 到 一 組 ， 部 分 平 均 分 配 ， 無(wú) 分 配 目 標(biāo) 第 三 步 ， 余 下 最 后 1本 書(shū) 得 到 最 后 一 組 ， 有 種 分 法 ；11C 問(wèn) 題 ： 將 4本 不 同 的 書(shū) ， 按 下 列 要 求 分 組 有 多 少 不 同的 分 法 ？ (1)分 成 兩 組 ， 一 組 3本 ， 另 一 組 1本

29、；(2)平 均 分 成 兩 組；一 、 分 組 不 分 配 問(wèn) 題2. 均 勻 分 組 無(wú) 分 配 對(duì) 象 的 問(wèn) 題3.部 分 均 分 無(wú) 分 配 對(duì) 象 的 問(wèn) 題(3)分 成 三 組 ， 一 組 2本 ， 另 兩 組 各 1本 ； 將 4本 不 同 的 書(shū) ， 按 下 列 要 求 分 組 有 多 少 不 同 的 分 法 ？ (4)分 給 甲 、 乙 兩 人 ， 甲 3本 ， 乙 1本 ；(5)分 給 甲 、 乙 兩 人 ， 1人 3本 ， 另 1人 1本 ；分 組 且 分 配 問(wèn) 題 分 組 定 向 分 配 問(wèn) 題分 組 不 定 向 分 配 問(wèn) 題有 種 方 法 ； 11C 可 先 分

30、給 甲 ， 再 分 給 乙 ， 這 是 連 續(xù) 進(jìn) 行 的 過(guò) 程 ，因 此 應(yīng) 采 用 分 步 法 (2)分 析 ：解 ： 第 1步 ： 甲 從 4本 書(shū) 中 分 得 3本 ， 第 2步 ： 乙 分 得 余 下 的 1本 書(shū) ， 根 據(jù) 乘 法 原 理 ， 共 有 =4 種 不 同 分 法 3 14 1C C分 二 步 ： 有 種 分 法 ；34C 不 平 均 分 組 ， 有 分 配 目 標(biāo) 且 明 確有 種 分 法 ；11C解 ： 第 1步 ： 先 從 4本 書(shū) 中 分 得 3本 得 到 一 組 ， 第 2步 ： 余 下 的 1本 書(shū) 得 到 另 一 組 ， 有 種 分 法 ；34C 根

31、據(jù) 乘 法 原 理 ， 共 有 =8 種 不 同 分 法 3 1 24 1 2C C A 第 3步 ： 將 分 好 的 兩 組 再 分 給 甲 、 乙 兩 人 ， 有 種 分 法 ；22A 不 平 均 分 組 ，有 分 配 目 標(biāo) ， 但 不 明 確 【 典 型 例 題 】 12本 不 同 的 書(shū) ， 按 下 列 方 法 分 堆 ， 共 有 多 少 種 不 同 的 方 法 ？ (1)分 成 A、 B、 C三 堆 ， 每 堆 4本 ； (2)分 成 A、 B、 C三 堆 ， A為 6本 ， B、 C各 為 3本 ； (3)平 均 分 成 三 堆 ， 每 堆 4本 ； (4)分 成 三 堆 ， 其

32、 中 一 堆 6本 ， 另 兩 堆 各 3本 ； (5)分 成 五 堆 ， 其 中 兩 堆 每 堆 3本 ， 另 外 三 堆 每 堆 2本 分 析 ： 4 4 4 4 4 4A B C ? 堆 有 編 號(hào) ， 分 堆 有 順 序 ； 平 均 分 堆 ， 堆 無(wú) 編 號(hào) ， 堆 與 堆 之 間 無(wú) 順 序 。 (2)同 (1)可 得 ： 共 有 種 分 堆 方 法 4 4 412 8 4 34650C C C 4 4 412 8 433 5575C C CA 6 3 312 6 322 9240C C CA (3)共 有 種 不 同 的 分 堆 方 法 (4)共 有 種 不 同 的 分 堆 方

33、法 (5)共 有 種 不 同 的 分 堆 方 法 3 3 2 2 12 9 6 22 32 3 138600C C C CA A 解 ： (1)A堆 得 4本 書(shū) 有 種 方 法 ， B堆 得 4本 書(shū) 有 種 方 法 ， C堆 得 4本 書(shū) 有 種 方 法 ， 由 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 得 ： 共 有 種 不 同 的 分 堆 方 法 412C 48C44C4 4 412 8 4 34650C C C 4 4 4 312 8 4 333 34650C C C AA 點(diǎn) 評(píng) ： 平 均 分 堆 問(wèn) 題 與 順 序 無(wú) 關(guān) 練 習(xí) ： 有 12個(gè) 人 ， 按 照 下 列 要 求 分 配 ， 求

34、不 同 的 分 法 種 數(shù) （ 1） 分 為 兩 組 ， 一 組 7人 ， 一 組 5人 ； （ 2） 分 為 甲 、 乙 兩 組 ， 甲 組 7人 ， 乙 組 5人 ； （ 3） 分 為 甲 、 乙 兩 組 ， 一 組 7人 ， 一 組 5人 ； （ 4） 分 為 甲 、 乙 兩 組 ， 每 組 6人 ； （ 5） 分 為 兩 組 ， 每 組 6人 ； （ 6） 分 為 三 組 ， 一 組 5人 ， 一 組 4人 ， 一 組 3人 ； （ 7） 分 為 甲 、 乙 、 丙 三 組 ， 甲 組 5人 ， 乙 組 4人 ， 丙 組 3人 ； （ 8） 分 為 甲 、 乙 、 丙 三 組 ， 一

35、組 5人 ， 一 組 4人 ， 一 組 3人 ； （ 9） 分 為 甲 、 乙 、 丙 三 組 ， 每 組 4人 ； （ 10） 分 為 三 組 ， 每 組 4人 【 探 索 與 研 究 】如 圖 ， 某 城 市 有 6縱 7橫 共 13條 馬 路 ， 汽 車 從 圖 示 A處 行 駛至 B處 ， 行 駛 方 向 規(guī) 定 只 能 是 正 東 向 或 正 北 向 ， 則 不 同 的行 駛 路 徑 有 多 少 條 ？ 分 析 ： 從 A行 駛 到 B， 共 需 走 11“段 ” 路 ，其 中 橫 路 5段 ， 縱 路 6段 ， 而 且 我 們 知 道 ，任 意 一 條 路 徑 都 是 5橫 6縱

36、共 11段 路 組成 從 而 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為 在 11段 路 徑 中 無(wú) 順序 地 確 定 5段 橫 路 的 位 置 ， 這 是 一 個(gè) 組 合問(wèn) 題 解 ： 共 有 條 不 同 的 路 徑 511 462C 點(diǎn) 評(píng) ： 對(duì) 于 較 復(fù) 雜 的 排 列 組 合 問(wèn) 題 ，充 分 挖 掘 出 問(wèn) 題 的 簡(jiǎn) 化 模 型 ， 往 往 是我 們 快 捷 而 準(zhǔn) 確 地 解 決 問(wèn) 題 的 關(guān) 鍵 2.(2016課 標(biāo) 全 國(guó) ,5,5分 )如 圖 ,小 明 從 街 道 的 E處 出 發(fā) ,先 到 F處 與 小 紅 會(huì) 合 ,再 一 起 到 位 于 G處 的老 年 公 寓 參 加 志 愿 者 活

37、動(dòng) ,則 小 明 到 老 年 公 寓 可 以 選 擇 的 最 短 路 徑 條 數(shù) 為 ( )A.24 B.18 C.12 D.9答 案 B 分 兩 步 ,第 一 步 ,從 EF,有 6條 可 以 選 擇 的 最 短 路 徑 ;第 二 步 ,從 FG,有 3條 可 以 選 擇 的 最 短 路 徑 .由 分 步 乘 法 計(jì) 數(shù) 原 理 可 知 有 63=18條 可 以 選 擇 的 最 短 路 徑 .故 選 B. 3、 課 堂 小 結(jié)1.正 確 區(qū) 分 、 合 理 運(yùn) 用 兩 個(gè) 計(jì) 數(shù) 原 理 ；2.真 正 理 解 排 列 與 組 合 的 區(qū) 別 和 聯(lián) 系 ；排 列 -順 序 ； 組 合 -無(wú)

38、順 序3.掌 握 求 解 排 列 、 組 合 的 典 型 方 法 。 間 接 法 、 捆 綁 法 、 插 空 法 、 整 體 對(duì) 稱 法 等 補(bǔ) 充 習(xí) 題 例 6. 用 0, l, 2, 3, 4, 5這 六 個(gè) 數(shù) 字 ， （ l） 能 組 成 多 少 個(gè) 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 的 四 位 偶 數(shù) ？ （ 2） 能 組 成 多 少 個(gè) 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 且 為 5的 倍 數(shù) 5位 數(shù) ？ （ 3） 能 組 成 多 少 個(gè) 比 1325大 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 的 四 位 數(shù) ？ （ 4） 能 組 成 多 少 個(gè) 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 的 且 奇 數(shù) 在 奇 數(shù) 位 上 的 六 位 數(shù) 字 ？解

39、 ：（ 2） 符 合 條 件 的 可 分 為 二 類 ：第 一 類 ： 0在 個(gè) 位 時(shí) 有 個(gè) ； 45A第 二 類 ： 5在 個(gè) 位 時(shí) 有 個(gè) ；3414 AA 由 分 類 計(jì) 數(shù) 原 理 得 ， 符 合 條 件 的 五 位 數(shù)341445 AAA = 216 （ 個(gè) ） 解 ：（ 3） 符 合 條 件 的 可 分 為 三 類 ：第 一 類 ： 千 位 數(shù) 字 為 2、 3、 4、 5 時(shí) 有 個(gè) ；3514 AA 第 二 類 ： 千 位 百 位 數(shù) 字 為 14、 15時(shí) 有 個(gè) ；2412 AA 由 分 類 計(jì) 數(shù) 原 理 得 ， 符 合 條 件 的 數(shù) 共 有1 312241235

40、14 AAAAAA = 270 （ 個(gè) ）第 三 類 ： 千 位 百 位 十 位 數(shù) 字 為 134、 135時(shí) 有 個(gè) ；1312 AA 例 5 用 0, l, 2, 3, 4, 5這 六 個(gè) 數(shù) 字 ， （ l） 能 組 成 多 少 個(gè) 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 的 四 位 偶 數(shù) ？ （ 2） 能 組 成 多 少 個(gè) 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 且 為 5的 倍 數(shù) 5位 數(shù) ？ （ 3） 能 組 成 多 少 個(gè) 比 1325大 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 的 四 位 數(shù) ？ （ 4） 能 組 成 多 少 個(gè) 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 的 且 奇 數(shù) 在 奇 數(shù) 位 上 的 六 位 數(shù) 字 ？ 解 ： （ 4） 先

41、 將 1， 3， 5 在 奇 數(shù) 位 上 排 列 ， 有 種 ， 再 將 其 余 3個(gè) 偶 數(shù) 排 在 剩 余 3個(gè) 位 置 上 排 列 ， 共 有 種 ，33A由 分 步 計(jì) 數(shù) 原 理 得 ， 共 有 種 排 法 ，2 2333333 AAAA = 24 （ 個(gè) ） 33A3333AA而 其 中 0在 首 位 上 時(shí) 不 合 題 意 ， 有 種 ，2233AA所 以 符 合 條 件 的 數(shù) 共 有 例 5 用 0, l, 2, 3, 4, 5這 六 個(gè) 數(shù) 字 ， （ l） 能 組 成 多 少 個(gè) 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 的 四 位 偶 數(shù) ？ （ 2） 能 組 成 多 少 個(gè) 無(wú) 重 復(fù) 數(shù)

42、 字 且 為 5的 倍 數(shù) 5位 數(shù) ？ （ 3） 能 組 成 多 少 個(gè) 比 1325大 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 的 四 位 數(shù) ？ （ 4） 能 組 成 多 少 個(gè) 無(wú) 重 復(fù) 數(shù) 字 的 且 奇 數(shù) 在 奇 數(shù) 位 上 的 六 位 數(shù) 字 ？ 謝 謝 ！ 【 小 試 牛 刀 】 (1)從 a,b,c,d 4名 學(xué) 生 中 選 出 2名 完 成 一 件 工 作 ， 有 種 不 同 的 選 法 ？ (2)從 a,b,c,d 4名 學(xué) 生 中 選 出 2名 完 成 兩 件 不 同 的 工 作 ， 有 種 不 同 的 選 法 ？ 24C 24A(3)a,b,c,d 4個(gè) 足 球 隊(duì) 之 間 進(jìn) 行

43、單 循 環(huán) 比 賽 ， 共 需 踢 場(chǎng) ？ 24C (4)a,b,c,d 4個(gè) 足 球 隊(duì) 爭(zhēng) 奪 冠 亞 軍 ， 有 種 不 同 的 結(jié) 果 ？ 24A【 典 型 例 題 】 求 方 程 的 正 整 數(shù) 解 的 個(gè) 數(shù) 1 2 3 4 7x x x x + + + = 71x 2x 3x 4x分 析 1 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 4 14A14A24A法 1 組 合 ： 無(wú) 順 序 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=71 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=71 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=7法 2解 ： 法 一 共 有 種 法

44、 二 共 有 種 1 2 14 4 4 20A A A 36 20C 點(diǎn) 評(píng) ： 此 題 新 穎 ， 解 題 過(guò) 程 中 用 到 的 都 是 基 本 知 識(shí) 和 基本 方 法 ， 但 要 通 過(guò) 分 析 、 構(gòu) 想 、 調(diào) 動(dòng) 基 本 知 識(shí) 和 基 本 方法 解 題 解 法 一 應(yīng) 有 較 強(qiáng) 的 分 類 討 論 處 理 問(wèn) 題 的 意 識(shí) ；解 法 二 通 過(guò) 轉(zhuǎn) 化 ， 化 歸 為 熟 悉 的 插 空 問(wèn) 題 由 此 還 可 以 求 解 本 類 問(wèn) 題 更 一 般 的 情 形 1 有 六 本 不 同 的 書(shū) 分 給 甲 、 乙 、 丙 三 名 同 學(xué) ， 按 下 條件 ， 各 有 多 少 種 不 同 的 分 法 ？（ 1） 每 人 各 得 兩 本 ；（ 2） 甲 得 一 本 ， 乙 得 兩 本 ， 丙 得 三 本 ；（ 3） 一 人 一 本 ， 一 人 兩 本 ， 一 人 三 本 ；（ 4） 甲 得 四 本 ， 乙 得 一 本 ， 丙 得 一 本 ；（ 5） 一 人 四 本 ， 另 兩 人 各 一 本 .(3) (4)(5)C52C33C61 A33C52 C33C61 C21 C11C64A31 C21 C11C64(2) C42 C22C62(1)分 組 問(wèn) 題