遼寧省沈陽市高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試試題 理（含解析）新人教A版

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1、 遼寧省沈陽市2013年高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（5分）（2013?沈陽二模）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（　　） 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．. 專題： 計(jì)算題． 分析： 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可得出． 解答： 解：∵復(fù)數(shù)===1﹣（i﹣1）=2﹣i，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2，﹣1）位于第四象限． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 熟練掌握復(fù)數(shù)的

2、運(yùn)算法則和幾何意義是解題的關(guān)鍵． 　 2．（5分）（2013?沈陽二模）已知非空集合A，B，全集U=A∪B，集合M=A∩B，集合N=（CUB）∩（CUA），則（　　） 　 A． M∪N=M B． M∩N=? C． M=N D． M?N 考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．. 專題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)題目給出的全集是U，M，N是全集的子集，由圖形表示出三個(gè)集合間的關(guān)系，從而看出M∩N是空集的選項(xiàng)． 解答： 解：集合M，N （N=（CUB）∩（CUA）是圖中陰影部分表示的集合）的關(guān)系如圖， 由圖形看出，M∩N是空集． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考

3、查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了集合的圖形表示法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，是基礎(chǔ)題． 　 3．（5分）（2013?沈陽二模）已知{an}是等差數(shù)列，a4=15，S5=55，則過點(diǎn)P（3，a3），Q（4，a4）的直線斜率為（　?。? 　 A． 4 B． C． ﹣4 D． ﹣ 考點(diǎn)： 等差數(shù)列的性質(zhì)；直線的斜率．. 專題： 綜合題． 分析： 由S5=55，求出a3的值，即可求出a4﹣a3的值，利用兩點(diǎn)求斜率的方法表示出直線的斜率，然后把a(bǔ)4﹣a3的值代入即可求出直線的斜率． 解答： 解：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S5=5a3=55，∴a3=11．

4、∴a4﹣a3=15﹣11=4， ∴kPQ===4． 故選A 點(diǎn)評(píng)： 此題考查學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求過兩點(diǎn)直線的斜率，是一道基礎(chǔ)題． 　 4．（5分）（2013?沈陽二模）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入a=2，則輸出的結(jié)果為（　　） 　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 考點(diǎn)： 程序框圖．. 專題： 圖表型． 分析： 當(dāng)S=0+2=2，a=1﹣2=﹣1，i=1+1=2，滿足n≤5，執(zhí)行循環(huán)體，依此類推，i=1+5=6，不滿足n≤5，退出循環(huán)體，輸出此時(shí)的S的值． 解答： 解：當(dāng)S=0+2=2，a=1﹣2=﹣1

5、，i=1+1=2，滿足n≤5，執(zhí)行循環(huán)體； 當(dāng)S=2﹣1=1，a=1+1=2，i=2+1=3，滿足n≤5，執(zhí)行循環(huán)體； 當(dāng)S=1+2=3，a=1﹣2=﹣1，i=3+1=4，滿足n≤5，執(zhí)行循環(huán)體； 當(dāng)S=3﹣1=2，a=1+1=2，i=4+1=5，滿足n≤5，執(zhí)行循環(huán)體； 當(dāng)S=2+2=4，a=1﹣2=﹣1，i=5+1=6，不滿足n≤5，退出循環(huán)體， 輸出此時(shí)的S=4． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后循環(huán)，直到型循環(huán)是先循環(huán)后判斷，屬于基礎(chǔ)題之列． 　 5．（5分）（2013?沈陽二模）橢

6、圓C：與動(dòng)直線l：2mx﹣2y﹣2m+1=0（m∈R），則直線l與橢圓C交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　） 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 不確定 考點(diǎn)： 球的體積和表面積．. 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 先整理直線方程判斷出直線恒過的點(diǎn)，然后把此點(diǎn)代入橢圓方程判斷此點(diǎn)是在橢圓內(nèi)部還是外部，在內(nèi)部過此點(diǎn)的直線與橢圓一定有兩個(gè)交點(diǎn)． 解答： 解：整理直線方程得2m（x﹣1）+1﹣2y=0， ∴直線恒過（1，）點(diǎn)， 把點(diǎn)（1，）代入橢圓方程求得 ，可知此點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部， ∴過此點(diǎn)的直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn) 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了直

7、線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用． 　 6．（5分）（2013?沈陽二模）“a=1”是“（1+ax）6的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為64”的（　?。? 　 A． 必要不充分條件 B． 充分不必要條件 　 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．. 專題： 計(jì)算題． 分析： 先通過觀察，令二項(xiàng)式中的x=1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和．再由充要條件的定義直接判斷“a=1”?“（1+ax）6的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為64”和“（1+ax）6的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為64”?“a=1”是否正確即可．

8、 解答： 解：令二項(xiàng)式中的x=1得到展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 （1+a）6=64，得1+a=2或1+a=﹣2，∴a=1或a=﹣3． “a=1”?“a=1或a=﹣3”，反之，“a=1或a=﹣3”不能?“a=1”， ∴“a=1”是“（1+ax）6的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為64”的充分不必要條件． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查充要條件的判斷，考查求二項(xiàng)展開式的 系數(shù)和問題，一般通過觀察，通過給二項(xiàng)式中未知數(shù)賦值，求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)和． 　 7．（5分）（2013?懷化三模）一個(gè)錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是（　?。? 　 A． B．

9、 C． D． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖． 專題： 作圖題． 分析： 由三視圖的作法規(guī)則，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行比對(duì)，找出錯(cuò)誤選項(xiàng)． 解答： 解：本題中給出了正視圖與左視圖，故可以根據(jù)正視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，左視圖與俯視圖寬相等來找出正確選項(xiàng) A中的視圖滿足三視圖的作法規(guī)則； B中的視圖滿足三視圖的作法規(guī)則； C中的視圖不滿足三視圖的作法規(guī)則中的寬相等，故其為錯(cuò)誤選項(xiàng)； D中的視圖滿足三視圖的作法規(guī)則； 故選C 點(diǎn)評(píng)： 本題考查三視圖的作法，解題的關(guān)鍵是掌握住三視圖的作法規(guī)則即長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊，利用這些規(guī)則即可選出正確選項(xiàng)． 　

10、8．（5分）（2013?沈陽二模）在等比數(shù)列{an}中，有，則a1a2…a6=（　?。? 　 A． B． C． 35 D． 36 考點(diǎn)： 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．. 專題： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由已知遞推公式，令n=2可求a3?a4，然后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a1a2…a6=即可求解 解答： 解：∵， ∴a3?a4=32 則由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a1a2…a6==36 故選D 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題 　 9．（5分）（2013?沈陽二模）已知關(guān)于x的方程有正根，則實(shí)數(shù)

11、a的取值范圍是（　　） 　 A． （0，1） B． （0.1，10） C． （0.1，1） D． （10，+∞） 考點(diǎn)： 函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．. 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 由指數(shù)函數(shù)y=（）x的單調(diào)性可知，當(dāng)x＞0時(shí)，0＜（）x＜1，關(guān)于x的方程（）x=有正根，?0＜＜1，解對(duì)數(shù)不等式可求得答案． 解答： 解：當(dāng)x＞0時(shí)，0＜（）x＜1 ∵關(guān)于x的方程（）x=有正根 ∴0＜＜1 即﹣1＜lga＜0 ∴0.1＜a＜1 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)不等式的求解，及對(duì)數(shù)函數(shù)的特殊點(diǎn)的應(yīng)用．屬

12、于知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合． 　 10．（5分）（2013?沈陽二模）已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且由，則△ABC的內(nèi)角A等于（　?。? 　 A． 30 B． 60 C． 90 D． 120 考點(diǎn)： 向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義；圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定．. 專題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)三個(gè)向量之和是零向量，把移項(xiàng)，得到兩個(gè)向量的和等于，由O為△ABC外接圓的圓心結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形，得到要求的角． 解答： 解：由 ∴， 如圖由O為△ABC外接圓的圓心 結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形， ∴∠CAO=60，

13、∴△ABC的內(nèi)角A等于30 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，考查三角形的外接圓的圓心的性質(zhì)，是一個(gè)平面向量與平面幾何的綜合題目，題目的運(yùn)算量比較小，是一個(gè)基礎(chǔ)題． 　 11．（5分）（2013?沈陽二模）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）的圖象在[﹣，﹣]上單調(diào)遞增，則ω的最大值是（　?。? 　 A． B． C． 1 D． 2 考點(diǎn)： y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義；正弦函數(shù)的單調(diào)性．. 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 先畫出函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）的圖

14、象，如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）的圖象在[﹣，﹣]上單調(diào)遞增，就是在y軸左側(cè)的最低點(diǎn)必須在直線x=﹣的左側(cè)，利用不等關(guān)系，求出ω的范圍，然后得到ω的最大值． 解答： 解：畫出函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）的圖象，如圖， 令A(yù)sin（ωx+ωπ）=﹣A，得ωx+ωπ=﹣，解得x=﹣π﹣， ∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）在[﹣，﹣]上單調(diào)遞增， 故﹣π﹣≤﹣， ∴ω≤1， ∴ωmax=1． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題． 　 12．（5分

15、）（2013?沈陽二模）定義在（0，）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．. 專題： 計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： 把給出的等式變形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=，由其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到其在 （0，）上為增函數(shù)，則，整理后即可得到答案． 解答： 解：因?yàn)閤∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0． 由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx． 即f′（x）sin

16、x﹣f（x）cosx＞0． 令g（x）=x∈（0，），則． 所以函數(shù)g（x）=在x∈（0，）上為增函數(shù)， 則，即，所以， 即． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了利用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，屬中檔題型． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題紙上. 13．（5分）（2013?沈陽二模）=　0?。? 考點(diǎn)： 定積分．. 專題： 計(jì)算題． 分析： 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和微積分基本定理，結(jié)合三角函數(shù)的二倍角公式，即可得出答案． 解答： 解：定積分 = = =（sinx+cosx）|0{

17、\;}^{\frac{π}{2}}=1﹣1=0． 故答案為：0． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查定積分，解題的關(guān)鍵是掌握住定積分的定義及其公式，本題是基本概念題． 　 14．（5分）（2013?沈陽二模）將7支不同的筆全部放入兩個(gè)不同的筆筒中，每個(gè)筆筒中至少放兩支筆，有　112　種放法．（用數(shù)字作答） 考點(diǎn)： 排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．. 專題： 常規(guī)題型． 分析： 7支不同的筆全部放入兩個(gè)不同的筆筒中，每個(gè)筆筒中至少放兩支筆，有2、5和3、4兩種數(shù)字組合，其中一個(gè)筆筒2個(gè)另一筆筒5個(gè)，有種放法，一個(gè)筆筒3個(gè)另一筆筒4個(gè)，有種放法，兩種組合的分法加起來，即可得解． 解答： 解：

18、7支不同的筆全部放入兩個(gè)不同的筆筒中，每個(gè)筆筒中至少放兩支筆，有2、5和3、4兩種數(shù)字組合， ①一個(gè)筆筒2個(gè)另一筆筒5個(gè)，有種放法， ②一個(gè)筆筒3個(gè)另一筆筒4個(gè)，有種放法， 答：將7支不同的筆全部放入兩個(gè)不同的筆筒中，每個(gè)筆筒中至少放兩支筆，有+=112種放法； 故答案為：112． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，考查分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題． 　 15．（5分）（2013?沈陽二模）已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|=10，雙曲線的離心率的取

19、值范圍為（1，2）．則該橢圓的離心率的取值范圍是?。ǎ。? 考點(diǎn)： 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．. 專題： 壓軸題；數(shù)形結(jié)合法． 分析： 作出圖象，結(jié)合圖象把問題轉(zhuǎn)化為1＜＜2，求的取值范圍． 解答： 解：如圖，設(shè)M（xM，yM）， 雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)，半焦距分別為a2，c，|PF1|=m，|PF2|=n， 則?， 問題轉(zhuǎn)化為已知1＜＜2，求的取值范圍． 設(shè)=x，則c=，==﹣． ∵1＜x＜2，∴﹣＜﹣＜﹣，即＜﹣＜． 故答案為：（）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，作出圖象，數(shù)形結(jié)合，事半功倍． 　 16．（5分）（2013?沈陽二模）

20、三棱錐A﹣BCD的外接球?yàn)榍騉，△ABC與△ACD都是以AC為斜邊的直角三角形，△BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，且BD=，向量與的夾角為，則球O的表面積為　3π?。? 考點(diǎn)： 球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．. 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： 三棱錐A﹣BCD的各條側(cè)棱長(zhǎng)都可以求出來，如圖，所以它的棱AC的中點(diǎn)即為球的球心，AC的長(zhǎng)為球的直徑，然后解答即可． 解答： 解：∵向量與的夾角為，∴∠BAD=， 因△ABC與△ACD都是以AC為斜邊的直角三角形，且AC=DC， ∴△ABC≌△ACD， ∴AB=DA， ∴△ABD是等邊三角形， ∴有AB=AD=A

21、D=， 又棱AC的中點(diǎn)即為球的球心，AC的長(zhǎng)為球的直徑， ∴它的外接球半徑是 AC= 外接球的表面積是 4π（）2=3π 故答案為：3π 點(diǎn)評(píng)： 本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接體，球的表面積，考查計(jì)算能力，空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 　 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，解答過程書寫在答題紙的對(duì)應(yīng)位置. 17．（12分）（2013?沈陽二模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且． （1）求角A； （2）若a=1，求△ABC的面積S的最大值． 考點(diǎn)： 正弦定理；余弦定理．. 專題： 計(jì)算題；解三角形． 分析： （1）根

22、據(jù)余弦定理關(guān)于cosA、cosC的式子代入已知等式，化簡(jiǎn)整理可得（b+c）（b2+c2﹣a2）=0，從而得到b2+c2=a2，可得△ABC是以A為直角的直角三角形，所以A=； （2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到b2+c2=a2=1，利用基本不等式得到bc≤b2+c2=，結(jié)合△ABC的面積S=bc可得當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)，△ABC的面積的最大值為． 解答： 解：（1）由余弦定理，可得cosA=，cosC=， 代入已知等式，得，…（2分） 即=b+，去分母化簡(jiǎn)得c（a2+b2﹣c2）=2b2c+b（b2+c2﹣a2）， 整理，得（b+c）（b2+c2﹣a2）=0， ∵b+c＞0，∴b2+c2

23、﹣a2=0，…（6分） 因此，b2+c2=a2可得△ABC是以A為直角的直角三角形，得A=．…（8分） （2）由（1）知b2+c2=a2=1， 又∵b2+c2≥2bc，∴bc≤b2+c2，可得bc≤（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”），…（10分） ∵△ABC的面積S=bc，∴S=， 即當(dāng)且僅當(dāng)b=c=時(shí)，△ABC的面積的最大值為．…（12分） 點(diǎn)評(píng)： 本題給出△ABC的邊角關(guān)系式，求角A的大小并求△ABC的面積的最大值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、基本不等式求最值和勾股定理等知識(shí)，屬于中檔題． 　 18．（12分）如圖1，已知ABCD是上．下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形

24、，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2． （Ⅰ）證明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣O1的大?。? 考點(diǎn)： 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．. 專題： 計(jì)算題；證明題． 分析： 本題可用兩種方法來解答： （解法一）（I）利用幾何體中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，求?=0來證明垂直； （II）求平面OAC和平面O1AC的法向量，再求二面角O﹣AC﹣O1的平面角的余弦值． （解法二）（I）由題意知證出AO⊥平面OBCO1，再由給出的長(zhǎng)度求出OC⊥BO1，由三垂線定理AC⊥BO1； （II）由（I）證出BO1⊥平面AOC，利用其

25、垂直關(guān)系作出二面角O﹣AC﹣O1的平面角，在直角 三角形中解． 解答： 解：解法一（I）證明：由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1． ∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB． 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1， 所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，） O1（0，0，）． ∴=（﹣3，1，），=（0，﹣3，），?=﹣3+?=0． ∴AC⊥BO1． （II）解：∵?=﹣3+?=0，∴BO1⊥OC， 由（I）AC⊥BO1，∴BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量．

26、 設(shè)=（x，y，z）是平面O1AC的一個(gè)法向量， 由?，取z=，得=（1，0，）． 設(shè)二面角O﹣AC﹣O1的大小為θ，由、的方向知， cosθ=cos＜，＞== 即二面角O﹣AC﹣O1的大小是arccos． 解法二（I）證明：由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1， ∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB．則AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影． ∵tan∠OO1B==，tan∠O1OC==， ∴∠OO1B=60，∠O1OC=30，則OC⊥BO1 由三垂線定理得AC⊥BO1． （II）解：由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平

27、面AOC． 設(shè)OC∩O1B=E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于F，連接O1F（如圖4）， 則EF是O1F在平面AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC． ∴∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角． 由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1， ∴O1A==2，AC==， ∴O1F==，又O1E=OO1?sin30=， ∴sin∠O1FE==即二面角O﹣AC﹣O1的大小是arcsin． 點(diǎn)評(píng)： 本題為一題多解的情況，一種是向量法，需要利用已有的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，向量的數(shù)量積來證垂直，求平面的法向量來求二面角的余弦值；另一種用垂直關(guān)系的定義和定理，三垂線定理來證明垂直，作

28、出二面角O﹣AC﹣O1的平面角．向量法簡(jiǎn)單． 　 19．（12分）（2013?沈陽二模）在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后，班級(jí)學(xué)委對(duì)選答題的選題情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如下表： 平面幾何選講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 不等式選講 合計(jì) 男同學(xué)（人數(shù)） 12 4 6 22 女同學(xué)（人數(shù)） 0 8 12 20 合計(jì) 12 12 18 42 （1）在統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，如果把平面幾何選講和極坐標(biāo)與參數(shù)方程稱為幾何類，把不等式選講稱為代數(shù)類，我們可以得到如下22列聯(lián)表： 幾何類 代數(shù)類 合計(jì) 男同學(xué)（人數(shù)） 16 6 22 女同學(xué)（人數(shù)） 8 12 20 合計(jì) 24

29、 18 42 據(jù)此統(tǒng)計(jì)你是否認(rèn)為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān)，若有關(guān)，你有多大的把握？ （2）在原統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選做題的同學(xué)中隨機(jī)選出7名同學(xué)進(jìn)行座談．已知這名學(xué)委和兩名數(shù)學(xué)科代表都在選做“不等式選講”的同學(xué)中． ①求在這名學(xué)委被選中的條件下，兩名數(shù)學(xué)科代表也被選中的概率； ②記抽取到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）． 下面臨界值表僅供參考： P（x2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.02

30、4 6.635 7.879 10.828 考點(diǎn)： 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；獨(dú)立性檢驗(yàn)；離散型隨機(jī)變量及其分布列．. 專題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測(cè)值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測(cè)值公式中，做出觀測(cè)值，同所給的臨界值表進(jìn)行比較，得到所求的值所處的位置，得到百分?jǐn)?shù)． （2）①令事件A為“這名學(xué)委被抽取到”；事件B為“兩名數(shù)學(xué)科代表被抽到”，利用條件概率求得兩名數(shù)學(xué)科代表也被選中的概率， ②記抽取到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為X，由題X的可能值有0，1，2．依次求出相應(yīng)的概率求分布列，再求期望即可． 解答： 解：（1）由題X2==≈4.582＞3.

31、841． 所以，據(jù)此統(tǒng)計(jì)有95%的把握認(rèn)為選做“幾何類”或“代數(shù)類”與性別有關(guān)．…4 分 （2）由題可知在“不等式選講”的18位同學(xué)中，要選取3位同學(xué)．…（6分） ①令事件A為“這名學(xué)委被抽取到”；事件B為“兩名數(shù)學(xué)科代表被抽到”， 則P（A∩B）=，P（A）=． 所以P（B|A）===．…（8分） ②由題X的可能值有0，1，2．依題P（X=0）==；P（X=1）==； P（X=0）==．…（10分） 從而X的分布列為： X 0 1 2 P …（11分） 于是EX=0+1+2=．…（12分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)

32、用，考查根據(jù)列聯(lián)表做出觀測(cè)值，根據(jù)所給的臨界值表進(jìn)行比較，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題． 　 20．（12分）（2013?沈陽二模）已知拋物線C：y2=x，過定點(diǎn)A（x0，0），作直線l交拋物線于P，Q（點(diǎn)P在第一象限）． （Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)A是拋物線C的焦點(diǎn)，且弦長(zhǎng)|PQ|=2時(shí)，求直線l的方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，直線PM交x軸于點(diǎn)B，且BP⊥BQ．求證：點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣x0，0）并求點(diǎn)B到直線l的距離d的取值范圍． 考點(diǎn)： 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．. 專題： 綜合題． 分析： （1）先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后假設(shè)直線l的方程為：，將P，Q的坐標(biāo)設(shè)出，聯(lián)立直線和拋物線方程消

33、去x得到兩根之和，然后根據(jù)|PQ|的長(zhǎng)度得到n的值． （2）先設(shè)l：x=my+x0（m≠0），再根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，聯(lián)立l與拋物線的方程消去x得到兩根之和、兩根之積，表示出和根據(jù)∥，得到關(guān)系式x2y1﹣y1xB=﹣x1y2+xBy2．再代入兩根之和、兩根之積可證明點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣x0，0）．先確定△BMQ為等腰直角三角形，得到kPB=1，再表示出點(diǎn)B到直線l的距離d即可求范圍． 解答： 解：（Ⅰ）由拋物線C：y2=x得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 設(shè)直線l的方程為：，P（x1，y1），Q（x2，y2）． 由得． 所以△=n2+1＞0，y1+y2=n．因?yàn)椋? 所以． 所以n2=1．

34、即n=1． 所以直線l的方程為：或． （Ⅱ）設(shè)l：x=my+x0（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），則M（x2，﹣y2）． 由得y2﹣my﹣x0=0． 因?yàn)椋浴?m2+4x0＞0，y1+y2=m，y1y2=﹣x0． （?。┰O(shè)B（xB，0），則． 由題意知：∥，∴x2y1﹣y1xB=﹣x1y2+xBy2． 即（y1+y2）xB=x1y2+x2y1=y12y2+y22y1=（y1+y2）y1y2． 顯然y1+y2=m≠0，∴xB=y1y2=﹣x0．∴B（﹣x0，0）． （ⅱ）由題意知：△BMQ為等腰直角三角形，∴kPB=1， 即，即．∴y1﹣y2=1． ∴（y

35、1+y2）2﹣4y1y2=1．∴m2+4x0=1．∴m2=1﹣4x0＞0． ∴．∵，∴． ∴． 即d的取值范圍是． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查拋物線和直線的綜合題．圓錐曲線和直線的綜合題是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考，要給予重視． 　 21．（12分）（2013?沈陽二模）已知函數(shù)f（x）=，a∈R且a≠0． （1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性； （2）當(dāng)a＜0時(shí)，若，證明：． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式的證明．. 專題： 計(jì)算題；綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f（x）=，再分a的正負(fù)討論a、a+a2和a2的大小關(guān)系，即可得到f（

36、x）單調(diào)性的兩種情況，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）原不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，等價(jià)變形得f（x2）﹣（）x2＜f（x1）﹣（）x1．因此轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)h（x）=f（x）﹣（）x在區(qū)間（a2+a，a2﹣a）內(nèi)單調(diào)遞減，而h（x）=，通過研究分子對(duì)應(yīng)二次函數(shù)在區(qū)間[a2+a，a2﹣a]上的取值，可得h（x）＜0在x∈[a2+a，a2﹣a]上恒成立，因此h（x）=f（x）﹣（）x在區(qū)間（a2+a，a2﹣a）內(nèi)是減函數(shù)，從而得到原不等式成立． 解答： 解：（1）由題意，可得f（x）=x+==．…（2分） 令f（x）＞0，因?yàn)閤﹣a﹣a2＞0故（x﹣a）（x﹣a2）＞0． 當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)閍+a

37、2＞a且a+a2＞a2，所以上不等式的解為（a+a2，+∞）， 因此，此時(shí)函數(shù)f（x）在（a+a2，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分） 當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)閍＜a+a2＜a2，所以上不等式的解為（a2，+∞）， 從而此時(shí)函數(shù)f（x）在（a2，+∞）上單調(diào)遞增，同理此時(shí)f（x）在（a+a2＜a2）上單調(diào)遞減．…（6分） （2）要證原不等式成立，只須證明f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）（）， 只須證明f（x2）﹣（）x2＜f（x1）﹣（）x1． 因?yàn)椋? 所以原不等式等價(jià)于函數(shù)h（x）=f（x）﹣（）x在區(qū)間（a2+a，a2﹣a）內(nèi)單調(diào)遞減．…（8分） 由（1）知h（x）=x﹣（）+=，

38、 因?yàn)閤﹣a﹣a2＞0，所以考察函數(shù)g（x）=x2﹣++﹣a2，x∈[a2+a，a2﹣a]． ∵=a2＞，且g（x）圖象的對(duì)稱軸x=∈[a2+a，a2﹣a]， ∴g（x）≤g（a2﹣a）=0．…（10分） 從而可得h（x）＜0在x∈[a2+a，a2﹣a]上恒成立， 所以函數(shù)h（x）=f（x）﹣（）x在（a2+a，a2﹣a）內(nèi)單調(diào)遞減． 從而可得原命題成立 …（12分） 點(diǎn)評(píng)： 本題給出含有自然對(duì)數(shù)的基本初等函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并依此證明不等式在給定條件下成立．著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題． 　 選修題：（請(qǐng)考

39、生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．） 22．（10分）（2013?沈陽二模）選修4﹣1：幾何證明選講 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，PA是過點(diǎn)A的直線，且∠PAC=∠ABC． （1）求證：PA是⊙O的切線； （2）如果弦CD交AB于點(diǎn)E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求直徑AB的長(zhǎng)． 考點(diǎn)： 與圓有關(guān)的比例線段；相似三角形的性質(zhì)．. 專題： 直線與圓． 分析： （1）利用切線的判定定理：只要證明∠PAB=90，又經(jīng)過半徑的外端即可． （2）設(shè)CE=6k，ED=5k，AE=2m

40、，EB=3m，利用相交弦定理可得AE?EB=CE?ED，于是6m2=30k2，得m=5k．由△AEC∽△DEB，可得DB8=3m6k，得出BD=45．由△CEB∽△AED，得BCAD=CEAE．在Rt△ABC，Rt△ADB中，利用勾股定理可得BC2=25m2﹣64，AD2=25m2﹣80，即可解出． 解答： （1）證明：AB為直徑，∠ACB=90，∴∠CAB+∠ABC=90， ∵∠PAC=∠ABC，∴∠PAC+∠CAB=90， ∴PA⊥AB，∵AB為直徑，∴PA為圓的切線． （2）設(shè)CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m， ∵AE?EB=CE?ED，∴6m2=30k2，得m

41、=k． 連接DB，由△AEC∽△DEB，∴，∴BD=． 連接AD，由△CEB∽△AED，得． 在Rt△ABC，Rt△ADB中，BC2=25m2﹣64，AD2=25m2﹣80，于是有， 解得m=2，∴AB=AE+EB=10． 點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了切線的判定定理、相交弦定理、三角形相似、勾股定理、成比例線段等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力． 　 23．（2013?沈陽二模）選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，圓C的方程是x2+y2﹣4x=0，圓心為C．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線C1：與圓C相交于A，B兩點(diǎn)． （1）

42、求直線AB的極坐標(biāo)方程； （2）若過點(diǎn)C（2，0）的曲線C2：（t是參數(shù)）交直線AB于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，求|CD|：|CE|的值． 考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；參數(shù)方程化成普通方程．. 專題： 直線與圓． 分析： （1）先利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再與圓C的方程聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到AB的直角坐標(biāo)方程，最后再將它化成極坐標(biāo)方程即可； （2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)的幾何意義可求|CD|：|CE|的值． 解答： 解：（1）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸

43、為極軸建立的極坐標(biāo)系中， 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)有關(guān)系：x=ρcosθ，y=ρsinθ， 所以圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+4y=0，…（2分） 聯(lián)立曲線C：x2+y2﹣4x=0，得或 即不妨令A(yù)（0，0），B（3，﹣），從而直線AB的直角坐標(biāo)方程為：y=﹣x， 所以，ρsinθ=﹣ρcosθ，即tanθ=﹣，…（4分） 所以直線AB的極坐標(biāo)方程為θ=﹣，（ρ∈R）．…（5分） （2）由（1）可知直線AB的直角坐標(biāo)方程為：y=﹣x，…（6分） 依題令交點(diǎn)D（x1，y1）則有， 又D在直線AB上，所以，=﹣（2+t1），解得t1=﹣， 由直線參數(shù)方程的定義知|CD|=|t1|=

44、，…（8分） 同理令交點(diǎn)E（x2，y2），則有， 又E在直線x=0上，所以2+=0，解得t2=﹣， 所以|CE|=|t2|=，…（9分） 所以|CD|：|CE|=．…（10分） 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式．要求學(xué)生能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，屬于中等題． 　 24．（2013?沈陽二模）選修4﹣5：不等式選講 已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|． （1）解不等式：1≤f（x）+f（x﹣1）≤2； （2）若a＞0，求證：f（ax）﹣af（

45、x）≤f（a）． 考點(diǎn)： 絕對(duì)值不等式的解法．. 專題： 計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： （1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得f（x）+f（x﹣1）=|x﹣1|+|x﹣2|≥1，故只須解不等式f（x）+f（x﹣1）≤2即可，通過對(duì)x分x≤1，1＜x≤2，x＞2三類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解之即可； （2）當(dāng)a＞0時(shí)，求得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=f（a），從而可證結(jié)論． 解答： 解：（1）由題f（x）+f（x﹣1）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1． 因

46、此只須解不等式f（x）+f（x﹣1）≤2．…（2分） 當(dāng)x≤1時(shí)，原不式等價(jià)于﹣2x+3≤2，即≤x≤1． 當(dāng)1＜x≤2時(shí)，原不式等價(jià)于1≤2，即1＜x≤2． 當(dāng)x＞2時(shí)，原不式等價(jià)于2x﹣3≤2，即2＜x≤． 綜上，原不等式的解集為{x|≤x≤}．…（5分） （2）由題f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|． 當(dāng)a＞0時(shí)，f（ax）﹣af（x） =|ax﹣1|﹣|ax﹣a| =|ax﹣1|﹣|a﹣ax| ≤|ax﹣1+a﹣ax| =|a﹣1| =f（a）．…（10分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查：絕對(duì)值不等式的解法，掌握雙絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，通過分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題． 　 22