周期卷積_循環(huán)卷積與線性卷積

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1、2021/6/16 1 周 期 卷 積 與 線 性 卷 積 的 區(qū) 別 ： (1) 線 性 卷 積 在 無(wú) 窮 區(qū) 間 求 和 ;周 期 卷 積在 一 個(gè) 主 值 周 期 內(nèi) 求 和 (2) 兩 個(gè) 不 同 長(zhǎng) 度 的 序 列 可 以 進(jìn) 行 線 性卷 積 ;只 有 同 周 期 的 兩 個(gè) 序 列 才 能 進(jìn) 行 周期 卷 積 ， 且 周 期 不 變 4.2.1 周期卷積4 2021/6/16 2. n)( nx0 N-1主 值 序 列 與 序 列 的 周 期 延 拓N-1 nx(n)0 4.2.1 周期卷積預(yù)備知識(shí)4 2021/6/16 3 例)(2 mx m計(jì) 算 區(qū) m)(1 mx 0

2、1 2 3 求 兩 個(gè) 序 列 的 周 期 卷 積 N=6 4.2.1 周期卷積4 2021/6/16 4)(2 mx m 1 102011010101 )0()()0( 50 21 m mxmxy m)(1 mx 0 1 2 3 4.2.1 周期卷積4計(jì) 算 區(qū) 2021/6/16 5)1(2 mx m 1 101001010111 )1()()1( 50 21 m mxmxy m)(1 mx 0 1 2 3 4.2.1 周期卷積4 2021/6/16 63)5( 4)4( 4 000001112111 )3()()3( 3 100001011121 )2()()2( 5 0 215 0 2

3、1 yy mxmxy mxmxy mm 4.2.1 周期卷積4 2021/6/16 7 )( ny n1 3 4 4計(jì) 算 區(qū) 31 4.2.1 周期卷積4 2021/6/16 8 周 期 卷 積 2021/6/16 9 對(duì) 于 有 限 長(zhǎng) 序 列 x(n)和 y(n)( )0 1n N DFT ( ) ( ) DFT ( ) ( )x n X k y n Y k 若 ( ) ( ) ( )F k X k Y k 1 0( ) IDFT ( ) ( ) ( ) ( )N N Nmf n F k x m y n m R n x(n)和 y(n)的 N點(diǎn) 循 環(huán) 卷 積 ， 記 作 ， 這 個(gè)卷

4、積 可 以 看 作 是 周 期 序 列 和 做 周 期 卷 積 后再 取 主 值 序 列 。 ( )( ) nx n y( )nx ( )ny 4.4.3 循 環(huán) 卷 積 4 2021/6/16 10 時(shí) 域 循 環(huán) 卷 積 過(guò) 程 ：1） 補(bǔ) 零2） 其 中 一 個(gè) 序 列 周 期 延 拓3） 翻 褶 ， 截 取 計(jì) 算 區(qū) 域4） 循 環(huán) 移 位5） 被 卷 積 兩 序 列 對(duì) 應(yīng) 序 號(hào) 值 相 乘 ， 再 相 加6） 取 主 值 序 列 4.4.3 循 環(huán) 卷 積 4 2021/6/16 11 N-10 n)(1 nx N-10 n)(2 nx 4.4.3 循 環(huán) 卷 積 4N=7 y

5、(1)y (2)y (3) 4.4.3 循 環(huán) 卷 積 4 )(0 )( 22 mRmx mx NN0 )(12 mRmx NN0 )(22 mRmx NN0 )(3 2 mRmx NN0 2021/6/16 131)6( 0)5( 1)4( 220001010111101)()3()()3( 300000010111111)()2()()2( 310000000111111)()1()()1( 210100000011111)()0()()0( 60 772160 772160 772160 7721 yyy mRmxmxy mRmxmxy mRmxmxy mRmxmxy mmmm 4.4.

6、3 循 環(huán) 卷 積 4 2021/6/16 1402 3 3 2 1 1N-1 n* )(2 nx)()( 1 nxny 4.4.3 循 環(huán) 卷 積 4 2021/6/16 15 0 1 2 3 0 2 4 x1 (n) n 0 1 2 3 0 2 4 x2 (n) n 0 1 2 3 0 5 10 15 循環(huán)卷積 n 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 x1 (n) n 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 x2 (n) n 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 循環(huán)卷積 n圖4.17 循環(huán)卷積 (a) N=4 (b) N=7 4.4.3 循 環(huán) 卷 積 4 2021/6/1

7、6 16 線 性 卷 積 與 循 環(huán) 卷 積 步 驟 比 較23 1x(n)5 4 n0 N1=5 21 3h(n) n0 N2=3X(m) 5 4 3 2 1 y(n)h(m) 1 2 3 h(-m) 3 21 Y(0)=5h(1-m) 32 1 Y(1)=14 h(2-m) 3 2 1 Y(2)=26h(3-m) 3 2 1 Y(3)=20h(4-m) 3 2 1 Y(4)=14h(5-m) 3 2 1 Y(5)=8h(6-m) 3 2 1 Y(6)=3h(7-m) 3 2 1 Y(7)=0線 性 卷 積翻 轉(zhuǎn) 、 移 位 、 相 乘 求 和 2021/6/16 17 得 到 線 性 卷

8、積 結(jié) 果 的 示 意 圖14 265y(n) 20 14 8 3N=7 n0循 環(huán) 卷 積 與 線 性 卷 積 比 較 4 2021/6/16 18 23 1x(n)5 4 n0 N1=51） 循 環(huán) 卷 積 ： (N=7)不 足 的 ， 補(bǔ) 零 加 長(zhǎng)2） 其 中 一 個(gè) 序 列 周 期 延 拓3） 翻 褶 ， 取 主 值 序 列4） 循 環(huán) 移 位5） 相 乘 相 加 21 3h(n) n0 N2=3循 環(huán) 卷 積 4.4.3 循 環(huán) 卷 積 4 2021/6/16 19 X(m) 5 4 3 2 1 0 0 y(n)h(m) 1 2 3 0 0 0 0h(m)NRN 1 2 3 0 0

9、 0 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0h(-m)NRN 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 Y(0)=5h(1-m)NRN 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 Y(1)=14h(2-m)NRN 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 Y(2)=26h(3-m)NRN 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 Y(3)=20h(4-m) NRN 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1

10、 0 0 0 0 3 2 1 0 0 Y(4)=14h(5-m)NRN 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 Y(5)=8h(6-m)NRN 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 3 2 1 Y(6)=3k2 31 h(k)N0 k2 312 31N=7 2021/6/16 20 得 到 循 環(huán) 卷 積 的 示 意 圖14 265 ny(n) 20 14 8 30可 見(jiàn) ,線 性 卷 積 與 循 環(huán) 卷 積 相 同(當(dāng) NN1(5)+N2(3)-1=7時(shí) )循 環(huán) 卷 積 與 線 性 卷 積 對(duì) 比 4 2021/

11、6/16 21 X(m) 5 4 3 2 1 y(n)h(m) 1 2 3 0 0h(m)NRN 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 h(-m)NRN 1 0 0 3 21 0 0 3 2 1 0 0 3 2 Y(0)=13h(1-m)NRN 2 1 0 0 32 1 0 0 3 2 1 0 0 3 Y(1)=17h(2-m)NRN 3 2 1 0 03 2 1 0 0 3 2 1 0 0 Y(2)=26h(3-m)NRN 0 3 2 1 00 3 2 1 0 0 3 2 1 0 Y(3)=20h(4-m) NRN 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2

12、 1 Y(4)=14h(5-m)NRN 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 Y(5)=13N=5 循 環(huán) 卷 積 與 線 性 卷 積 對(duì) 比 4 2021/6/16 22 得 到 循 環(huán) 卷 積 的 示 意 圖17 2613 ny(n) 20 140可 見(jiàn) ,線 性 卷 積 與 循 環(huán) 卷 積 不 同(當(dāng) NN1(5)+N2(3)-1=7時(shí) )循 環(huán) 卷 積 與 線 性 卷 積 對(duì) 比 4 2021/6/16 23 20 1)()()()( 1)(11)( )()( 21 212121 21 121 211 1 NNn NNNnxnxnxnx NNNN NnyNNN N

13、Nny NnfnfN能 代 表 線 性 卷 積 點(diǎn) 循 環(huán) 卷 積時(shí) ，即 當(dāng) 循 環(huán) 卷 積 的 長(zhǎng) 度 。周 期 延 拓 才 無(wú) 混 疊 現(xiàn) 象 為 周 期 進(jìn) 行以時(shí) ，所 以 只 有 當(dāng)?shù)?長(zhǎng) 度 為 序 列 。的 周 期 延 拓 序 列 的 主 值 為 周 期以是 線 性 卷 積點(diǎn) 循 環(huán) 卷 積可 見(jiàn) ，總 結(jié) 循 環(huán) 卷 積 與 線 性 卷 積 對(duì) 比 4 2021/6/16 24 例） 它 們 的 線 性 卷 積（ ） 求 它 們 的 循 環(huán) 卷 積（ 求 它 們 的 周 期 卷 積 （兩 個(gè) 有 限 長(zhǎng) 序 列3 )10(2 )10)1( 95,1 40,1)(,95,0 4

14、0,1)( 21 NN nnnxnnnx 三種卷積對(duì)比4 2021/6/16 25 nX1(n) nX2(n) nX2(m)10 nX1(m)10 三種卷積對(duì)比4 2021/6/16 26 X1(m )10 1111100000 1111100000 1111100000X2(m )10 11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1X2(-m )10 1-1-1-1-1-11111 1-1-1-1-1-11111 1-1-1-1-1-11111 Y(0)=-3X2(1-m )10 11-1-1-1-1-1111 11-1-1-1-1-1111

15、11-1-1-1-1-1111 Y(1)=-1X2(2-m )10 111-1-1-1-1-111 111-1-1-1-1-111 111-1-1-1-1-111 Y(2)=1X2(3-m )10 1111-1-1-1-1-11 1111-1-1-1-1-11 1111-1-1-1-1-11 Y(3)=3X2(4-m )10 11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1 Y(4)=5X 2(5-m )10 -111111-1-1-1-1 -111111-1-1-1-1 Y(5)=3X2(6-m )10 -1-111111-1-1-1 Y(6)=

16、1X2(7-m )10 -1-1-111111-1-1 Y(7)=-1X2(8-m )10 -1-1-1-111111-1 Y(8)=-3X2(9-m )10 -1-1-1-1-111111 Y(9)=-5X2(10-m )10 1-1-1-1-1-11111 Y(10)=-3 周 期 卷 積 周 期 性 2021/6/16 27 n9 Y(n)N=10周 期 卷 積 結(jié) 果 2021/6/16 28 nX1(n) nX2(n) nX2(m)10X 2(-m)10 循 環(huán) 卷 積 2021/6/16 29 X1(m ) 1111100000X2(m ) 11111-1-1-1-1-1X2(m

17、)10 11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1X2(-m )10 1-1-1-1-1-11111 1-1-1-1-1-11111 1-1-1-1-1-11111 Y(0)=-3X2(1-m )10 11-1-1-1-1-1111 11-1-1-1-1-1111 11-1-1-1-1-1111 Y(1)=-1X2(2-m )10 111-1-1-1-1-111 111-1-1-1-1-111 111-1-1-1-1-111 Y(2)=1X2(3-m )10 1111-1-1-1-1-11 1111-1-1-1-1-11 1111-1-1-1

18、-1-11 Y(3)=3X 2(4-m )10 11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1 11111-1-1-1-1-1 Y(4)=5X2(5-m )10 -111111-1-1-1-1 -111111-1-1-1-1 Y(5)=3X2(6-m )10 -1-111111-1-1-1 Y(6)=1X2(7-m )10 -1-1-111111-1-1 Y(7)= -1X2(8-m )10 -1-1-1-111111-1 Y(8)= -3X2(9-m )10 -1-1-1-1-111111 Y(9)= -5X2(10-m )10 1-1-1-1-1-11111 Y(10)=

19、-3 循 環(huán) 卷 積 2021/6/16 30n9 Y(n)N=10點(diǎn) 的 循 環(huán) 卷 積 結(jié) 果 2021/6/16 31 X1(m ) 1111100000X2(m ) 11111-1-1-1-1-1X2(-m ) -1-1-1-1-11111 1 Y(0)=1X2(1-m ) -1-1-1-1-1111 11 Y(1)=2X2(2-m ) -1-1-1-1-111 111 Y(2)=3X2(3-m ) -1-1-1-1-11 1111 Y(3)=5X2(4-m ) -1-1-1-1-1 11111 Y(4)=5X 2(5-m ) -1-1-1-1 -111111 Y(5)=3X2(6-m

20、 ) -1-1-1 -1-111111 Y(6)=1X2(7-m ) -1-1 -1-1-111111 Y(7)=-1X2(8-m ) -1 -1-1-1-111111 Y(8)=-3X2(9-m ) -1-1-1-1-111111 Y(9)=-5X2(10-m ) 0-1-1-1-1-11111 Y(10)=-4X2(11-m ) 00-1-1-1-1-1111 Y(11)=-3 線 性 卷 積 2021/6/16 32 線 性 卷 積Y(0)=1Y(1)=2Y(2)=3Y(3)=5Y(4)=5Y(5)=3Y(6)=1Y(7)=-1Y(8)=-3Y(9)=-5 Y(10)=-4Y(11)=-3Y(12)=-2Y(13)=-1 循 環(huán) 卷 積Y(0)=-3Y(1)=-1Y(2)=1Y(3)=3Y(4)=5Y(5)=3Y(6)=1Y(7)=-1Y(8)=-3Y(9)=-5 Y(10)=-3n Y(n) 9 nY(n) 2021/6/16 33 卷積對(duì)比4 若 有 不 當(dāng) 之 處 ， 請(qǐng) 指 正 ， 謝 謝 ！