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1、
數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用例析
那金秋
數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);另外,由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法,很多問題便迎刃而解,且解法簡(jiǎn)捷。
近幾年高考加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查,因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容,是學(xué)習(xí)高考數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ),又是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的的思想,把圖像與性質(zhì)結(jié)合起來,即利用圖像的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì),或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì),同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描
2、繪函數(shù)的圖像,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖像與性質(zhì),又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。
例題分析:
例1. 如果,那么函數(shù)的最小值是多少?
分析:
從三角函數(shù)的角度來看,求的最小值是一個(gè)較難的問題,是一個(gè)比較陌生的問題。但是,如果把數(shù)和形結(jié)合起來,畫出相應(yīng)的圖像,從幾何的直觀性入手,則可立刻看出結(jié)論。
圖1
令
因?yàn)?
所以
則
圖像為圖中實(shí)線部分。
所以當(dāng)即時(shí),有最小值,且最小值為。
例2. (2002年全國(guó)文5,理4)在()內(nèi),使成立的x取值范圍為( )
A.
3、 B.
C. D.
分析1:作出在區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖像,解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo),由圖2可得(C)答案。
圖2
圖3
分析2:在單位圓上作出二、三象限的對(duì)角線,由正弦線、余弦線知應(yīng)選(C)。
例3. (2002年春北京、安徽,5)若角α滿足條件,則α在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
分析:
所以
即
即與異號(hào)
所以α在二、四象限
又
所以
由圖4
4、,滿足題意的角α在第二象限。
圖4
例4. 如圖5所示是周期為2π的三角函數(shù)的圖像,那么可以寫成( )
A. B. C. D.
圖5
分析1:由圖可以看出,的圖像是由的圖像向左平移個(gè)單位而得到的,所以,在中,把x換成就得到,即:
應(yīng)選(D)。
分析2:的圖像也可以看成是由的圖像向右平移個(gè)單位而得到的,即在中,把x換成就得到,所以
。
選(D)。
例5. 函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸是( )
A. B. C. D.
分析:這是一道考查正弦函數(shù)的幾何特征的試題,而求解的方法是檢驗(yàn)自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的數(shù)量特征簡(jiǎn)捷合理,方便有效。借助于對(duì)數(shù)量關(guān)系的推理論證,對(duì)圖形的幾何特征加以精確的刻劃,是數(shù)形結(jié)合的思想方法的體現(xiàn),對(duì)分析和解決高中數(shù)學(xué)的有關(guān)問題的作用是很大的,本題的設(shè)計(jì)正是這一思想的反映,考查的功能十分明顯。
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
其中是函數(shù)的最小值。
是圖像的一條對(duì)稱軸
故選(A)。
4