數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)七代數(shù)方程與常微分方程

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1、 方 程 求 根 方 法 函 數(shù) 求 極 值 方 法 常 微 分 方 程 問 題 思 考 題 與 練 習(xí) 題代 數(shù) 方 程 與 常 微 分 方 程 例 1求 解 3 次 方 程 x3 + 1 = 0 。 求 多 項(xiàng) 式 根 (零 點(diǎn) )方 法 : R= roots(P)P是 多 項(xiàng) 式 P(x) = a1xn + a2 xn-1 + + an x + an+1系 數(shù) a1,a2,an+1,R為 多 項(xiàng) 式 全 部 零 點(diǎn) 。 求 數(shù) 值 解P=1,0,0,1;R=roots(P)R = -1.0000 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i 求 符 號 解 sym

2、x;solve(x3+1=0)ans = -1 1/2-1/2*i*3(1/2) 1/2+1/2*i*3(1/2)一、方程求根方法 相 關(guān) 命 令 ： poly, polyval, fzeroX=1:7;P=poly(X) 1 -28 322 -1960 6769 -13132 13068 -5040roots(P)ans = 7.0000 6.0000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000 x=1:0.1:7; y=polyval(P,x);plot(x,y,X,zeros(1,7),o) 多 項(xiàng) 式 求 根 方 法p=1 -30 0 2552; roots(

3、p) ans = 26.3146 11.8615 -8.1761 r x例 2 球 體 的 吃 水 深 度 . 計(jì) 算 半 徑 r =10 cm的 球 體 ,密 度 =0.638.浸 入 水 深 度 x = ? 334 rM 解 ： 重 量 x dttrrV 0 22 )(體 積 x3 30 x2 +2552 =0求 函 數(shù) 零 點(diǎn) 方 法fun=inline(x.3-30*x.2+2552);x=fzero(fun,10) x = 11.8615 求 一 元 函 數(shù) 最 小 值 方 法Xmin=fminbnd(fun， x1， x2)fun是 目 標(biāo) 函 數(shù) ,x1， x2是 最 小 值 點(diǎn)

4、 搜 索 區(qū) 間 ,Xmin是 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 最 小 值 點(diǎn) 。例 3求 一 元 函 數(shù) f(x) = 0.5 x exp( x2)在 區(qū) 間 0， 2內(nèi)的 最 小 值 ， 并 繪 出 函 數(shù) 圖 形 標(biāo) 出 最 小 值 點(diǎn) 。 fun=inline(0.5-x.*exp(-x.2);fplot(fun,0,2),hold onx0,y0=fminbnd(fun,0,2)plot(x0,y0,o) ;hold offx0 = 0.7071 y0 = 0.0711 二、函數(shù)求極值方法 溫室例 4 花 園 靠 樓 房 處 有 一 溫 室 ,溫 室 伸 入 花 園 2 米 ,高 3米 .溫 室

5、 上 方 是 樓 房 窗 臺 ,要 將 梯 子 從 花 園 地 上 放 靠 在樓 房 墻 上 不 損 壞 溫 室 ， 用 7 米 長 的 梯 子 是 否 可 行 ？ 解 :設(shè) 梯 子 長 度 為 L, 梯 子 與 地 面 的 夾 角 為 3sin2 L 2cos1 L sin3cos2)( L 2/,0 數(shù) 學(xué) 模 型 :L=inline(2./cos(alpha)+3./sin(alpha)x,Lmin=fminbnd(L,0.8,0.9) x = 0.8528Lmin = 7.0235 MATLAB求 常 微 分 方 程 初 值 問 題 00)( ),( yxy yxfy數(shù) 值 方 法 是

6、 先 創(chuàng) 建 函 數(shù) 文 件 ,用 以 描 述 微 分 方 程 右 端二 元 函 數(shù) ,然 后 用 ode23()求 出 數(shù) 值 解引 例 炮 彈 在 飛 行 過 程 中 ,空 氣 阻 力 與 飛 行 速 度 v的 平方 成 正 比 ,如 果 初 始 速 度 v0 ,由 牛 頓 第 二 定 律 ,得 0 2)0( 0,vv tkvdtdv 00)( vtv t )(),( 2 tkvvtf 一 階 微 分 方 程 主 要 信 息 是 右 端 項(xiàng) 和 初 始 值 : 三、常微分方程問題 常 微 分 方 程 組 初 值 問 題一 階 常 微 分 方 程 組 初 值 問 題 數(shù) 值 求 解 方 法T

7、,y = ode23( F ,Tspan,y0) 其 中 , F是 函 數(shù) 文 件 , 表 示 微 分 方 程 右 端 函 數(shù)Tspan = t0 Tfinal 求 解 區(qū) 域 ; y0 初 始 條 件注 : 函 數(shù) F(t,y) 必 須 返 回 列 向 量 . 數(shù) 值 解 y 的 每 一 行 對 應(yīng) 于 列 向 量 T中 的 每 一 行 數(shù) 據(jù) 00 0)( ),(yty ttytfdtdy 例 5 馬 爾 薩 斯 模 型 ,以 1994 年 我 國 人 口 為 12億 為 初 值 ，求 解 常 微 分 方 程 N(t)表 示 人 口 數(shù) 量 ,取 人 口 變 化 率 r =0.015,微

8、分 方 程N(yùn)dtdN 015.0 function z=fun1(t,N)z=0.015*N; ode23(fun1,1994,2020,12)T,N=ode23(fun1,1994,2020,12) 1990 1995 2000 2005 2010 2015 202012 14 16 18命 令 窗 口 編 輯 窗 口 12)1994( N 例 6. Logistic模 型 )1( uudtdu 0)0( uu 創(chuàng) 建 微 分 方 程 右 端 函 數(shù) :function z=fun2(t,u)z=u.*(1-u);ode23(fun2,0,6,1.8)ode23(fun2,0,6,0.2)在

9、 命 令 窗 口 求 數(shù) 值 解 Logistic模型 ,以1994 年我國人口為12億為初值，求解常微分方程 )5.16/1(04.0 NNdtdN function z=fun1(t,N)z=0.04*N.*(1-N/16.5);ode23(fun1,1994:2012,12)T,N= ode23(fun1,1994:2012,12)命令窗口 編輯窗口 12)1994( N x,y=meshgrid(0:.25:6,0:.05:2);k=y.*(1-y);d=sqrt(1+k.2);px=1./d;py=k./d;quiver(x,y,px,py),hold onu=dsolve(Du=u

10、*(1-u),u(0)=.2); v=dsolve(Dv=v*(1-v),v(0)=1.8);ezplot(u,0,6);ezplot(v,0,6);axis(0,6,0,2)例7.根 據(jù) 微 分 方 程 右 端 函 數(shù) f(x， y)= y(1 y)， 區(qū) 域D = (x, y) | 0 x 6, 0 y 2內(nèi) 未 知 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 值 ， 確 定 解 函 數(shù) 曲 線 的 切 線 對 應(yīng) 單位 向 量 ， 繪 制 向 量 場 。 例 8.捕 食 者 與 被 捕 食 者 問 題 海 島 上 有 狐 貍 和 野 兔 ,當(dāng) 野 兔 數(shù) 量 增 多 時 ， 狐 貍 捕 食野 兔 導(dǎo) 致 狐 群

11、 數(shù) 量 增 長 ;大 量 兔 子 被 捕 食 使 狐 群 進(jìn) 入饑 餓 狀 態(tài) 其 數(shù) 量 下 降 ;狐 群 數(shù) 量 下 降 導(dǎo) 致 兔 子 被 捕 食機(jī) 會 減 少 ,兔 群 數(shù) 量 回 升 。 微 分 方 程 模 型 如 下 xyydtdy xyxdtdx 01.0015.0計(jì) 算 x(t)， y(t) 當(dāng) t 0， 20時 的 數(shù) 據(jù) 。 繪 圖 并 分析 捕 食 者 和 被 捕 食 者 的 數(shù) 量 變 化 規(guī) 律 。x(0)= 100y(0)=20 反映捕食者掠取食餌的能力表征食餌對食肉供養(yǎng)效率 創(chuàng) 建 MATLAB的 函 數(shù) 文 件function z=fox(t,y)z(1,:)

12、=y(1)-0.015*y(1).*y(2);z(2,:)=-y(2)+0.01*y(1).*y(2);Y0=100,20;t,Y=ode23(fox,0,20,Y0);x=Y(:,1);y=Y(:,2);figure(1),plot(t,x,b,t,y,r)figure(2),plot(x,y) 求 微 分 方 程 數(shù) 值 解 并 繪 解 函 數(shù) 圖 形 -兔 子 數(shù) 量 ; -狐 貍 數(shù) 量 兔 -狐 數(shù) 量變 化 相 位 圖 兔 -狐 數(shù) 量變 化 相 位 圖0,0 dtdydtdx 0,0 dtdydtdx 0,0 dtdydtdx0,0 dtdydtdx 思 考 題 與 練 習(xí) 題1

13、. 對 “ 梯 子 問 題 ” 中 的 數(shù) 學(xué) 模 型 sin3cos2)( L2. 用 MATLAB命 令 fminbnd()求 一 元 函 數(shù) 極 大 值 問 題的 過 程 有 哪 些 操 作 步 驟 ？用 均 值 不 等 式 做 分 析 ,其 結(jié) 論 是 否 與 實(shí) 驗(yàn) 結(jié) 論 一 致 ？ 3. 還 貸 問 題 。 從 銀 行 貸 款 100萬 元 建 生 產(chǎn) 流 水 線 ， 一年 后 建 成 投 產(chǎn) 。 投 產(chǎn) 后 流 水 線 每 年 創(chuàng) 造 利 潤 30萬 元 ，銀 行 的 年 利 率 p=10%， 計(jì) 算 多 少 年 后 公 司 可 以 盈 利 ？ function k,pay=debt(d)if nargin=0,d=30;endS=100;p=0.1;S=S*(1+p);pay=S;k=1;while S0 k=k+1;S=S*(1+p); S=S-d; pay=pay,S;end 4. 蛇 形 曲 線 的 微 分 方 程 右 端 函 數(shù)在 平 面 區(qū) 域 內(nèi) 任 意 一 點(diǎn) (x,y)處 的 值 確 定 解 曲 線 的 切線 斜 率 .利 用 quiver(x,y,px,py)繪 平 面 向 量 場yxy 21 1 2 -6 -4 -2 0 2 4 6-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1