數(shù)學建模 足球比賽 論文

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1、 第 十 五 組 足球隊排名次的方法 摘 要 本文討論了依據(jù)我國12支足球隊在1988-1989年全國足球甲級隊聯(lián)賽中的成績，給他們進行排列名次的問題。根據(jù)全國足球甲級隊聯(lián)賽的比賽規(guī)則，符合要求的排名方法是多種多樣的，然而都希望實現(xiàn)盡量公平、盡量精確的排名策略。我們針對排名的問題，建立了從簡單到復雜，從粗糙到較為精確的三個模型，分別用了平均積分法、圖論的相關知識、比分矩陣法以及層次分析法。 模型一：依次計算出各個隊的總積分，按照國家足球甲級隊聯(lián)賽的規(guī)則，可知：獲勝加3分，平局各得一分，失敗就得零分，同時統(tǒng)計每一個隊進行的比賽場數(shù)，對總積分

2、/比賽的場數(shù)進行排序，所得結(jié)果就可以近似的作為各隊的排名。 模型二：根據(jù)比賽的數(shù)據(jù)，建立了一個的數(shù)字矩陣，在合理的假設條件下，進行分析，從而完善矩陣，用C++編程，輸入所得矩陣，求出哈密頓開路的路徑，再結(jié)合模型一的分析，對其排出名次。 模型三：用三分制計算對任意第i隊與第j隊（i不等于j）的得分比，其中=1，得到比分矩陣,求出比分矩陣的最大特征值，并求出相應的特征向量。比較分向量的大小，即可求出排名。 模型四：用層次分析法，把平均積分、凈球數(shù)和獲勝場數(shù)與參賽場數(shù)的比值作為準則層的影響因素，根據(jù)它們的比重關系，構(gòu)造正互反矩陣(逆稱矩陣)，通過求最大特征值及其特征向量，從而求出排名。 四個

3、模型的運行結(jié)果如下的表所示： 名次 模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 模型一 模型二 模型三 模型四 四個模型都能推廣到任意N個隊的情況，對于不同的模型，數(shù)據(jù)所要求具備的條件是不一樣的。 關鍵詞：足球 排名 積分 圖論 比分矩陣 層次分析 一、 問題描述 近幾十年以來，足球這一運動項目在我國較為流

4、行，深受許多球迷的喜愛，越來越多的大型的足球比賽在國內(nèi)組織起來，其中全國足球聯(lián)賽就是一個比較正式，比賽要求較為嚴謹?shù)囊粋€比賽組織，公平、公正、公開的評分原則顯現(xiàn)的更為重要。題目中給出了1988-1989年全國足球甲級隊聯(lián)賽的比賽成績列表，根據(jù)列表的數(shù)據(jù)，要求設計一個合理的方案對十二支隊進行排列名次，并給出用該方案排名次的結(jié)果。建立數(shù)學模型，對數(shù)據(jù)進行分析，對十二支分隊進行排名，并要求能夠推廣到N個隊，計算出對于N個隊的排名情況，對于所設計出來的數(shù)學模型說明所要求數(shù)據(jù)具備的條件有哪些。 設計方案的方法是多種多樣的，可以運用模糊數(shù)學、圖論、層次分析等等，然而由于能力有限或者題目數(shù)據(jù)的限制，我們僅

5、用其中較為淺顯的理論，進行了建立模型。 二、 合理的假設 1、 參賽各隊都是按照自己的真實水平發(fā)揮的，且在短時間內(nèi)，真實水平是不發(fā)生變化的，比賽結(jié)果沒有人為或其它非正常因素的影響。 2、 每場比賽的結(jié)果對排名的估計的重要程度是一樣的，具有相同的可信度。 3、 每一場比賽都是由比賽規(guī)則決定的，沒有棄權(quán)的現(xiàn)象。 三、 模型建立 模型一：平均積分法 1、 合理假設：假設贏一場比賽得3分，平局得1分，輸一場比賽不得分。這是根據(jù)全國足球聯(lián)賽的規(guī)則中查得的數(shù)據(jù)。 2、 符號說明：——第i支隊總的比賽場數(shù)； ——第i支隊獲勝的比賽場數(shù)； ——第i支隊平局的比賽場數(shù)； ——第i支隊被打敗

6、的比賽場數(shù)； ——第i支隊總積分； ——第i支隊的平均積分； 3、 由假設依次計算出每一隊的總積分和平均積分： 目標函數(shù)： 約束條件： 模型二：圖論 1、 建立了一個的數(shù)字矩陣,打敗時，記標記；兩者平局或者兩者之間沒有比賽時不做任何標記；輸給時，標記； 2、 根據(jù)所得的的矩陣，統(tǒng)計出每一行為1的總數(shù)，即每一隊打敗的對手數(shù)，記作一個向量； 3、 如果向量中有相同的元素，如，則從1到12(即N)分別求出被打敗的所有隊的的總和，并作為新向量中的值，得到新向量；如果還有相同元素，則根據(jù)抽簽的原則隨機的讓其中一方為1，另一方為0，最終得到0-1矩陣； 4、 根

7、據(jù)所得矩陣，在編寫好的C++程序中執(zhí)行，得到哈密頓開路的路徑； 5、 每一個哈密頓路徑都是一種排名結(jié)果，但它對矩陣的依賴性太強，需要我們進一步結(jié)合題目中的數(shù)據(jù)進行分析最終得到排名結(jié)果。 模型三：比分矩陣法 1、 對模型一的平均積分法有其不可改變的不合理性：在計算比賽得分時沒有考慮對手的強弱。比如，強隊勝強隊得3分，強隊勝弱隊同樣得3分。所以采用得分比矩陣同樣是用三分制計算對任意第i隊與第j隊(i不等于j)的得分比，其中=1 2、 根據(jù)比分矩陣(其中為i隊的平均分與j隊的平均分的比值)，求出比分矩陣的最大特征值，進而得出相應的特征向量。比較分向量的大小，即可求出排名。 模型四：層次

8、分析 在此模型中，我們采取層次分析法。在本題中，我們認為影響參賽隊排名主要有一下三個因素：平均分，凈球數(shù)，參賽隊贏的場數(shù)與該對比賽的場數(shù)之比。 1、我們根據(jù)層次分析法建立如下的層次關系： 排名 平均分 凈球數(shù) 贏的場數(shù)與比賽的場數(shù)之比 目標層 準則層 各因素，，，相對于目標y（其中）的重要性。用下表數(shù)值表示 / 相等 較強 強 很強 絕對強 1 3 5 7 9 若介于上述兩者之間，則取2，4，6，8。 通過三個因素對排名的影響構(gòu)造矩陣C，其中C==，以上的數(shù)據(jù)我們可以寫出矩陣C，然后求出最大特征值和其對應的特征向量。將特征向量

9、歸一化，就可以得到，，的值，我們就可以求出排名了。 四、 模型求解 模型一：平均積分法 1、計算結(jié)果如下表所示： 參賽隊 總積分 比賽的場數(shù) 平均分 T1 34 19 1.7895 T2 21 15 1.4000 T3 27 15 1.8000 T4 9 19 0.4737 T5 8 9 0.8889 T6 6 5 1.2000 T7 39 17 2.2941 T8 22 17 1.2941 T9 23 17 1.3529 T10 24 17 1.4118 T11 5 9 0.5556

10、 T12 10 9 1.1111 2、排名結(jié)果： ——————————— 3、模型推廣：對于任意的N隊，通過比賽所得的數(shù)據(jù)，我們都可以按照平均積分進行排序，對于平均積分相同的情況下，可以考慮對凈勝球、總的進球率等等進行排名，如這些因素還是相同的話，只好隨機抽簽對這些水平相當?shù)年犨M行排序。 模型二：圖論 1、 ，得 2、 第二步： 得 3、 從上述1、2我們還是沒有辦法決定和、和的勝負，由抽簽的原則，我們假設敗給了，敗給了，最終完善的矩陣： 4、 從題目中的數(shù)據(jù)以及由模型一可得：和隊實力最強，而和的實力相對最弱。 5、 從程序的運行結(jié)果中選

11、擇以和開頭的哈密頓開路路徑，結(jié)果如下表所示。表格一： 3 7 1 2 9 10 8 6 12 5 11 4 3 7 1 9 10 8 2 6 12 5 11 4 3 7 2 9 10 8 1 6 12 5 11 4 3 7 8 1 2 9 10 6 12 5 11 4 3 7 8 1 9 10 2 6 12 5 11 4 3 7 8 2 9 10 1 6 12 5 11 4 3 7 9 10 8 1 2 6 12 5 11 4

12、 3 7 10 1 2 9 8 6 12 5 11 4 3 7 10 1 9 8 2 6 12 5 11 4 3 7 10 2 9 8 1 6 12 5 11 4 3 7 10 8 1 2 9 6 12 5 11 4 表格二： 7 1 2 9 10 8 3 6 12 5 11 4 7 1 9 10 8 3 2 6 12 5 11 4 7 2 9 10 8 3 1 6 12 5 1

13、1 4 7 8 1 2 9 10 3 6 12 5 11 4 7 8 1 9 10 3 2 6 12 5 11 4 7 8 2 9 10 3 1 6 12 5 11 4 7 8 3 1 2 9 10 6 12 5 11 4 7 8 3 1 9 10 2 6 12 5 11 4 7 8 3 2 9 10 1 6 12 5 11 4 7 8 3 9 10 1 2 6 12 5 11 4 7 9 10 8 3 1 2

14、 6 12 5 11 4 7 10 1 2 9 8 3 6 12 5 11 4 7 10 1 9 8 3 2 6 12 5 11 4 7 10 2 9 8 3 1 6 12 5 11 4 7 10 3 1 2 9 8 6 12 5 11 4 7 10 3 1 9 8 2 6 12 5 11 4 7 10 3 2 9 8 1 6 12 5 11 4 6、對數(shù)據(jù)分析：(1

15、)、從以上兩個表格得出，、、、、一定為最 后五名； (2)、因為和隊實力最強，所以我們參照表格一的結(jié)果，同時，之所以表格一中在之前，只是因為題目中的數(shù)據(jù)中，與比賽時，前者獲勝了，而綜合題目中的數(shù)據(jù)及模型一，后者的實力更強一些，所以后者為冠軍，前者為亞軍。 (3)、對、、、、進行排名：結(jié)合向量對他們排名得———— 7、模型二最終排名： ——————————— 模型三：得分矩陣 1、 比分矩陣： 2、 我們用matlab軟件可以求出B的最大

16、特征值及其對應的特征向量，可以得到矩陣B的最大特征值為12.0000，其對應的特征向量為： 3、所以我們得出各參賽隊的排名結(jié)果為：——————————— 模型四：層次分析 1、我們根據(jù)題目可以得出各參賽隊的平均分，凈球數(shù)，參賽隊贏的場數(shù)與該對比賽的場數(shù)之比。 參賽隊 平均分 凈勝球 贏的場數(shù)與該對比賽的場數(shù)之比 T1 1.7895 8 10/19 T2 1.4000 2 1/3 T3 1.8000 8 8/15 T4 0.4737 -20 1/19 T5 0.8889 -5 2/9 T6 1.2000 -4 2/5 T7 2

17、.2941 25 13/17 T8 1.2941 2 6/17 T9 1.3529 -6 7/17 T10 1.4118 -2 6/17 T11 0.5556 -7 1/9 T12 1.1111 -3 2/9 3、 我們可以寫出矩陣C: 4、 在matlab軟件中，可以求出C的最大特征值為= 3.0092，特征值對應的特征向量為，將其歸一化得向量， 5、 我們看出平均分占的比重比較大，所以，當我們給參賽隊進行排名的時候，我們首先考慮平均分，當平均分差不多的時候，我們再計較贏的場數(shù)與該對比賽的場數(shù)之比。因此，我們得出各參賽隊的排名為：——————

18、————— 五、 模型的優(yōu)缺點分析 模型一：優(yōu)點：計算簡單，操作方便 缺點：有其不可改變的不合理性：在計算比賽得分時沒有考慮對手的強弱。比如，強隊勝強隊得3分，強隊勝弱隊同樣得3分，顯然有一定的不合理性。 模型二：優(yōu)點：從運行結(jié)果中，短時間內(nèi)可以分辨出每一隊大概的實力范圍，將他們分出層次來； 缺點：有程序產(chǎn)生的哈密頓開路路徑比較多，還要一一的對他們分析，造成較大的時間復雜度，同時也會有很大的不合理性，因為哈密頓開路單單依賴是否有一場比賽使得一方打敗另一方，而忽略了整體數(shù)據(jù)對結(jié)果的影響。 模型三：優(yōu)點：能夠比較綜合全面的比較各個分隊的實力水平； 模型

19、四：優(yōu)點：考慮了多個因素對結(jié)果的影響； 缺點：模型中存在人為的主觀因素 六、 模型檢驗 我們采用計算機模擬的方法來進行模型檢驗。具體方法如下：設有n個隊參加比賽，采用隨機函數(shù)在[0,1]區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生n個數(shù)，分別記為，表示這n個球隊的總體實力水平，將這n個數(shù)俺從大到小的順序排列即得到這n各隊的的排名。根據(jù)產(chǎn)生的n個數(shù)可產(chǎn)生一組比賽數(shù)據(jù)，對任意的和，先用隨機函數(shù)產(chǎn)生他們之間的比賽場數(shù)(取值為0，1，2，3中的一個)，還有要注意比賽場數(shù)的選取要保證圖的連通性，即對任意都必須至少和其他球隊有一場比賽。然后，產(chǎn)生比賽數(shù)據(jù)，不妨設強于，我們通過查閱資料得到一場比賽中的結(jié)果的概率經(jīng)驗公式

20、： 以上三式概率分別記為、、。 根據(jù)以上概率算式以可將[0,1]區(qū)間按上述概率大小分別分成三段用來計算機隨機模擬比賽結(jié)果。最后我們來模擬沒遺產(chǎn)比賽的比分，設與的第q場比賽的比分為a：b，則 1) ，即隨機數(shù)X落在[0，]內(nèi)時 , 2) ，即隨機數(shù)X落在[，]內(nèi)時 , 3) 平局，即隨機數(shù)X落在[，1]內(nèi)時 模擬完成后，可以的出任意組的數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行一些簡要的篩選即可選出一些粗數(shù)據(jù)對所建立的模型進行檢驗、分析、評價。 記隨機產(chǎn)生的名次排序為()，通過模型產(chǎn)生的名次排序為()。我們采取的檢驗公式為 顯然E越小表明模型

21、越合理，為了消除隨機因素對模型檢驗的帶來的影響，我們應模擬足夠多的數(shù)據(jù)來進行檢驗，且E區(qū)平均水平。 當您n=12時，由于數(shù)據(jù)量很大，我們只取了5組數(shù)據(jù)進行簡要的檢驗，檢驗結(jié)果如下表。 模型 模型一 模型二 模型三 模型四 E的平均值 4.50 5.43 3.13 4.04 從表中可以看出，模型三E的平均值較小。對于模型的使用條件，我們需要進一步考慮方差等。 七、 參考文獻 [1] 馮杰 黃力偉 王勤 尹成義，數(shù)學建模原理與案例，北京：科學出版社，2007 [2] 王樹禾 數(shù)學模型選講，北京：科學出版社，2008 [3] 陳汝棟 于延榮 數(shù)學模型與數(shù)學建模，北京：國防工業(yè)出版社，2006.1 [4] 陳理榮 崔景泉，數(shù)學建模導論，北京：北京郵電大學出版社，1999.2 10