基本不等式 (2)

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1、 一 、 教 學(xué) 目 標(biāo) ： 過 程 與 方 法 ： 理 解 基 本 不 等 式 的 內(nèi) 容 ， 通 過 對 例題 的 研 究 ， 進(jìn) 一 步 掌 握 運(yùn) 用 基 本 不 等 式 的 條 件 , 并 會用 此 定 理 求 某 些 函 數(shù) 的 最 大 、 最 小 值 。 知 識 與 技 能 ： 通 過 實(shí) 例 探 究 抽 象 基 本 不 等 式 ； 會應(yīng) 用 此 不 等 式 求 某 些 函 數(shù) 的 最 值 。 情 態(tài) 與 價(jià) 值 ： 引 發(fā) 學(xué) 生 學(xué) 習(xí) 和 使 用 數(shù) 學(xué) 知 識 的 興趣 ， 發(fā) 展 創(chuàng) 新 精 神 ， 培 養(yǎng) 實(shí) 事 求 是 、 理 論 與 實(shí) 際 相 結(jié)合 的 科 學(xué)

2、態(tài) 度 和 科 學(xué) 道 德 。二 、 2012年 考 綱 下 載 :u了 解 基 本 不 等 式 的 證 明 過 程 。u會 用 基 本 不 等 式 解 決 簡 單 的 最 值 問 題 。三 、 教 學(xué) 重 點(diǎn) 、 難 點(diǎn) ： 基 本 不 等 式 定 理 的 應(yīng) 用 。四 、 教 學(xué) 方 法 ： 啟 發(fā) 引 導(dǎo) 式 五 、 教 學(xué) 過 程 情 境 一 ： 如 圖 是 在 北 京 召 開 的 第24界 國 際 數(shù) 學(xué) 家 大 會 的 會 標(biāo) ， 會標(biāo) 是 根 據(jù) 中 國 古 代 數(shù) 學(xué) 家 趙 爽 的弦 圖 設(shè) 計(jì) 的 ， 顏 色 的 明 暗 使 它 看上 去 象 一 個(gè) 風(fēng) 車 ， 代 表 中

3、 國 人 民熱 情 好 客 。 2 2a b 問 題 1： 你 能 在 這 個(gè) 圖 案 中 找 出一 些 相 等 關(guān) 系 或 不 等 關(guān) 系 嗎 ？ 分 析 ： 將 圖 中 的 “ 風(fēng) 車 ” 抽 象 成 如 圖 ， 在 正 方 形 ABCD中有 4個(gè) 全 等 的 直 角 三 角 形 。 設(shè) 直 角 三 角 形 的 兩 條 直 角 邊 長 為a,b那 么 正 方 形 的 邊 長 為。 abS 21 222 baS 12 SS abba 222 2 2 2a b ab Rba, 2 2 2a b ab 情 景 一 ： 我 們 考 慮 4個(gè) 直 角 三 角 形 的 面 積 的 和 是正 方 形 的

4、 面 積 為由 圖 可 知 即當(dāng) 直 角 三 角 形 變 為 等 腰 直 角 三 角 形 ， 即 a=b時(shí) ，正 方 形 EFGH縮 為 一 個(gè) 點(diǎn) ， 這 時(shí) 有新 知 ： 若 ， 則 a b a b情 境 二 ： 先 將 兩 張 正 方 形 紙 片 沿 它 們的 對 角 線 折 成 兩 個(gè) 等 腰 直 角 三 角 形 ，再 用 這 兩 個(gè) 三 角 形 拼 接 構(gòu) 造 出 一 個(gè) 矩形 （ 兩 邊 分 別 等 于 兩 個(gè) 直 角 三 角 形 的直 角 邊 ， 多 余 部 分 折 疊 ） 。 假 設(shè) 兩 個(gè)正 方 形 的 面 積 分 別 為 和 abba 2問 題 2： 考 察 左 圖 中 兩

5、 個(gè) 直 角 三 角 形 的 面 積 與 矩形 的 面 積 ， 你 能 發(fā) 現(xiàn) 一 個(gè) 不 等 式 嗎 ？新 知 ： 若 Rba, ， 則 p2 42p ab ba 21.基 本 不 等 式 (a0,b0) 用 基 本 不 等 式 求 函 數(shù) 最 值 應(yīng) 滿 足 的 條 件 是 一 正 二 定 三 相 等 .2. 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 問 題 已 知 a0,b0,則(1)如 果 積 ab是 定 值 p,那 么 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ,a+b有 最小 值 是 .(簡 記 :積 定 和 最 小 )（ 2） 如 果 和 a+b是 定 值 p,那 么 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b 時(shí)

6、,ab有最 大 值 是 .(簡 記 :和 定 積 最 大 )基 礎(chǔ) 梳 理基 本 不 等 式 (均 值 定 理 ): (a0,b0) （ 第 一 課 時(shí) ） abba 2 【 例 1】 設(shè) 0 x2,求 函 數(shù) 的 最 大 值 ； 3x)-3x(8y 分 析 :由 0 x0,8-3x0.由 于 3x+(8-3x)=8,可 由 均 值 不 等 式 得 3x(8-3x) =16.22 3x)-(83x 。有 最 大 值此 時(shí) ， ” 成 立 ，時(shí) ， 等 號 “即當(dāng) 且 僅 當(dāng)解 ： 43x)-3x(8y 34,383 4282 3833x)-3x(8y 03x-0,83x2,x0 xxx xx

7、a4-a 3 【 例 2】 求 （ a4） 的 取 值 范 圍 ; 分 析 :先 將 原 式 湊 成 為 ,再 運(yùn)用 基 本 不 等 式 . 44)-(a4-a3 解 ： 當(dāng) a4時(shí) ,a-40, 當(dāng) 且 僅 當(dāng) ,即 時(shí) 取 等 號 ; 的 取 值 范 圍 是 ,+). 3 3 3a 4 4 2 4 4 2 3 4a-4 a-4 a-4a a a 44-a 3 34a a4-a3 432 拓展延伸解 ： 顯 然 a4,當(dāng) a4時(shí) ,a-40, 當(dāng) 且 僅 當(dāng) ,即 時(shí) 取 等 號 ; a 44-a3 34a 44)-(a4-a3 3 3 3a 4 4 2 4 4 2 3 4a-4 a-4 a

8、-4a a 【 變 式 一 】 求 的 取 值 取 圍 ;a4-a 3 分 析 ： 先 將 原 式 湊 成 為 ， 再 討 論a-4的 正 負(fù) . 當(dāng) a4時(shí) ,a-40, 當(dāng) 且 僅 當(dāng) , 即 時(shí) 取 等 號 . 綜 上 ： 的 取 值 范 圍 是 (- , ,+ ). a 4a-4 3 34a a4-a3 432 432 43244432 44a-43444-a3a4-a3 aa aa 學(xué) 后 反 思 : (1)在 利 用 基 本 不 等 式 求 函 數(shù) 或 代數(shù) 式 的 最 值 時(shí) ,有 時(shí) 不 一 定 恰 好 能 用 上 基 本 不等 式 ,因 此 還 必 須 對 所 給 的 函 數(shù)

9、 或 代 數(shù) 式 進(jìn) 行變 形 整 理 ,通 過 湊 項(xiàng) 或 者 拆 項(xiàng) 的 辦 法 使 得 和 或者 積 為 定 值 ， 構(gòu) 造 出 基 本 不 等 式 的 形 式 再 進(jìn)行 求 解 . （ 2） 在 第 (2)小 題 中 當(dāng) a0,y0,且 x+y=1,求 的 最 小 值 .yx 28 yxxyyxyxyx 28102 82 8 研究性學(xué)習(xí)分 析 ： 由 再 用 基 本 不 等 式 求 最 值 . 解 ： x0,y0,且 x+y=1, ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) ,即 時(shí) 等 號 成 立 ， 此 時(shí) ， 有最 小 值 18. 1828210 28102 82 8 yxxy yxxyyxyxyx 1

10、28 yx yxxy yx 2 8 31,32 yx提 出 問 題 ： 這 樣 的 解 法 可 以 嗎 ？ 12612224 12282 128112828 yyxx yxyxyxyx解 ： ” 取 不 到 。也 就 是 說 上 式 “ 不 可 能 同 時(shí) 成 立 ，和 已 知 條 件 中 的 的因 為 基 本 不 等 式 中 要 求 哪 里 呢 ？此 解 法 ， 可 以 嗎 ？ 錯(cuò) 在 1 2,8yx yyxx 注 意 哦 ！學(xué) 后 反 思 ： 在 不 等 式 多 次 放 縮 時(shí) ,要 時(shí) 刻 注 意是 否 在 同 一 條 件 下 進(jìn) 行 放 縮 ,放 縮 時(shí) 要 注 意 同向 性 . 提

11、出 問 題 ： 還 有 別 的 解 法 嗎 ？ 提 示 ： 解 法 二 ： 消 元 法 ； 解 法 三 ： 三 角 換 元 六 、 本 課 小 結(jié) ：（ 1） 用 數(shù) 形 結(jié) 合 的 思 想 理 解 基 本 不 等 式 ， 并從 不 同 角 度 探 索 其 證 明 過 程 。 (2)利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， “ 和 定 積 最 大 ，積 定 和 最 小 ” ， 應(yīng) 用 時(shí) 要 注 意 三 個(gè) 條 件 “ 一 正二 定 三 相 等 ” 的 作 用 ， 而 且 必 須 是 在 同 一 條 件下 才 可 以 多 次 運(yùn) 用 。同學(xué)們，辛苦啦！七 、 課 后 作 業(yè) ：（ 1） 問 題 案 的 ” 課 后 練 習(xí) ”（ 2） 高 考 調(diào) 研 課 時(shí) 作 業(yè) （ 三 十 五 ）第 5， 7， 12， 14題 。