“牛頓—萊布尼茨公式及其證明”基于微視頻的教學設(shè)計

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1、“牛頓—萊布尼茨公式及其證明〞基于微視頻的教學設(shè)計 摘要】隨著教育技術(shù)及互聯(lián)網(wǎng)的迅猛開展，微課、幕課、翻轉(zhuǎn)課堂等教學模式越來越受到學生和老師的歡迎，這些新興的教學手段都充分利用了視頻教學資源，在高等數(shù)學教學中如何利用好視頻教學資料來進行教學設(shè)計，到達更好的教學效果就是一個值得研究的問題.本文以高等數(shù)學中的“牛頓-萊布尼茨公式及其證明〞這一節(jié)來展示利用微視頻資料進行教學設(shè)計，從而更好地把抽象的證明通過圖形的動態(tài)轉(zhuǎn)化表達出來，讓同學們更深入地理解高等數(shù)學的知識及背后的數(shù)學思想，激發(fā)學生學習高等數(shù)學的興趣，提高學習效率. 【關(guān)鍵詞】教學設(shè)計；微視頻；高等數(shù)學 一、緒論 互聯(lián)網(wǎng)的快速開展特別

2、是移動互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的開展無時無刻不影響我們的生活方式、生活習慣、思維方式等方方面面.在教育方面，對教育理念、教學方法、教學模式等的影響巨大，由教育部教育管理信息中心、百度文庫和北京師范大學聯(lián)合發(fā)布的?2021中國互聯(lián)網(wǎng)學習白皮書?的結(jié)果顯示，互聯(lián)網(wǎng)教育產(chǎn)品用戶主要集中在19至24歲、25至34歲兩個年齡段.19至24歲階段多是大學生，從中可以看出我們的高等教育必須適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng)的開展和學生的行為習慣，利用互聯(lián)網(wǎng)和科技帶來的效率優(yōu)勢，提高學生的學習效率【1】. 高等數(shù)學是大學教育中的一門根底學科，是絕大多數(shù)大學生必須掌握的一門根底課，是學生綜合素質(zhì)的重要組成局部.高等數(shù)學有其固有的特點：高度的抽象性

3、、嚴密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性.抽象性和計算性是數(shù)學最根本、最顯著的特點，有了高度抽象和統(tǒng)一，我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律，才能使之得到更廣泛的應(yīng)用.嚴密的邏輯性是指在數(shù)學理論的歸納和整理中，無論是概念的表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規(guī)那么，遵循思維的規(guī)律.所以說，數(shù)學也是一種思想方法，學習數(shù)學的過程就是思維訓練的過程【2】.因此，在教學中，如何讓學生在掌握知識和計算的過程中，更好地體會數(shù)學思想方法，從而提高他們的綜合能力，對于高等數(shù)學的教育是一個很值得思考的問題，這需要我們在教學設(shè)計上下功夫，利用科技，特別是信息技術(shù)，把高度抽象的數(shù)學理論以比較“形象化〞的技術(shù)手段進行展示，在此過程中把數(shù)

4、學思想和方法展示給學生.同時，注意到當代大學生的學情特點，他們思維活潑，但是有時思維方式比較形象化，對抽象的事物掌握規(guī)律比較困難；特別喜歡移動互聯(lián)網(wǎng)，甚至一天不用 ，他們已經(jīng)不能忍受；他們對新鮮的事物抱有足夠的好奇. 綜合學情和已有的技術(shù)儲藏，利用微課和翻轉(zhuǎn)課堂的教學理念和模式，我們可以在某種程度上利用信息技術(shù)合理設(shè)計教學視頻，把高等數(shù)學教學中抽象概念包含的數(shù)序思想更好地展示出來，從而提高學生們學習高等數(shù)學的興趣，激發(fā)他們學習的動力. 我們以高等數(shù)學中“牛頓-萊布尼茨公式及其證明〞這一小節(jié)以微視頻來進行教學設(shè)計，讓學生體會動態(tài)的微積分的定義、變上限積分的定義、牛頓-萊布尼茨公式的證明.

5、從中體會“以直代曲〞的線性化方法、數(shù)形結(jié)合方法.進而更好地理解不定積分和定積分之間的聯(lián)系. 二、基于微視頻的教學設(shè)計 微視頻通常值指的是時長不超過20分鐘的視頻短片，特別適合在移動互聯(lián)網(wǎng)上播放和傳播.本小節(jié)的教學設(shè)計要利用MATLAB計算軟件、幾何畫板軟件來制作微視頻.具體教學設(shè)計如下： 牛頓-萊布尼茨公式及其證明教學設(shè)計方案 使用的教材為同濟的?高等數(shù)學?上冊，第六版. 一、教材的地位與作用 牛頓-萊布尼茨公式不僅為定積分計算提供一個有效地方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系起來，是微積分學中最重要的公式. 二、學生知識結(jié)構(gòu)分析 在牛頓-萊布尼茨公式學習以前，學生已經(jīng)學習

6、了導數(shù)、微分、原函數(shù)、不定積分、定積分的概念和性質(zhì)的相關(guān)知識. 二、教學目標 1.知識與技能：熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式，培養(yǎng)學生觀察、分析、抽象、概括的能力，體會知識間的聯(lián)系. 方法：根據(jù)大學生的心理素質(zhì)，利用啟發(fā)式教學，始終從問題出發(fā)，層層設(shè)疑，引導學生在不斷思考中獲取知識. 3.情感與態(tài)度：提高觀察、分析、抽象、概括的能力，體會數(shù)學解決問題的方法和過程，進一步滲透類比、轉(zhuǎn)化的思維方法，激發(fā)學習興趣. 三、教學重點 掌握牛頓-萊布尼茨公式. 四、教學難點 理解牛頓-萊布尼茨公式的證明過程，體會其背后的數(shù)學思想和方法. 五、教學過程 1.復習舊知識，以微積分的定義的動態(tài)視

7、頻展示引入課題——創(chuàng)設(shè)情境. 首先，利用Matlab軟件設(shè)計一個程序完成對定積分定義的動態(tài)展示，即定積分中的分割-近似求和-取極限的過程動態(tài)地展示出來.以在區(qū)間[0，1]上的定積分為例，把每一次分割所對應(yīng)的所有的小矩形的圖形通過Matlab畫出來，然后拼接成動畫，做成視頻【3】.實現(xiàn)上述過程，中間過程的一個靜態(tài)展示如下： 隨著分割的加細，所有小矩形的圖形逐漸穩(wěn)定，即它們的面積和趨向穩(wěn)定，這個極限值就是在區(qū)間[0，1]上的定積分. 定積分定義的動態(tài)視頻展示，可以讓學生更好地理解定積分的思想.同時，體會到按照定義來求解定積分是不容易的，即使是非常簡單的函數(shù).從而引出牛頓-來不尼茨公式——高效

8、的計算定積分的方法，且使得定積分成為一種科學的方法. 猜測——驗證猜測 我們要利用數(shù)學常用的解決問題的方法：猜測結(jié)論——驗證結(jié)論，得到一般的規(guī)律【4】.利用這種方式給出牛頓萊布尼茨公式. 通過上述視頻的動態(tài)演示，當把[0，1]區(qū)間分割成500份，最終的圖形如下： 如何證明該猜測是一個難點，我們采用數(shù)形結(jié)合，并利用幾何畫板把它用微視頻的方式展示出來，同時也把變上限積分的幾何意義展示出來.具體做法如下： 初始畫面如下，揭示定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積.從而只需證明陰影局部的面積和紅色線段長度相等. 如下圖. 如下圖. 比較圖像的位置關(guān)系，我們可以得到陰影局部的面積在區(qū)間上的增量

9、等于線段長度在區(qū)間上的增量.通過移動曲線即可得到，移動的過程的一個靜態(tài)展示如下圖. 3.得到定理——總結(jié)反思，提煉精華 完成定理證明后，加以練習，并對數(shù)學思想方法進行總結(jié)，讓同學們體會： 〔1〕定積分的定義 分割-近似求和-取極限的思想，以及以直代曲思想. 〔2〕數(shù)學解決問題的一般途徑 合理的猜測后進行嚴格的論證從而得到一般的規(guī)律是數(shù)學解決問題的常用方法.清晰的直覺和嚴謹?shù)倪壿嬐瑯又匾? 〔3〕數(shù)形結(jié)合的思想 定積分的幾何意義和變上限積分函數(shù)的圖形展示. 〔4〕不定積分和定積分之間的關(guān)系：牛頓-萊布尼茨公式給出了求函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)原函數(shù)的

10、問題，這就使得作為積分和數(shù)列的極限的定積分與作為微分逆運算的不定積分緊密地聯(lián)系在一起，正是這樣的聯(lián)系才使得微積分有非常廣泛的理論和應(yīng)用價值【4】. 六、教學方式 采用學生事先預(yù)習，課堂上與學生共同討論的方式來進行教學，多媒體、板書等相結(jié)合. 三、總結(jié) 隨著互聯(lián)網(wǎng)開放教育的深入開展，年青一代學生對互聯(lián)網(wǎng)的依賴及他們的行為方式的改變，我們需要利用各種信息技術(shù)把數(shù)學中的概念形象地展示出來.專業(yè)的數(shù)學軟件和課件制作軟件是我們必須靈活利用的，如Matlab、幾何畫板等.并制作成視頻，放在網(wǎng)上或者發(fā)給學生，充分利用微視頻的優(yōu)點和學生的行為習慣，幫助學生自學、預(yù)習、復習，提高他們的學習效率，讓他們感

11、覺到學習數(shù)學是輕松的，且有成就感.從而激發(fā)他們學習數(shù)學的動力. 比較方法，有助于培養(yǎng)學生綜合數(shù)學修養(yǎng). 【參考文獻】 【1】楊經(jīng)曉，互聯(lián)網(wǎng)數(shù)學開放教育開展近況[J].數(shù)學文化，2021，4〔1〕：61-68. 【2】 ：//baike.baidu /linkurl=8X4aDMNjbXID3rZTQau2RhpS9U3cp2UN_wI8dquy4yuhKVa1Sa8zUm_c7baoyo2aKoIJcnCJ_u2yDFF7fqrZV0Oa4CrTrh0qhLbbdXpneta. 【3】王正林，龔純，何倩.精通MATLAB科學計算[M].北京：電子工業(yè)出版社，2021. 【4】孫炯.?數(shù)學分析選講?公開課. ：// icourses /viewVCourse.action？courseCode=10126V001.