山東省棗莊市嶧城區(qū)吳林街道中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 42 黃金分割教案 北師大版

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1、 4.2黃金分割教案 教學(xué)目標(biāo)： 1.知道黃金分割的定義. 2.會(huì)找一條線段的黃金分割點(diǎn). 3.會(huì)判斷某一點(diǎn)是否為一條線段的黃金分割點(diǎn). 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 重點(diǎn)：了解黃金分割的意義，并能運(yùn)用. 難點(diǎn)：找黃金分割點(diǎn)和畫黃金矩形. 教法與學(xué)法指導(dǎo)： 教法：貫徹“自主參與、自主探究、合作交流、自主構(gòu)建”的教育理念，采用探究性課堂教學(xué)開放模式，讓學(xué)生在自主、合作、探究的濃厚氛圍中掌握知識(shí)、形成技能、培養(yǎng)情感，充分體現(xiàn)科學(xué)性與人文性的統(tǒng)一. 學(xué)法：自主探究與小組合作相結(jié)合 課前準(zhǔn)備：多媒體課件． 教學(xué)過程： 一、 創(chuàng)設(shè)情境，自然引入 同學(xué)們認(rèn)識(shí)圖片中的人嗎？ 對(duì)了，這

2、就是大師達(dá)?芬奇的名作——《蒙娜麗莎》 大家看到這幅畫有什么感覺呢？ 是不是覺得很美，為什么500年來(lái)，大家對(duì)她的微笑一直迷戀不已呢？ 在這節(jié)課中，就讓我們?nèi)ヌ剿鬟@個(gè)秘密！ 設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，喚醒學(xué)生對(duì)美的感受，營(yíng)造一個(gè)感受美、關(guān)注美、探究美的氛圍，搭建一個(gè)自主體驗(yàn)、合作探究、自主構(gòu)建的認(rèn)知平臺(tái)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活的道理． 二、交流討論 探索新知 師：我們?cè)鵁o(wú)數(shù)次的參加過升旗儀式，不知你可曾留意紅旗上的五角星，它有什么特點(diǎn)呢？ 生：…… 師：下面我們就來(lái)研究這個(gè)問題 師：上圖是一個(gè)五角星圖案，我們不妨在

3、圖上找出三個(gè)點(diǎn)A、B、C，在五角星圖案中，大家用刻度尺分別度量線段AC、BC的長(zhǎng)度，然后計(jì)算、,它們的值相等嗎？ （學(xué)生動(dòng)手測(cè)量并計(jì)算） 師：所以我們把這種關(guān)系抽象到線段上來(lái)，就是我們所要討論的黃金分割的定義 那么哪位同學(xué)能嘗試著概括出來(lái)呢？ （學(xué)生嘗試總結(jié)互相補(bǔ)充） 師：非常好，概括的很準(zhǔn)確，好，現(xiàn)在讓我們共同看一下黃金分割的定義： 1.黃金分割的定義 在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割（golden section）,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.其中≈0.618. 讓我們回到本節(jié)課開始時(shí)的問題

4、 這是縮略圖中蒙娜麗莎五官的比例，讓我們計(jì)算一下 （學(xué)生分組測(cè)量并計(jì)算比值） 師：現(xiàn)在我們知道為什么她的微笑這么動(dòng)人了！ 還有哪位同學(xué)能舉出你所知道的黃金分割的應(yīng)用呢？ 黃金分割在幾何作圖上有很多應(yīng)用，如五角星形的各邊是按黃金分割劃分的，其中點(diǎn)C就是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn).作圓的內(nèi)接正十邊形也能歸結(jié)為黃金分割. 黃金分割也被廣泛用在建筑設(shè)計(jì)、美術(shù)、音樂、藝術(shù)等方面.如在設(shè)計(jì)工藝品或日用品的寬和長(zhǎng)時(shí)，常設(shè)計(jì)成寬與長(zhǎng)的比近似為0.618,這樣易引起美感；在拍照時(shí)，常把主要景物攝在接近于畫面的黃金分割點(diǎn)處，會(huì)顯得更加協(xié)調(diào)、悅目；舞臺(tái)上報(bào)幕員報(bào)幕時(shí)總是站在近于舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處，這樣

5、音響效果就比較好，而且顯得自然大方，等等. 黃金分割在工廠里也有著普遍的應(yīng)用.如“優(yōu)選法”中常用的“0.618法”就是黃金分割的一種應(yīng)用. 設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生親自動(dòng)手操作、計(jì)算，親自經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，自己發(fā)現(xiàn)AC/AB=BC/AC，閱讀課本形成概念，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用線段比的能力和探究的能力，同時(shí)養(yǎng)成良好的讀書習(xí)慣. 師：既然黃金分割的實(shí)用價(jià)值這么大，我們就必須把它學(xué)好，還要用好，下面我們來(lái)學(xué)習(xí)如何找一條線段的黃金分割點(diǎn). 2.作一條線段的黃金分割點(diǎn). 如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖： （1）經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）連接AD，在DA上截取DE=DB.

6、 （3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn). 師：你知道為什么嗎？ 若點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，則點(diǎn)C分線段AB所成的線AC、BC間須滿足.下面請(qǐng)大家進(jìn)行驗(yàn)證.自己有困難時(shí)可以互相交流.為了計(jì)算方便，可設(shè)AB=1. 證明：∵AB=1,AC=x,BD=AB= ∴AD=x+ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 （x+）2=12+（）2 ∴x2+x+=1+ ∴x2=1－x ∴x2=1（1－x） ∴AC2=ABBC 即： 即點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)， 在x2=1－x中 整理，得x2+x－1=0 ∴x= ∵AC為線段長(zhǎng)，只能取正 ∴AC=≈0.

7、618 ∴≈0.618 ∴黃金比約為0.618. 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生探究黃金分割的多種作法，從一般到特殊給予推理驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.使知識(shí)與技能螺旋式上升，并增強(qiáng)合作交流意識(shí)，讓學(xué)生在合作交流中體驗(yàn)成功與快樂. 3.想一想 古希臘時(shí)期的巴臺(tái)農(nóng)神廟（Parthenom Temple）.把它的正面放在一個(gè)矩形ABCD中，以矩形ABCD的寬AD為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，,點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)嗎？矩形ABCD的寬與長(zhǎng)的比是黃金比嗎？ 師：請(qǐng)大家互相交流. 生：因?yàn)樗倪呅蜛EFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因?yàn)?所以,即,因此點(diǎn)E是AB的黃

8、金分割點(diǎn)，矩形ABCD寬與長(zhǎng)的比是黃金比. 師：在上面這個(gè)矩形中，寬與長(zhǎng)的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形.你學(xué)會(huì)作了嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)巴臺(tái)農(nóng)神廟的輪廓為黃金矩形，體會(huì)黃金分割的文化價(jià)值. 三、學(xué)以致用，知識(shí)反饋 1、若線段AB＝4cm，點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)為多少？ A B C 圖2 A B C 圖1 解：如圖1，若AC是BC與AB的比例中項(xiàng)：則AC≈0.6184cm=2.472 cm； 如圖2，若BC是AC與AB的比例中項(xiàng)：則BC≈0.6184cm=2.472 cm； ∴AC≈1.528 cm 2、科學(xué)研究表明，

9、當(dāng)人的下肢與身高比為0.618時(shí)，看起來(lái)最美，某成年女士身高為153cm，下肢長(zhǎng)為92cm，該女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度約為 cm（精確到0.1cm）； 解：設(shè)該女士穿的高跟鞋鞋跟的高度為xcm， 根據(jù)黃金分割的概念知：92 + x≈0.618（153 + x），解得：x≈6.7 3、如圖的五角星中，AD=BC，且C、D兩點(diǎn)都是AB的黃金分割點(diǎn)，AB=1，求CD的長(zhǎng)； 解：∵點(diǎn)C、D是AB的黃金分割點(diǎn)， ∴AC=BD≈0.618AB=0.618， ∴BC≈1—0.618=0.382 ∴CD≈0.618—0.382=0.236 答: CD的長(zhǎng)約為0.236

10、設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生反復(fù)的練習(xí)及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并及時(shí)予以糾正，并在此基礎(chǔ)上初步讓學(xué)生體會(huì)因式分解的應(yīng)用. 四、課堂小結(jié)，反思提高 師：緊張而愉快的一節(jié)課過去了，相信每個(gè)同學(xué)都有所收獲.下面讓我們一起說說本節(jié)課的收獲以及還存在的疑惑吧！ 我發(fā)現(xiàn)了生活中...... 我學(xué)會(huì)了...... 使我感到最困難的是...... 我想進(jìn)一步研究的是...... 設(shè)計(jì)意圖：充分交流學(xué)習(xí)心得，可以從知識(shí)與技能，過程與方法，情感態(tài)度價(jià)值觀等方面進(jìn)行，有利于學(xué)生總結(jié)概括所學(xué)的知識(shí)，形成完整的知識(shí)體系，有利于學(xué)生相互學(xué)習(xí)，共同提高，使學(xué)生明確自身的優(yōu)點(diǎn)與不足，便于今后揚(yáng)長(zhǎng)避短. 五、達(dá)標(biāo)檢測(cè)，反饋矯正 1

11、、據(jù)有關(guān)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，當(dāng)氣溫處于人體正常體溫（37oC）的黃金比值時(shí),人體感到最舒適.這個(gè)氣溫約為_______ oC (精確到1 oC). 2、電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體，若舞臺(tái)AB長(zhǎng)為20米，試計(jì)算主持人應(yīng)走到離A點(diǎn)至少多少米處是比較得體的位置？ 設(shè)計(jì)意圖：通過檢測(cè)糾錯(cuò)，有針對(duì)性的對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固、落實(shí)，對(duì)學(xué)生存在的問題及時(shí)有效的進(jìn)行反饋，讓老師及時(shí)、準(zhǔn)確的掌握學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果，為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備． 六、布置作業(yè)，課后促學(xué) 必做題：課本 第113頁(yè) 習(xí)題4.3 第1題. 選做題：課本 第113頁(yè) 習(xí)題4.3 第3、4題. 板書

12、設(shè)計(jì)： 4.2 黃金分割 引入 黃金分割 2.作一條線段的黃金分割點(diǎn) 黃金矩形 學(xué)生板演區(qū) 教學(xué)反思： 八年級(jí)的學(xué)生對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)豐富，正在向抽象思維轉(zhuǎn)型，本節(jié)課讓學(xué)生在豐富的實(shí)際情境中認(rèn)識(shí)黃金分割并應(yīng)用黃金分割解決生活中的問題，促使學(xué)生從感性向理性發(fā)展，從形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)型.八年級(jí)的學(xué)生已具備了一定的學(xué)習(xí)能力，所以本節(jié)課為學(xué)生創(chuàng)造了自己讀書、自己計(jì)算、自己探索、合作交流等機(jī)會(huì)，促使學(xué)生在自主合作的探究中學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí).八年級(jí)的學(xué)生尚未學(xué)習(xí)一元二次方程，所以對(duì)于黃金比，只要接受事實(shí)即可.而對(duì)于黃金分割的作圖，可以使用三角板和刻度尺，因?yàn)樗麄兯鶎W(xué)的尺規(guī)作圖有限，估計(jì)接受作圖時(shí)有困難，所以本節(jié)課的難點(diǎn)是黃金分割的作圖. 不足之處：有些學(xué)生只顧看熱鬧了，知識(shí)掌握不到位，在應(yīng)用時(shí)有些學(xué)生較混亂，小組不能兼顧，只能在課下抽點(diǎn)時(shí)間輔導(dǎo)了. 6