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1、
課題: 3.4基本不等式
第1課時
授課類型：新授課
【教學(xué)目標(biāo)】
1．知識與技能：學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；
2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；
3．情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
【教學(xué)重點】
應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；
【教學(xué)難點】
基本不等式等號成立條件
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
基本不等式的幾何背景：
如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是
2、根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？
教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。
2.講授新課
1．探究圖形中的不等關(guān)系
將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。
2．得到結(jié)論：一般的，如果
3
3、．思考證明：你能給出它的證明嗎？
證明：因為
當(dāng)
所以，，即
4．1）從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識基本不等式
特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ，可得，
通常我們把上式寫作：
2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式
用分析法證明：
要證 (1)
只要證 a+b (2)
要證（2），只要證 a+b-
4、0 （3）
要證（3），只要證 （ - ） （4）
顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，（4）中的等號成立。
3）理解基本不等式的幾何意義
探究：課本第110頁的“探究”
在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？
易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣAＣB
即ＣD＝.
這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與
5、圓心重合，即a＝b時，等號成立.
因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”
評述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.
2.在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
[補(bǔ)充例題]
例1 已知x、y都是正數(shù)，求證：
(1)≥2；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：在運(yùn)用定理：時，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形.
解：∵
6、x，y都是正數(shù) ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
(1)＝2即≥2.
(2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥222＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
3.隨堂練習(xí)
1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：對于此類題目，選擇定理：（a＞0，b＞0）靈活變形，可求得結(jié)果.
解：∵a，b，c都是正數(shù)
∴a＋b≥2＞0
b＋c≥2＞0
c＋a≥2＞0
∴（a＋b）（
7、b＋c）（c＋a）≥222＝８abc
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
4.課時小結(jié)
本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（≥）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價變形來解決問題：ab≤，ab≤（）2.
5.評價設(shè)計
課本第113頁習(xí)題[A]組的第1題
【板書設(shè)計】
010-58818067 58818068 canpoint@
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§3.4基本不等式
