北師大版高中數(shù)學導學案《數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念》

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1、 數(shù)學選修1-2導學案---復數(shù) 3-1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念 學習目標： 1、了解引進復數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位i 2、理解并掌握虛數(shù)單位與實數(shù)進行四則運算的規(guī)律 3、理解并掌握復數(shù)的有關(guān)概念(復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部) 理解并掌握復數(shù)相等的有關(guān)概念 學習重點： 復數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復數(shù)的分類(實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù))和復數(shù)相等等概念是本節(jié)課的教學重點. 學習難點： 虛數(shù)單位i的引進及復數(shù)的概念是本節(jié)課的教學難點.復數(shù)的概念是在引入虛數(shù)單位i并同時規(guī)定了它的兩條性質(zhì)之后，自然地得出的.在規(guī)定i的第二條性質(zhì)時，原有的加、乘運算律仍然成立 自主

2、學習 一、知識回顧： 數(shù)的概念是從實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的 ，由于計數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數(shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進了負數(shù).這樣就把數(shù)集擴充到有理數(shù)集Q.顯然NQ.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負整數(shù)集合并在一起，構(gòu)成整數(shù)集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數(shù)看作分母為1的分數(shù)，那么有理數(shù)集實際上就是分數(shù)集 有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結(jié)果，無法用有理數(shù)表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數(shù).所謂無理數(shù)，就是無

3、限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起，構(gòu)成實數(shù)集R.因為有理數(shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù))，無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實數(shù)集實際上就是小數(shù)集 因生產(chǎn)和科學發(fā)展的需要而逐步擴充，數(shù)集的每一次擴充，對數(shù)學學科本身來說，也解決了在原有數(shù)集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數(shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴到實數(shù)集R以后，像x2=－1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數(shù)的平方等于－1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數(shù)，叫做虛數(shù)單位.并由此產(chǎn)生的了復數(shù) 二、新課研究： 1、虛數(shù)單位: (1

4、)它的平方等于-1，即; (2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立. 2. 與－1的關(guān)系: 就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－! 2、 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 3、復數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復數(shù)，叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示*　 4、復數(shù)的代數(shù)形式: 復數(shù)通常用字母z表示，即，把復數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式 5、復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復數(shù)，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、b∈R)是

5、實數(shù)a；當b≠0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0. 6、復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC. 7、兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等 這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　 復數(shù)相等的定義是求復數(shù)值，在復數(shù)集中解方程的重要依據(jù)　一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小. 現(xiàn)有一個命題：“任何兩個復數(shù)都不能比較大小”對嗎？不對　如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小　只有當兩個復數(shù)不全是

6、實數(shù)時才不能比較大小　 例題講解 例1 請說出復數(shù)的實部和虛部，有沒有純虛數(shù)？ 答：它們都是虛數(shù)，它們的實部分別是2，－3，0，－;虛部分別是3，，－，－;－i是純虛數(shù). 例2 復數(shù)－2i+3.14的實部和虛部是什么？ 答：實部是3.14，虛部是－2. 易錯為：實部是－2，虛部是3.14！ 例3 實數(shù)m取什么數(shù)值時，復數(shù)z=m+1+(m－1)i是: (1)實數(shù)？ (2)虛數(shù)？ (3)純虛數(shù)？ ［分析］因為m∈R，所以m+1，m－1都是實數(shù)，由復數(shù)z=a+bi是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值. 解：(1)當m－1=0，即m=1時，復數(shù)z是實數(shù)； (2)當m－

7、1≠0，即m≠1時，復數(shù)z是虛數(shù)； (3)當m+1=0，且m－1≠0時，即m=－1時，復數(shù)z 是純虛數(shù). 例4　已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x與y. 解：根據(jù)復數(shù)相等的定義，得方程組，所以x=，y=4 課堂鞏固 1、設(shè)集合C=｛復數(shù)｝，A=｛實數(shù)｝，B=｛純虛數(shù)｝，若全集S=C，則下列結(jié)論正確的是( ) A.A∪B=C B. A=B C.A∩B= D.B∪B=C 2、復數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i為虛數(shù)，則實數(shù)x滿足( ) A.x=－ B.x=－2或－ C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2 3、

8、復數(shù)z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，則z1=z2的充要條件是______. 4、已知m∈R，復數(shù)z=+(m2+2m－3)i，當m為何值時，(1)z∈R; (2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)；(4)z=+4i. 歸納反思 課后探究 1、設(shè)復數(shù)z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是純虛數(shù)，求m的值. 2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個實數(shù)根，試求實數(shù)m的值. 教師備課 學習資料 教師備課 學習資料 教師備課 學習資料 教師備課 學習資料