《數(shù)字濾波器設(shè)計》PPT課件

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1、 數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計 6.1 引 言 6.2 IIR濾 波 器 設(shè) 計 方 法 6.1 引 言 所 謂 濾 波 ， 通 常 是 指 通 過 某 種 變 換 或 運 算 ， 用 以改 變 輸 入 信 號 中 所 含 頻 率 分 量 的 相 比 照 例 ， 以 到 達 選取 或 濾 除 某 些 頻 率 成 分 的 一 種 手 段 。 數(shù) 字 濾 波 器 通 常采 用 有 限 精 度 算 法 ， 它 可 以 按 照 某 種 算 法 編 寫 軟 件 ，在 計 算 機 或 專 用 數(shù) 字 信 號 處 理 DSP 芯 片 上 實 現(xiàn) ， 也可 以 按 照 算 法 選 用 硬 件 實 現(xiàn) 。 與 模

2、 擬 濾 波 器 相 比 ， 數(shù)字 濾 波 器 具 有 精 度 高 、 穩(wěn) 定 性 好 、 靈 活 性 大 、 體 積 小且 沒 有 苛 刻 的 匹 配 要 求 等 優(yōu) 點 。 隨 著 計 算 機 、 超 大規(guī) 模 集 成 電 路 技 術(shù) 的 開 展 ， 數(shù) 字 濾 波 器 的 應(yīng) 用 愈 加 廣 泛 。 同 樣 ， 與 模 擬 濾 波 器 類 似 ， 數(shù) 字 濾 波 器 按 頻 率 特性 也 有 低 通 、 高 通 、 帶 通 和 帶 阻 等 之 分 ， 濾 波 器 的 性能 指 標 通 常 也 習 慣 在 頻 域 給 出 。 常 用 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅度 特 性 示 意 圖 如 以

3、 下 圖 。 與 模 擬 濾 波 器 不 同 的 是 ， 由于 序 列 的 傅 里 葉 變 換 具 有 以 2 為 周 期 的 周 期 性 ， 因 此 ，數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 也 有 這 種 周 期 性 。 低 通 濾 波 器的 通 帶 處 于 0或 2 的 整 數(shù) 倍 頻 率 附 近 ， 高 通 濾 波 器 的通 帶 那 么 處 于 的 奇 數(shù) 倍 頻 率 附 近 。 圖 6.1 各 種 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 度 特 性 |H(ej)|低通 |H(ej)|高通2 0 2 0 圖 6.1 各 種 數(shù) 字 濾 波 器 的 幅 度 特 性 |H(ej)|H(ej)|帶通帶阻

4、2 0 2 0 圖 所 示 的 理 想 濾 波 器 的 幅 度 特 性 有 理 想 、 陡 截 止的 通 帶 和 無 窮 大 衰 減 的 阻 帶 兩 個 范 圍 ， 這 顯 然 是 無 法實 現(xiàn) 的 ， 因 為 它 們 的 單 位 取 樣 響 應(yīng) 均 是 非 因 果 和 無 限長 的 。 實 踐 中 只 能 用 一 種 因 果 可 實 現(xiàn) 的 濾 波 器 去 與 之逼 近 ， 使 其 滿 足 給 定 的 誤 差 容 限 。 一 個 實 際 濾 波 器 的幅 度 特 性 在 通 帶 中 允 許 有 一 定 的 波 動 ， 阻 帶 衰 減 那 么應(yīng) 大 于 給 定 的 衰 減 要 求 ， 且 在

5、通 帶 與 阻 帶 之 間 允 許 有一 定 寬 度 的 過 渡 帶 。 圖 示 出 了 一 個 實 際 低 通 濾 波 器 的 幅 度 特 性 ， 特 性曲 線 中 有 通 帶 、 過 渡 帶 和 阻 帶 三 個 區(qū) 間 。 通 帶 范 圍 是0p， 在 通 帶 內(nèi) ， 幅 度 特 性 以 誤 差 1逼 近 于 1， 即 p11 |1|)(e|1 jH 6-1 p稱 為 通 帶 截 止 頻 率 。 阻 帶 范 圍 是 s， 在 阻 帶 內(nèi) ， 幅 度 特 性 以 最 大 誤 差 2逼 近 于 零 ， 即 |)(e| s2 jH稱 為 阻 帶 起 始 頻 率 。 ps的 區(qū) 域 稱 為 過 渡

6、 帶 ， 一般 要 求 幅 度 特 性 在 過 渡 帶 內(nèi) 單 調(diào) 下 降 。 6-2 圖 6.2 實 際 低 通 濾 波 器 的 幅 度 特 性11 |H(ej)|112 通帶 過渡帶 阻帶 sp 通 帶 內(nèi) 衰 減 波 動 和 阻 帶 衰 減 波 動 通 常 用分 貝 表 示 ， 對 于 圖 ， 我 們 令 BHHHH BHHHH d|)e(| |)e(|lg20|)e(| |)e(|lg10 d|)e(| |)e(|lg20|)e(| |)e(|lg10 ss pp j 0j2j 0js j 0j2j 0jp p和 s分 別 稱 為 通 帶 最 大 衰 減 和 阻 帶 最 小 衰 減 。

7、 如 果 ， 則 稱 c為 3dB截 止 頻 率 。 dB3|)e(| |)e(|lg20 cj 0j HH 濾 波 器 的 頻 率 特 性 除 了 幅 度 特 性 外 ， 還 有 相 位 特性 ()。 一 般 對 ()并 無 過 多 要 求 ， 只 要 保 證 濾 波 器穩(wěn) 定 就 可 以 了 。 但 在 有 些 場 合 要 求 ()具 有 一 定 的 性質(zhì) ， 如 線 性 相 位 特 性 ， 即 要 求 ()=- 為 延 時 常數(shù) 等 。 數(shù) 字 濾 波 器 可 用 N階 差 分 方 程 Nk kMi i knyainxbny 10 )()()(來 描 述 ， 相 應(yīng) 的 系 統(tǒng) 函 數(shù)

8、為 NK kiMi ii zazbzH 101)( 6-6 數(shù) 字 濾 波 器 按 其 單 位 采 樣 響 應(yīng) 長 度 可 分 為 無 限 沖激 響 應(yīng) 濾 波 器 IIR 和 有 限 沖 激 響 應(yīng) 濾 波 器 FIR兩 類 。 按 照 濾 波 器 的 實 現(xiàn) 方 式 那 么 又 可 以 分 為 遞 歸 濾波 器 和 非 遞 歸 濾 波 器 兩 類 。 式 ( 6 - 5 ) 中 假 設(shè)ak=0(k=1,N)， 該 濾 波 器 為 FIR濾 波 器 ； 假 設(shè)ak0(k=1, ,N)， 該 濾 波 器 為 IIR濾 波 器 。 一 般 情 況 下遞 歸 濾 波 器 對 應(yīng) 于 IIR濾 波

9、器 ， 而 非 遞 歸 濾 波 器 對 應(yīng) 于FIR濾 波 器 。 6.2 IIR濾 波 器 設(shè) 計 方 法 設(shè) 計 IIR數(shù) 字 濾 波 器 一 般 有 以 下 三 種 方 法 ： (1) 先 設(shè) 計 一 個 適 宜 的 模 擬 濾 波 器 ， 然 后 變 換成 滿 足 預(yù) 定 指 標 的 數(shù) 字 濾 波 器 。 這 種 方 法 很 方 便 ， 因 為 模 擬 波 濾 波 器 已 很 成 熟 ， 它 有 很 多 現(xiàn) 成 的 設(shè) 計公 式 ， 并 且 設(shè) 計 參 數(shù) 已 經(jīng) 表 格 化 ， 使 用 起 來 既 方 便又 準 確 。 (2) 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) 的 零 點 和 極 點 位

10、 置 完 全 決 定 了濾 波 器 的 幅 度 和 相 位 響 應(yīng) 。 所 以 ， 通 過 合 理 設(shè) 置 數(shù) 字濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) 的 零 、 極 點 ， 即 可 得 到 符 合 要 求 的 濾波 特 性 。 這 種 方 法 往 往 需 要 屢 次 調(diào) 整 零 、 極 點 位 置 ，稱 為 零 、 極 點 累 試 法 。 NK kiMi ii zazbzH 101)( (3) 計 算 機 輔 助 設(shè) 計 法 。 這 是 一 種 最 優(yōu) 化 設(shè)計 方 法 。 它 先 確 定 一 種 最 優(yōu) 化 準 那 么 ， 例 如 設(shè) 計 出 的實 際 頻 率 響 應(yīng) 的 幅 度 與 理 想 頻 率

11、 響 應(yīng) 的 幅 度 的 均 方 誤差 最 小 準 那 么 ， 或 它 們 的 最 大 誤 差 最 小 準 那 么 等 ， 然后 確 定 滿 足 該 最 正 確 準 那 么 的 濾 波 器 系 數(shù) ak、 bi。 這種 設(shè) 計 一 般 不 易 得 到 濾 波 器 系 數(shù) 的 顯 式 表 達 式 ， 而 是需 要 進 行 大 量 的 迭 代 運 算 ， 需 用 計 算 機 輔 助 設(shè) 計 完 成 。 6.2.1 根 據(jù) 模 擬 濾 波 器 設(shè) 計 IIR數(shù) 字 濾 波 器 目 前 IIR數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計 中 用 得 較 多 的 是 借 助 于模 擬 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 。

12、借 用 模 擬 濾 波 器 設(shè) 計 有 一 套相 當 成 熟 的 方 法 ， 可 以 給 數(shù) 字 濾 波 器 的 設(shè) 計 帶 來 很 大方 便 。 該 方 法 的 設(shè) 計 步 驟 是 ： 1 假 設(shè) 所 需 設(shè) 計 的 數(shù) 字 濾 波 器 是 低 通 的 ， 按一 定 規(guī) 那 么 先 將 給 出 的 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標 轉(zhuǎn)換 為 模 擬 低 通 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標 。 2 根 據(jù) 轉(zhuǎn) 換 后 的 技 術(shù) 指 標 設(shè) 計 模 擬 低 通 濾 波器 的 傳 遞 函 數(shù) Ha(s)。 3 再 按 一 定 規(guī) 那 么 將 Ha(s)轉(zhuǎn) 化 成 H(z)， 完 成

13、低 通 濾 波 器 的 設(shè) 計 。 (4) 假 設(shè) 所 設(shè) 計 的 是 高 通 、 帶 通 或 帶 阻 濾 波 器 ，那 么 還 需 將 高 通 、 帶 通 或 帶 阻 數(shù) 字 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標轉(zhuǎn) 化 為 低 通 模 擬 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標 ， 然 后 按 步 驟 2設(shè) 計 低 通 模 擬 濾 波 器 Ha(s)， 再 將 Ha(s)最 終 轉(zhuǎn) 換 為所 需 的 H(z)。 1. 選 定 模 擬 低 通 濾 波 器 原 型 由 濾 波 器 理 論 ， 高 通 、 帶 通 、 帶 阻 濾 波 器 均 可 以利 用 變 量 變 換 方 法 ， 分 別 由 低 通 濾 波

14、器 變 換 得 到 。 所 以 要 先 根 據(jù) 要 求 選 定 模 擬 低 通 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 。 模 擬 低 通 濾 波 器 有 巴 特 沃 茲 Butterworth 、 切 比 雪夫 Chebyshev 和 橢 圓 Elliptic 濾 波 器 等 。 2. 由 模 擬 濾 波 器 完 成 IIR數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) 計 利 用 模 擬 濾 波 器 來 完 成 數(shù) 字 濾 波 器 的 設(shè) 計 ， 就 是先 確 定 模 擬 濾 波 器 的 Ha(s)進 而 確 定 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng)函 數(shù) H(z)。 它 實 際 上 是 由 S平 面 到 Z平 面 間 的 一

15、 種 映 射轉(zhuǎn) 換 ， 此 時 必 須 滿 足 兩 種 根 本 要 求 ： 1 H(z)的 頻 率 響 應(yīng) 要 能 模 仿 Ha(s)的 頻 率 響 應(yīng) ，即 S平 面 的 虛 軸 必 須 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 上 。 2 因 果 穩(wěn) 定 的 模 擬 濾 波 器 Ha(s)轉(zhuǎn) 換 成 數(shù) 字 濾波 器 H(z)， 仍 是 因 果 穩(wěn) 定 的 。 也 就 是 S平 面 左 半 平 面 Re s 0 應(yīng) 該 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 以 內(nèi) |z|1 。 將 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s)從 S平 面 映 射 到 Z平 面 可 以 有 多種 方 法 ， 工 程 上 常 用

16、的 是 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 或 叫 脈 沖響 應(yīng) 不 變 法 和 雙 線 性 變 換 法 ， 下 面 我 們 對 這 兩 種 方法 略 作 介 紹 。 1) 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 是 使 數(shù) 字 濾 波 器 的 單 位 采 樣 響 應(yīng)序 列 h(n)模 仿 模 擬 濾 波 器 沖 激 響 應(yīng) ha(t)。 將 模 擬 濾 波器 的 沖 激 響 應(yīng) 加 以 等 間 隔 間 隔 為 T 采 樣 ， 并 使 h(n)正 好 等 于 ha(t)的 采 樣 值 ， 即 滿 足 )()( a nThnh 6-27 因 此 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 是 一 種 時

17、 域 上 的 轉(zhuǎn) 換 方 法 。 下 面 我 們 分 析 采 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 時 ， S平 面 和 Z平 面 之 間 的 映 射 關(guān) 系 。 假 設(shè) 令 Hz(s)是 ha(t)的 拉 普 拉 斯變 換 ， H(z)為 h(n)的 變 換 ， 那 么 利 用 的 序 列 的 變 換與 模 擬 信 號 的 拉 普 拉 斯 變 換 的 關(guān) 系 ， 可 得 kTsHTzH kz sT 2j1)( ae 6-28 上 式 說 明 ， 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 相 當 于 將 Ha(s)沿 虛 軸 按 周期 (2 )/T延 拓 后 ， 再 按 映 射 關(guān) 系 sTz e 6-29) 將

18、 模 擬 濾 波 器 的 Ha(s)從 S平 面 變 換 成 Z平 面 的 數(shù) 字濾 波 器 H(z)。 假 設(shè) 令 s= +j ， z=rej ， 代 入 式 6-29)得 到 rej =e Tej T， 那 么 有 Tr T e 6-30a 6-30b 上 式 說 明 ， 假 設(shè) =0， 那 么 r=1， 即 S平 面 的 虛 軸映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 上 ； 假 設(shè) 0， 那 么 r1， 即 S平面 的 左 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的 單 位 圓 內(nèi) 。 因 此 ， 沖 激響 應(yīng) 不 變 法 可 以 滿 足 將 因 果 、 穩(wěn) 定 的 Ha(s)轉(zhuǎn) 換 成 因 果

19、 、穩(wěn) 定 的 H(z)以 及 H(ej)能 模 仿 Ha(j)的 根 本 要 求 。 將 式 6-28 示 于 圖 ， S平 面 上 每 一 條 寬 度 為 2/T的 橫 向 條 帶 區(qū) 都 將 重 疊 地 映 射 到 整 個 Z平 面 上 ， 而 第 一條 橫 向 條 帶 的 左 半 邊 映 射 到 Z平 面 單 位 圓 內(nèi) ， 右 半 邊 映射 到 Z平 面 的 單 位 圓 外 ， S平 面 的 虛 軸 映 射 到 Z平 面 的單 位 圓 上 。 當 模 擬 頻 率 從 -/T變 化 到 /T 時 ， 數(shù) 字 頻率 那 么 從 -變 化 到 ， 且 由 式 6-30 b 可 知 ， 與

20、之 間 成 線 性 關(guān) 系 。 由 于 S平 面 每 一 橫 條 都 要 重 疊 地 映 射到 Z平 面 上 ， 這 也 反 映 了 H(z)和 Ha(s)的 周 期 延 拓 之 間 有z=esT的 變 換 關(guān) 系 ， 因 此 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 并 不 等 于 從 S平 面 到 Z平 面 間 的 簡 單 代 數(shù) 映 射 關(guān) 系 。 圖 6.5 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 的 映 射 關(guān) 系 T 3T0 T T 3j S平面 Z平面1 1 RezImz0 由 式 6-28 可 知 ， 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng)H(ej )與 模 擬 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) Ha(j

21、 )的 關(guān) 系 為 T kHTH k 2-j1)e( aj 6-31 這 就 是 說 ， 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 是 模 擬 濾 波 器頻 率 響 應(yīng) 的 周 期 延 拓 。 因 此 正 如 采 樣 定 理 所 討 論 的 ，只 有 當 模 擬 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 帶 限 于 二 分 之 一 的 模 擬采 樣 角 頻 率 之 內(nèi) 時 ， 即 2|0)j( sa TH 6-32 才 能 使 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 在 折 疊 頻 率 以 內(nèi) 重 現(xiàn) 模擬 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 而 不 產(chǎn) 生 混 疊 失 真 ， 即 THTH j1)e( aj

22、 | |/T， 那 么 不 管如 何 減 小 T， c與 T總 是 成 同 樣 倍 數(shù) 變 化 ， 即 總 是c/T。 因 此 在 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 設(shè) 計 中 ， 用 減 小 采 樣 間 隔 T的 方 法 并 不 能 真 正 解 決 混 疊 問 題 。 由 于 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 要 由 模 擬 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s)以 拉普 拉 斯 反 變 換 得 到 其 沖 激 響 應(yīng) ha(t)， 然 后 采 樣 得 到h(n)=ha(nT)， 再 取 變 換 得 H(z)， 因 此 過 程 較 復 雜 。對 于 常 用 的 局 局 部 式 表 達 的 模 擬 系 統(tǒng) 函 數(shù) ，

23、 下 面 我 們來 討 論 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 所 造 成 的 S平 面 和 Z平 面 的 對 應(yīng)關(guān) 系 。 設(shè) 模 擬 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s)只 有 單 階 極 點 ，且 假 定 分 母 的 階 次 大 于 分 子 的 階 次 一 般 都 滿 足 這 一要 求 ， 因 為 只 有 這 樣 才 相 當 于 一 個 穩(wěn) 定 的 模 擬 系 統(tǒng) 。此 時 可 將 Ha(s)展 開 成 局 局 部 式 表 示 式 ， 即 有 Nk kkssAsH 1a )( 6-34 其 拉 普 拉 斯 反 變 換 ， 即 相 應(yīng) 的 沖 激 響 應(yīng) Nk tsk tuAsHLth k1

24、a1a )(e)()( 6-35 式 中 的 u(t)是 連 續(xù) 時 間 的 單 位 階 躍 函 數(shù) 。 在 沖 激 響 應(yīng) 不變 法 中 ， 要 求 數(shù) 字 濾 波 器 的 單 位 采 樣 響 應(yīng) 等 于 ha(t)的采 樣 ， 即 )()(e)(e)()( 11a nuAnuAnThzH Nk TskNk nTsk kk 6-36 對 h(n)求 Z變 換 ， 即 可 得 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) Nk Tskn nTsNk k nNk Tsknh n zAzA zAznhzH kk k1 10 11 110 e1)e( )(e)()( 6-37 將 式 （ 6-34） 的

25、Ha(s)和 式 （ 6-37） 的 H(z)作 比 較 ，不 難 看 出 ： （ 1） S平 面 的 單 極 點 (s=sk)變 換 到 Z平 面 上 就 是 處 的 單 極 點 。 （ 2） Ha(s)與 H(z)的 部 分 分 式 的 系 數(shù) 是 相 同 的 ， 都 是Ak。 （ 3） 如 果 模 擬 濾 波 器 是 穩(wěn) 定 的 ， 即 所 有 極 點 s k位 于S平 面 的 左 半 平 面 ， 極 點 的 實 部 Re sk 0， 則， 那 么 變 換 后 的 數(shù) 字 濾 波 器 的 全 部 極 點 均在 單 位 圓 內(nèi) ， 因 此 數(shù) 字 濾 波 器 也 是 穩(wěn) 定 的 。 1e|

26、e| Re TsTs kk Tskz e （ 4） 雖 然 S平 面 的 極 點 按 照 關(guān) 系 式 可映 射 成 Z平 面 的 極 點 ， 但 是 必 須 認 識 到 ， 沖 激 響 應(yīng) 不變 法 并 不 相 當 于 按 照 該 關(guān) 系 將 S平 面 映 射 成 Z平 面 。 尤其 是 數(shù) 字 濾 波 器 的 零 點 ， 它 們 是 隨 部 分 分 式 展 開 式 中的 極 點 和 系 數(shù) Ak一 起 變 化 的 。 根 據(jù) 以 上 分 析 ， 對 于 部 分 分 式 表 達 的 模 擬 系 統(tǒng) 函數(shù) ， 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 的 設(shè) 計 步 驟 可 不 再 經(jīng) 歷H a(s)ha(t

27、)ha(nT)H(z)的 過 程 ， 而 是 直 接 將 Ha(s)寫成 許 多 單 極 點 的 部 分 分 式 之 和 的 形 式 ， 然 后 將 各 個 部分 分 式 用 式 （ 6-37） 的 關(guān) 系 進 行 替 代 ， 從 而 得 到 所 需的 數(shù) 字 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) H(z)。 Tsk kz e 在 式 6-33 中 ， 數(shù) 字 濾 波 器 頻 率 響 應(yīng) H(ej)的幅 度 特 性 與 采 樣 間 隔 T成 反 比 ， 當 T較 小 時 ， H(ej)就會 有 很 高 的 增 益 。 為 防 止 這 一 現(xiàn) 象 ， 常 作 以 下 修 正 ，即 令 h(n)=Tha(n

28、T)， 于 是 它 的 幅 度 特 性 將 不 再 與 T成 反比 。 此 時 的 THkTTHH k j2jj)e( aaj | | 6-38 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 使 得 數(shù) 字 濾 波 器 的 單 位 采 樣 響 應(yīng)完 全 模 仿 模 擬 濾 波 器 的 沖 激 響 應(yīng) ， 也 就 是 時 域 逼 近 良好 ， 而 且 模 擬 角 頻 率 和 數(shù) 字 角 頻 率 之 間 呈 線 性 關(guān)系 ， 即 =T。 因 而 一 個 線 性 相 位 的 模 擬 濾 波 器 可 以 映 射 成 一 個線 性 相 位 的 數(shù) 字 濾 波 器 。 但 是 ， 因 為 此 時 有 頻 率 響 應(yīng)混 疊

29、效 應(yīng) ， 所 以 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 只 適 用 于 限 帶 的 模 擬濾 波 器 ， 高 通 和 帶 阻 濾 波 器 那 么 不 宜 采 用 沖 激 響 應(yīng) 不變 法 。 對 于 帶 通 和 低 通 濾 波 器 ， 需 充 分 限 帶 ， 阻 帶衰 減 越 大 ， 混 疊 效 應(yīng) 就 越 小 。 2) 雙 線 性 變 換 法 由 于 從 S平 面 到 Z平 面 的 映 射 關(guān) 系 z=esT是 多 值 映 射 ，會 使 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 產(chǎn) 生 頻 譜 混 疊 。 為 了 克 服 多 值 映射 這 一 缺 點 ， 我 們 首 先 把 整 個 S平 面 壓 縮 變 換 到

30、一 個中 介 的 S1平 面 中 的 橫 向 帶 條 內(nèi) ， 其次 再 通 過 變 換 關(guān) 系 式 將 該 橫 帶 變 換 到 整 個 Z平 面 ， 這 樣 就 使 得 S平 面 與 Z平 面 之 間 具 有 一 一 對 應(yīng) 的關(guān) 系 ， 避 免 了 多 值 映 射 。 該 過 程 如 圖 6.7所 示 。 Tsz 1e TT 圖 6.7 雙 線 性 變 換 法 的 映 射 關(guān) 系 T j0S平面 j10 T S1平面 ImzZ平面01 Rez 將 S平 面 整 個 j 虛 軸 壓 縮 變 換 到 S1平 面 j 1虛 軸上 的 段 ， 通 常 采 用 式 6-39 所 示 的 變 換 關(guān) 系

31、 ， 即 TT 2tan2 1TT 6-39 當 1從 經(jīng) 過 0變 化 到 時 ， 其 對 應(yīng) 的 由 -經(jīng) 過 0再 到 ， 式 （ 6-39） 可 寫 成 T T 2j-2j 2j-2j 11 11 ee ee2j TT TTT 令 j =s， j 1=s1, 可 得 TsTsTsTs TsTs TTs 1111 11 e1 e12ee ee2 22 22 6-40 再 將 S1平 面 用 下 面 的 關(guān) 系 式 映 射 到 Z平 面 Tz 1se 6-41 以 式 6-41 代 入 式 6-40 就 可 得 到 S平 面 和 Z平 面 的單 值 映 射 關(guān) 系 為 11112 zzTs

32、 6-42a 及 sT sTz 22 6-42b 這 種 S平 面 和 Z平 面 之 間 直 接 的 單 值 映 射 ， 通 常 也稱 作 雙 線 性 變 換 。 由 于 從 S平 面 到 S1平 面 進 行 了 非 線 性頻 率 壓 縮 ， 因 此 防 止 了 頻 率 混 疊 現(xiàn) 象 。 將 z=ej 代 入 式 6-42a ， 可 得 TTs j2tanj2e1 e12 j-j 6-43 即 S平 面 的 虛 軸 與 Z平 面 的 單 位 圓 相 對 應(yīng) 。 將 s= +j 代 入 式 6-42b ， 得 T TsT sTz j2 j222 因 此 22 2222| T Tz 6-44 由

33、 上 式 可 以 看 出 ， 當 0時 ,|z|0時 ， |z|1； 當 =0時 ， |z|=1。 也 就 是 說 ， S平 面 的 左 半 平 面 映 射 到Z平 面 的 單 位 圓 內(nèi) ， S平 面 的 右 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的單 位 圓 外 ， S平 面 的 虛 軸 映 射 成 Z平 面 的 單 位 圓 。 因 此 ，穩(wěn) 定 的 模 擬 濾 波 器 經(jīng) 雙 線 性 變 換 后 所 得 的 數(shù) 字 濾 波 器也 是 穩(wěn) 定 的 。 雙 線 性 變 換 法 滿 足 前 面 介 紹 的 以 模 擬 濾波 器 到 數(shù) 字 濾 波 器 轉(zhuǎn) 換 的 根 本 條 件 。 同 時 雙 線

34、 性 變 換還 克 服 了 采 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 遇 到 的 混 疊 問 題 ， 因 為它 將 S平 面 的 整 個 虛 軸 映 射 成 了 Z平 面 的 單 位 圓 。 下 面 我 們 再 分 析 模 擬 角 頻 率 與 數(shù) 字 角 頻 率 之間 的 映 射 關(guān) 系 ， 由 式 6-43 得 2tan2 T 6-45 上 式 說 明 S平 面 的 與 Z平 面 的 成 非 線 性 正 切 關(guān) 系 ，如 以 下 圖 。 從 圖 可 以 看 到 ， 在 =0附 近 它 們 接 近 線 性關(guān) 系 ， 當 增 加 時 ， 增 加 得 愈 來 愈 快 ， 當 趨 近 時 ， 趨 向 。

35、其 實 也 正 因 為 這 種 非 線 性 關(guān) 系 才 使 Z與S之 間 一 一 對 應(yīng) 并 消 除 了 頻 率 混 疊 現(xiàn) 象 。 但 是 與 之間 的 非 線 性 關(guān) 系 也 是 雙 線 性 變 換 法 的 一 個 缺 點 ， 它 直接 影 響 了 數(shù) 字 濾 波 器 頻 響 逼 真 地 模 仿 模 擬 濾 波 器 的 頻響 程 度 ， 其 幅 度 特 性 和 相 位 特 性 失 真 的 情 況 如 以 下 圖 。 圖 6.8 雙 線 性 變 換 中 模 擬 頻 率 與 數(shù) 字 頻 率 的 關(guān) 系 0 2tan2 T 圖 6.9 雙 線 性 變 換 法 的 非 線 性 映 射 |Ha(j)

36、| |H(ej)| H(ej)Ha( j) 這 種 頻 率 間 的 非 線 性 關(guān) 系 又 產(chǎn) 生 了 新 的 問 題 ，它 使 得 線 性 相 位 模 擬 濾 波 器 經(jīng) 雙 線 性 變 換 后 得 到的 數(shù) 字 濾 波 器 不 再 保 持 原 有 的 線 性 相 位 性 質(zhì) ， 其次 這 種 非 線 性 關(guān) 系 也 要 求 模 擬 濾 波 幅 度 特 性 是 分段 常 數(shù) 型 的 一 般 低 通 、 高 通 、 帶 通 濾 波 器 的 頻率 響 應(yīng) 持 有 這 種 特 性 ， 否 那 么 變 換 后 的 數(shù) 字 濾波 器 的 幅 度 特 性 將 會 發(fā) 生 大 的 變 異 。 不 過 此

37、時 特性 轉(zhuǎn) 折 點 的 頻 率 值 與 模 擬 濾 波 器 特 性 轉(zhuǎn) 折 點 的 頻率 值 成 非 線 性 關(guān) 系 ， 也 就 是 說 ， 各 分 段 邊 緣 的 臨界 頻 率 點 發(fā) 生 了 畸 變 ， 如 以 下 圖 。 這 種 頻 率 的 畸 變 可 以 通 過 頻 率 的 預(yù) 畸 變 來 校正 ， 即 將 臨 界 頻 率 事 先 加 以 畸 變 ， 然 后 經(jīng) 變 換 后再 映 射 回 所 需 要 的 頻 率 點 。 例 如 ， 要 求 設(shè) 計 數(shù) 字濾 波 器 的 截 止 頻 率 為 c， 利 用 式 6-45 預(yù) 先 得模 擬 濾 波 器 的 截 止 頻 率 c=tan c/2

38、而 不 是 c= c/T， 按 畸 變 后 c設(shè) 計 出 的 模 擬 濾 波 器 經(jīng)雙 線 性 變 換 后 的 數(shù) 字 濾 波 器 正 是 我 們 所 希 望 的 截止 頻 率 。 3.數(shù) 字 濾 波 器 之 間 的 頻 率 變 換 上 面 介 紹 了 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 ， 假 設(shè) 需設(shè) 計 數(shù) 字 高 通 、 帶 通 和 帶 阻 濾 波 器 ， 如 前 所 述 ， 可 以先 設(shè) 計 一 個 低 通 濾 波 器 ， 再 用 頻 率 變 換 將 低 通 濾 波 器轉(zhuǎn) 換 成 所 需 類 型 的 濾 波 器 。 由 于 頻 率 變 換 可 以 在 模擬 域 進 行 ，

39、 也 可 以 在 數(shù) 字 域 進 行 ， 因 此 有 兩 種 設(shè) 計 方法 ， 如 以 下 圖 。 第 一 種 方 法 是 設(shè) 計 出 模 擬 低 通 濾 波 器后 ， 用 模 擬 域 的 頻 率 變 換 將 它 轉(zhuǎn) 換 成 所 需 類 型 的 模 擬濾 波 器 ， 在 模 擬 域 從 歸 一 化 低 通 濾 波 器 到 其 他 類 型 的轉(zhuǎn) 換 關(guān) 系 可 參 考 表 。 然 后 再 將 其 從 S平 面 轉(zhuǎn) 換 到 Z平 面得 到 所 需 類 型 的 數(shù) 字 濾 波 器 。 第 二 種 方 法 是 設(shè) 計 出 模 擬 低 通 濾 波 器 后 ， 首 先 將其 從 S平 面 轉(zhuǎn) 換 到 Z平

40、 面 ， 得 到 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 ， 然 后用 數(shù) 字 域 的 頻 率 變 換 將 它 變 換 成 所 需 類 型 的 數(shù) 字 濾 波器 ， 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 轉(zhuǎn) 換 到 其 他 類 型 數(shù) 字 濾 波 器 的轉(zhuǎn) 換 關(guān) 系 如 表 所 示 。 從 S平 面 轉(zhuǎn) 換 到 Z平 面 可 用 沖 激 響應(yīng) 不 變 法 或 雙 線 性 變 換 法 ， 由 于 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 可 能會 產(chǎn) 生 頻 譜 混 疊 ， 不 適 合 于 高 通 和 帶 阻 濾 波 器 的 設(shè) 計 ， 因 此 第 一 種 方 法 適 合 用 雙 線 性 變 換 法 ， 第 二 種 那 么 無此

41、 限 制 。 圖 6.10 數(shù) 字 濾 波 器 的 設(shè) 計 方 法 所需類型的模擬濾波器S平面Z平面映射得到數(shù)字低通濾波器模擬低通濾波器 S平面Z平面映射數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換 所需類型的數(shù)字濾波器 表 6.1 3dB截 止 頻 率 為 p的 模 擬 低 通 濾 波 器 到 其 他 類 型 濾 波 器 的 轉(zhuǎn) 換 表 6.2 截 止 頻 率 為 c的 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 到 其他 類 型 的 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 表 6.2 截 止 頻 率 為 c的 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 到 其他 類 型 的 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 4. 總 結(jié) 和 設(shè) 計 舉 例 前 面 我 們 介

42、紹 了 兩 種 映 射 關(guān) 系 ： (1) 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 。 這 種 變 換 具 有 一 定 的 物 理含 義 ， 且 容 易 理 解 。 當 然 沖 激 響 應(yīng) 經(jīng) 采 樣 后 ， 頻 譜將 發(fā) 生 周 期 性 的 重 復 。 如 果 此 時 頻 譜 不 出 現(xiàn) 混 疊 ， 而且 模 擬 濾 波 器 滿 足 技 術(shù) 指 標 ， 那 么 以 其 沖 激 響 應(yīng) 的 采樣 值 作 為 單 位 采 樣 響 應(yīng) 的 數(shù) 字 濾 波 器 也 就 滿 足 指 標 要求 。 這 時 ， 模 擬 頻 率 和 數(shù) 字 頻 率 之 間 的 映 射 關(guān) 系為 = T， 即 呈 線 性 變 換 關(guān) 系

43、 。 該 變 換 的 缺 點 是 有 可能 出 現(xiàn) 頻 譜 的 混 疊 失 真 。 (2) 雙 線 性 變 換 法 。 它 是 純 數(shù) 學 上 的 映 射 關(guān) 系 。此 時 的 ， 其 模 擬 角 頻 率 和 數(shù) 字 角 頻率 之 間 的 映 射 關(guān) 系 為 ： =2tan( T/2)， 即 將 模 擬頻 率 的 整 個 區(qū) 間 （ 無 窮 大 ） 壓 縮 到 數(shù) 字 頻 率 的 一 個 區(qū)間 - , ， 避 免 了 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 的 頻 譜 混 疊 效應(yīng) ， 但 同 時 也 產(chǎn) 生 了 頻 率 畸 變 的 缺 陷 ， 這 使 得 該 變 換只 能 用 于 一 些 分 段 常 數(shù)

44、 型 （ 頻 率 選 擇 性 ） 濾 波 器 的 設(shè)計 。 11112 zzTs 當 用 模 擬 低 通 濾 波 器 設(shè) 計 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 時 ， 首先 要 把 數(shù) 字 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標 轉(zhuǎn) 換 為 相 應(yīng) 的 模 擬 濾 波器 的 技 術(shù) 指 標 。 這 里 主 要 是 將 數(shù) 字 濾 波 器 的 邊 界 頻 率k， 如 通 帶 頻 率 、 3dB 截 止 頻 率 、 阻 帶 截 止 頻 率 等轉(zhuǎn) 換 成 模 擬 濾 波 器 的 相 應(yīng) 邊 界 頻 率 k。 對 于 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 ， 其 轉(zhuǎn) 換 關(guān) 系 為 k=kT；對 于 雙 線 性 變 換 法

45、， 那 么 轉(zhuǎn) 換 關(guān) 系 為 。 通 帶 及 阻 帶 衰 減 與 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 相 仿 。 然 后 根 據(jù) 技術(shù) 指 標 設(shè) 計 模 擬 濾 波 器 , 最 后 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 或 雙 線性 變 換 法 將 模 擬 濾 波 器 轉(zhuǎn) 換 為 數(shù) 字 濾 波 器 。 kk T 21tan2 例 設(shè) 計 一 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 ， 要 求 在 通 帶 內(nèi) 頻 率低 于 0.2 rad時 ， 幅 度 特 性 下 降 小 于 1dB。 在 頻 率 高于 的 阻 帶 內(nèi) ， 衰 減 大 于 15 dB。 1 設(shè) 采 樣 頻 率 fs=10 kHz， 用 沖 激 響

46、應(yīng) 不 變 法設(shè) 計 巴 特 沃 茲 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 。 2 設(shè) fs=1 kHz， 用 雙 線 性 變 換 法 ， 設(shè) 計 切 比雪 夫 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 。 解 方 法 一 ： 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 設(shè) 計 巴 特 沃 茲 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 。 1 數(shù) 字 低 通 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標 為 BBpp d15,d1 rad3.0rad,2.0 ss 2 將 數(shù) 字 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標 轉(zhuǎn) 換 成 模 擬 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標 ， 為 sT sT fT /rad1033.0 /rad1022.0 s101 3s 3p 4

47、s 3 設(shè) 計 巴 特 沃 茲 低 通 濾 波 器 ， 此 時 的 884.55.1lg 092.0lglglg 092.0110 110 5.12.0 3.0 sp1.01.0ps KNK N是 濾 波 器 的 階 數(shù) ， 必 須 取 整 數(shù) ， 為 了 滿 足 技 術(shù) 指 標要 求 ， 選 取 比 求 出 的 N大 一 點 的 整 數(shù) ， 如 取 N=6， 代入 式 6-13a 或 式 6-13b 中 求 得 c=7.032 10-3rad/s 。 根 據(jù) 式 6-10 求 極 點 ， 代 入 式 6-11 ， 化簡 后 得 模 擬 低 通 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) )4945.0358

48、5.1( 1 )4945.09945.0)(4945.0364.0( 93120.0)( 2 22a s sssH其 中 分 子 系 數(shù) 是 根 據(jù) s=0時 ， Ha(s)=1得 到 的 。 4 將 模 擬 濾 波 器 轉(zhuǎn) 換 為 數(shù) 字 濾 波 器 。 將 上 式Ha(s)按 局 局 部 式 展 開 ， 然 后 利 用 沖 激 響 應(yīng) 不 變 法 修 正式 6-37 ， 得 所 需 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 21 1 21 121 12570.09972.01 6304.08558.1 3699.00691.11 1454.11428.26949.0297.11 4466.0

49、2871.0)( zz z zz zzz zzH 當 z=ej時 ,得 到 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 如 以 下 圖 。 由 圖 中 可 看 出 ， 在 通 帶 截 止 頻 率 p處 ， 恰 好 滿 足 衰 減小 于 1dB的 要 求 ， 在 阻 帶 起 始 頻 率 s處 ， 衰 減 大 于 15 dB， 超 過 指 標 要 求 。 圖 6.11 例 中 六 階 巴 特 沃 茲 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 0.2 0.4 0.6 0.8 0.200.40.60.81.01.2幅度 0.2 0.4 0.6 0.8 04060020 0.2 0.4 0.6 0.8 020

50、01000100200增益/(分貝)相位/(度) 方 法 二 ： 用 雙 線 性 變 換 法 設(shè) 計 切 比 雪 夫 數(shù) 字 低 通濾 波 器 。 1 將 數(shù) 字 濾 波 器 的 技 術(shù) 指 標 轉(zhuǎn) 換 為 模 擬 濾 波器 的 技 術(shù) 指 標 。 在 雙 線 性 變 換 中 ， 與 之 間 呈 非線 性 關(guān) 系 ， 即 2tan2 T在 T=1 s時 ， 將 數(shù) 字 截 止 頻 率 按 上 式 預(yù) 畸 變 為 模 擬 濾 波 器 的 截 止 頻 率 23.0tan22tan2,22.0tan22tan2 sspp TT 2 求 。 按 照 要 求 ， 我 們 設(shè) 計 =1dB的 等波 紋 切

51、 比 雪 夫 濾 波 器 ， 那 么 847508.0110110 1.01.0 3 根 據(jù) 式 6-22 ， 計 算 濾 波 器 的 階 數(shù) N 0141.3)/cosh( 1|)j(| 11arcosh p 2 ar HN s sa故 取 N=4。 4 計 算 濾 波 器 的 極 點 。 根 據(jù) 式 6-24 ， 可求 出 左 半 平 面 的 兩 對 極 點 為 s1,2=-0.090 669 9 j0.638 999 7, s=-0.218 896 9 j0.264 681 9 5 求 模 擬 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) Ha(s)。 根 據(jù) 式 6-26 ， 可 求 得 濾 波 器

52、 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) )4166.01814.0)(1180.04378.0( 81043.0)( 22a sssssH 6 求 數(shù) 字 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) H(z)。 利 用 雙 線性 變 換 關(guān) 系 式 及 T=1可 得 ： )6493.05548.11)(8482.04996.11( )1(836001.0|)()( 2121 41112a 11 zzzz zsHzH zzTs所 得 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 如 以 下 圖 。 圖 6.12 例 中 四 階 切 比 雪 夫 數(shù) 字 濾 波 器 的 頻 率 響 應(yīng) 0.2 0.4 0.6 0.8 00.20.40.6

53、1.21.00.8幅度相位/(度) 0204060 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2001000100200 0.2 0.4 0.6 0.8 0 增益/(分貝) 6.2.2 用 零 、 極 點 累 試 法 設(shè) 計 IIR數(shù) 字 濾 波 器 由 第 二 章 的 討 論 知 道 ， 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) 的 零 點 和極 點 位 置 完 全 決 定 了 濾 波 器 的 幅 度 響 應(yīng) 和 相 位 響 應(yīng) 特性 。 因 此 ， 通 過 合 理 設(shè) 置 數(shù) 字 濾 波 器 系 統(tǒng) 函 數(shù) 的 零 、極 點 ， 可 得 到 符 合 要 求 的 濾 波 器 , 這 在 工 程 實 踐 中 用得

54、 較 多 。 1 低 通 濾 波 器 設(shè) 計 考 慮 一 低 通 濾 波 器 ， 其 頻 率 響 應(yīng) 在 = 處 為 零 ，相 當 于 z -1處 有 一 個 零 點 ， 假 設(shè) 在 z=a處 又 有 一 個 極點 ， 且 a為 小 于 1的 正 實 數(shù) ， 那 么 其 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 1111)( azzzH 6-46 式 中 a可 以 根 據(jù) 通 帶 的 要 求 來 決 定 ， a越 大 ， 帶 寬 越 窄 。其 頻 率 響 應(yīng) 為 2j cos21 )cos1(2)e( aaH 6-47 上 式 在 =0時 到 達 最 大 值 ， 即 22j02j )1( 4|)e(|)e(|max

55、 aHH 6-48 下 面 根 據(jù) 濾 波 器 技 術(shù) 指 標 確 定 a。 假 設(shè) 低 通 濾 波 器3 dB帶 寬 為 c， 根 據(jù) 3 dB 帶 寬 定 義 22j02j )1( 421|)e(|21|)e(| c aHH 6-49 由 式 6-47 和 式 6-49 可 知 22c c )1( 421cos2-1 )cos1(2 aaa 上 式 為 a的 二 次 方 程 ， 解 之 得 c ccossin1 a因 a1， 所 以 取 ccc c sin1coscossin1 a 6-50 2 高 通 濾 波 器 的 設(shè) 計 把 低 通 濾 波 器 的 零 、 極 點 位 置 互 換 ，

56、 可 以 得 到 高通 數(shù) 字 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 011)( 11 aazzzH 6-51 如 設(shè) 高 通 濾 波 器 的 截 止 頻 率 為 2， 同 樣 可 以 推 得 22sin1cos 6-52 3 帶 阻 濾 波 器 的 設(shè) 計 如 果 把 低 通 和 高 通 濾 波 器 聯(lián) 立 起 來 ， 即 可 得 到相 應(yīng) 的 帶 阻 濾 波 器 ， 其 系 統(tǒng) 函 數(shù) 為 12 111 1 1111)( zazzazzH 6-53 假 設(shè) 1為 帶 阻 濾 波 器 起 始 頻 率 ， 2為 帶 阻 濾 波 器 截 止頻 率 ， 據(jù) 此 可 得 222 111 sin1cos

57、sin1cos 6-54a 6-54b 阻 帶 的 中 心 頻 率 0也 可 由 下 式 決 定 ： 21 210 1cos 6-55 前 面 給 出 了 簡 單 濾 波 器 單 個 零 、 極 點 對 的 設(shè) 置 。 單 個零 、 極 點 得 到 的 性 能 一 般 比 較 差 ， 常 常 需 要 多 個 零 、極 點 才 能 得 到 比 較 好 的 性 能 。 另 外 ， 在 確 定 零 、 極點 位 置 時 要 注 意 ： 1 極 點 必 須 位 于 Z平 面 單 位 圓 內(nèi) ， 以 保 證 數(shù)字 濾 波 器 因 果 穩(wěn) 定 ； 2 復 數(shù) 零 、 極 點 必 須 共 軛 成 對 ， 以

58、 保 證 系統(tǒng) 函 數(shù) 有 理 式 的 系 數(shù) 是 實 的 。 例 阻 帶 濾 波 器 陷 波 器 設(shè) 計 。 實 際 應(yīng) 用 中 常要 求 濾 除 疊 加 在 信 號 上 的 50 Hz交 流 電 干 擾 ， 同 時 不改 變 接 收 信 號 中 的 其 他 頻 率 分 量 ， 因 此 要 求 數(shù) 字 濾 波器 的 希 望 的 頻 率 響 應(yīng) 為 0 0jd |0 |,201)e( H這 里 0= 0T=2 f0T， f0=50Hz是 待 濾 去 的 干 擾 頻 率 。 要 使 某 一 頻 率 0處 頻 響 幅 值 為 零 ， 只 要 在z1=ej0和 z2= e-j0處 各 安 排 一 個

59、 零 點 , 而 要 使 其 他頻 率 處 頻 響 幅 值 為 1， 那 么 必 須 在 上 述 零 點 附 近 各 配上 一 個 極 點 p1和 p2 。 這 樣 ， 當 z=ej離 開 z1和 z2在 單位 圓 上 移 動 時 ， 從 它 到 z1 和 z2 的 距 離 與 從 它 到相 應(yīng) 的 極 點 p1 和 p2 的 距 離 近 似 相 等 ， 以 滿 足|H(z)|1的 要 求 。 該 H(z)有 兩 個 零 點 和 兩 個 極 點 ， 因此 是 一 個 二 階 IIR數(shù) 字 濾 波 器 。 一 般 來 說 ， 一 個 二 階 IIR數(shù) 字 濾 波 器 往 往 不 能 到 達阻 帶

60、 特 性 要 求 ， 必 要 時 可 采 用 幾 個 二 階 濾 波 器 的 級 聯(lián) ， 例 如 采 用 三 個 二 階 濾 波 器 級 聯(lián) 組 成 六 階 阻 帶 濾 波 器 。 此 時 三 對 零 點 重 合 ， 而 三 對 極 點 的 幾 何 位 置 分 布 在 以零 點 為 中 心 ， 為 半 徑 的 小 圓 上 。 它 的 零 、 極 點 位 置可 取 圖 3所 示 的 分 布 ， 其 傳 輸 函 數(shù) )()()()( 321 zHzHzHzH 其 中 2*1 201* )(1 cos21)( )e)(e()( 00 zppppz zzpzpz zzzH iiiiii jji i=1

61、, 2, 3 式 中 pi為 圖 所 示 的 極 點 ， 而 pi*為 其 共 軛 極 點 。 pi的 數(shù)學 表 示 式 那 么 為 320 1ee 2 1 )( 00 iiipi jji i 圖 6.13 阻 帶 濾 波 器 的 零 、 極 點 配 置 0 Imz z11z22F0T2F0T Rez 余 下 的 問 題 是 如 何 選 擇 參 數(shù) 、 1和 2。 1和 2的 數(shù) 值 對 整 個 系 統(tǒng) 的 頻 響 影 響 不 大 ， 這 里 的 1、 2可 選 為 /3左 右 。 對 整 個 系 統(tǒng) 的 影 響 較 大 ， 越 小 ，頻 率 響 應(yīng) 越 接 近 理 想 的 情 形 ， 但 太

62、 小 會 對 計 算 中 的舍 入 誤 差 影 響 十 分 敏 感 ， 甚 至 會 產(chǎn) 生 發(fā) 散 情 況 。 假設(shè) 用 表 示 遞 歸 型 濾 波 器 ai和 bi的 計 算 精 度 ， 通 常 要求 0sin2 具 體 數(shù) 值 可 以 通 過 試 驗 確 定 例 如 =10-2等 。 零 、 極 點 累 試 法 可 以 直 接 完 成 零 、 極 點 的 配 置 , 也 可 以 通 過 因 式 分 解 ， 將 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 分 解 為 一系 列 二 階 因 式 的 乘 積 ， 先 單 獨 對 各 個 二 階 因 式 進 行 零 、極 點 配 置 每 一 個 二 階 因 式

63、 對 應(yīng) 一 個 阻 帶 ， 然 后 將這 些 二 階 因 式 級 聯(lián) 起 來 就 得 到 所 需 阻 帶 特 性 的 數(shù) 字 帶通 濾 波 器 。 后 一 種 實 現(xiàn) 方 法 的 性 能 可 優(yōu) 于 前 一 種 方 法 。通 過 二 階 因 式 的 級 聯(lián) 實 現(xiàn) ， 還 可 把 二 階 因 式 做 成 標 準單 元 ， 除 了 分 子 分 母 的 系 數(shù) 不 同 以 外 ， 所 有 的 單 元 都具 有 相 同 的 結(jié) 構(gòu) 。 根 據(jù) 所 要 的 濾 波 器 阻 帶 個 數(shù) ， 只 需級 聯(lián) 相 應(yīng) 的 二 階 單 元 就 可 以 設(shè) 計 出 符 合 要 求 的 濾 波 器 。這 不 僅

64、簡 化 了 零 、 極 點 的 配 置 ， 也 增 加 了 整 個 設(shè) 計的 靈 活 性 。 因 此 對 于 要 求 較 高 的 設(shè) 計 ， 一 般 選 擇 后 一 種 設(shè) 計 方 法 。 6.2.3 IIR數(shù) 字 濾 波 器 優(yōu) 化 設(shè) 計 1. 在 頻 域 利 用 幅 度 平 方 誤 差 最 小 法 直 接 設(shè) 計 IIR數(shù) 字 濾 波 器 設(shè) IIR濾 波 器 由 k個 二 階 網(wǎng) 絡(luò) 級 聯(lián) 而 成 ， 其 系 統(tǒng) 函數(shù) H(z)表 示 為 ki ii ii zdzc zbzaAzH 1 21 2111)( 6-56 式 中 A, ai, bi, ci, di是 待 求 的 參 數(shù) 。

65、 設(shè) 希 望 設(shè) 計 的 濾 波 器 頻 率 響 應(yīng) 為 Hd(ej)。 如 果 在 0， 區(qū) 間 取 N點 數(shù) 字 頻 率 i(i=1, 2,N)， 在 這 N點 頻 率 上 ， 實 際 濾 波 器 與 理 想 濾 波 器 頻 率 響 應(yīng) 的 幅 度平 方 誤 差 為 Ni ii HHE 1 2jd2j |)e(|)e(| 6-57 在 頻 域 利 用 幅 度 平 方 誤 差 最 小 法 直 接 設(shè) 計 IIR濾 波器 的 思 想 是 ： 選 擇 濾 波 器 參 數(shù) ， 在 一 組 離 散 頻 率 點i(i=1, 2, , N)上 ， 使 所 設(shè) 計 的 濾 波 器 頻 率 響 應(yīng) H(ej

66、)與 希 望 得 到 的 頻 率 響 應(yīng) H d(ej)的 均 方 誤 差 最 小 。 由 于共 有 k個 二 階 網(wǎng) 絡(luò) ， 因 此 共 有 4k+1個 未 知 數(shù) ， 令 , 1111 kkkk dcbadcba 為 求 出 使 E最 小 的 未 知 參 數(shù) A和 ， 我 們 令 E對 這些 參 數(shù) 的 偏 導 數(shù) 等 于 零 ， 即 可 得 4k+1個 方 程 )4,2,1(00 kkEAE k (6.58) 其 中 k是 的 第 k個 分 量 。 利 用 上 式 給 出 的 4k+1個 方 程 ，可 得 系 數(shù) A和 k(k=1, 2, , 4k ， 從 而 得 到 系 統(tǒng) 函數(shù) H(z)。 求 解 這 4k個 非 線 性 方 程 非 常 復 雜 ， 一 般 通 過 計 算機 迭 代 實 現(xiàn) ， 步 驟 為 ： 開 始 假 設(shè) 一 組 初 始 值 ， 按 照 公式 6-58 確 定 A和 使 E最 小 的 ， 然 后 繼 續(xù) 迭 代 ， 直 至E到 達 預(yù) 定 的 要 求 時 為 止 在 上 面 的 優(yōu) 化 求 解 中 ， 對 系 統(tǒng) 的 零 、 極 點 未 作 任何 要 求