《橢圓的標準方程》教案

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1、橢圓的標準方程 (說課稿) 各位專家： 您好！我叫陸威，來自江蘇省宿遷中學，今天我說課的課題是“橢圓的標準方程”，下面我從教材分析、教法設計、學法設計、學情分析、教學程序、板書設計和評價設計等七個方面向各位闡述我對本節(jié)課的構思與設計。 一、教材分析 1、地位及作用 圓錐曲線是一個重要的幾何模型，有許多幾何性質，這些性質在日常生活、生產(chǎn)和科學技術中有著廣泛的應用。同時，圓錐曲線也是體現(xiàn)數(shù)形結合思想的重要素材。 推導橢圓的標準方程的方法對雙曲線、拋物線方程的推導具有直接的類比作用，為學習雙曲線、拋物線內容提供了基本模式和理論基礎。因此本節(jié)課具有承前啟后的作用，是本章的重點內容。

2、 2、教學內容與教材處理 橢圓的標準方程共兩課時，第一課時所研究的是橢圓標準方程的建立及其簡單運用，涉及的數(shù)學方法有觀察、比較、歸納、猜想、推理驗證等，我將以課堂教學的組織者、引導者、合作者的身份，組織學生動手實驗、歸納猜想、推理驗證，引導學生逐個突破難點，自主完成問題，使學生通過各種數(shù)學活動，掌握各種數(shù)學基本技能，初步學會從數(shù)學角度去觀察事物和思考問題，產(chǎn)生學習數(shù)學的愿望和興趣。 3、教學目標 根據(jù)教學大綱和學生已有的認知基礎,我將本節(jié)課的教學目標確定如下： 1.知識目標 ①建立直角坐標系，根據(jù)橢圓的定義建立橢圓的標準方程， ②能根據(jù)已知條件求橢圓的標準方程， ③進一步感受曲

3、線方程的概念，了解建立曲線方程的基本方法，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想。 2.能力目標 ①讓學生感知數(shù)學知識與實際生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)解決實際問題的能力， ②培養(yǎng)學生的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力， ③提高運用坐標法解決幾何問題的能力及運算能力。 3.情感目標 ①親身經(jīng)歷橢圓標準方程的獲得過程，感受數(shù)學美的熏陶， ②通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學的理性和嚴謹， ③養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度和契而不舍的鉆研精神，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度。 4、重點難點 基于以上分析，我將本課的教學重點、難點確定為： ①重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的標

4、準方程及其推導方法， ②難點：橢圓的標準方程的推導。 二、教法設計 在教法上，主要采用探究性教學法和啟發(fā)式教學法。以啟發(fā)、引導為主，采用設疑的形式，逐步讓學生進行探究性的學習。探究性學習就是充分利用了青少年學生富有創(chuàng)造性和好奇心，敢想敢為，對新事物具有濃厚的興趣的特點。讓學生根據(jù)教學目標的要求和題目中的已知條件，自覺主動地創(chuàng)造性地去分析問題、討論問題、解決問題。 三、學法設計 通過創(chuàng)設情境，充分調動學生已有的學習經(jīng)驗，讓學生經(jīng)歷“觀察——猜想——證明——應用”的過程，發(fā)現(xiàn)新的知識，把學生的潛意識狀態(tài)的好奇心變?yōu)樽杂X求知的創(chuàng)新意識。又通過實際操作，使剛產(chǎn)生的數(shù)學知識得到完善，提高了學生

5、動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質。 四、學情分析 1.能力分析 ①學生已初步掌握用坐標法研究直線和圓的方程， ②對含有兩個根式方程的化簡能力薄弱。 2.認知分析 ①學生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟， ②學生已經(jīng)掌握直線和圓的方程及圓錐曲線的概念，對曲線的方程的概念有一定的了解， ③學生已經(jīng)初步掌握研究直線和圓的基本方法。 3.情感分析 學生具有積極的學習態(tài)度，強烈的探究欲望，能主動參與研究。 五、教學程序 從建構主義的角度來看，數(shù)學學習是指學生自己建構數(shù)學知識的活動，在數(shù)學活動過程中，學生與教材及教師產(chǎn)生交互作用，形成了數(shù)學知識、技能和能力，發(fā)展了情感態(tài)度和思

6、維品質?；谶@一理論，我把這一節(jié)課的教學程序分成六個步驟來進行，下面我向各位作詳細說明： 教 學 過 程 設 計 意 圖 1. 創(chuàng)設問題情境： 情境1 請同學們舉出生活中橢圓形物體的實例 （展示一些橢圓形物體圖片） 情境2 宿遷中學校園內一些橢圓形小花壇 （展示自拍圖片） 問題1 施工時工人師傅是怎樣砌建小花壇的？ （復習橢圓定義，動畫演示） 問題2 宿遷中學新校區(qū)綠化、美化工作正在進行，準備在一塊長10米、寬6米的矩形空地上建造一個橢圓形花園，要盡可能多地利用這塊空地，請問：如何畫這個花園的

7、邊界線？ （動畫演示，書寫課題） 問題情境的創(chuàng)設應有利于激發(fā)學生的求知欲。為了復習橢圓的定義，我設計如下兩個學生熟悉的情境： 通過情境1，讓學生感受到橢圓的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天體的運行軌道。 通過情境2和問題1，讓學生主動思考如何畫橢圓及橢圓的定義。 通過問題2，要求學生以小組為單位進行實驗、觀察、歸納、猜想、概括，激發(fā)學生探索的欲望和濃厚的學習興趣，使學生的主體地位得到體現(xiàn)。 2. 探求橢圓方程 回顧圓的方程的建立過程，首先是做什么？

8、 （提問學生） 如何選擇適當?shù)淖鴺讼祦斫E圓的方程呢？ （學生回答） 在學生復習圓的方程的建立過程的基礎上，讓學生討論思考如何選擇適當?shù)淖鴺讼祦斫E圓的方程，我想學生通過這些活動能夠建立幾種常見的坐標系，并列出相應的代數(shù)方程。我認為這樣有利于培養(yǎng)學生的動手實驗，分析比較，相互協(xié)作等能力。讓學生體驗到知識的產(chǎn)生過程。 x y O F1 F2 M 圖1 在不同建系下，列出關于x，y的等式。它們都含有兩個根式，如何化簡這種方程？（學生思考回答，師生共同比較選擇） x y

9、 O 圖2 由于化簡兩個根式的方程的方法特殊，難度較大，估計學生容易想到直接平方，這時可讓學生預測這樣化簡的難度，從而確定移項平方可以簡化計算。為此，我首先啟發(fā)學生如何去掉根號較好，讓學生動手比較，最后得出移項平方化簡方程比較簡單，這樣有利于培養(yǎng)學生的分析比較能力。 法一 以兩定點F1、F2所在直線為軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系（如圖1）． 設為橢圓上的任意一點，設MF1+MF2=m，F(xiàn)1F2=n，（m >n>0） 則、． 移項后 再平方 由MF1+MF2=m得 移項得 x y O F1 F2 M 圖1 平方得

10、 整理得 再平方得 再整理得 所以 即 令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程化簡可得 在比較如何化簡方程簡單后，我選擇放手讓學生化簡，讓學生體驗化簡方程的艱辛，經(jīng)受鍛煉，嘗試成功，提高學生參與教學過程的積極性。 為了讓學生明白設常數(shù)2a、2c的合理性。我選擇首先設常數(shù)m,n，然后以2a,2c替換，其目的是讓學生體會到設2a,2c的合理性。 結合圖形，找出方程中a、c對應的線段． x y O F1 F

11、2 M c a 如圖，OF2=c，MF2=a， a與c可以看成Rt△MOF2的斜邊和直角邊．那么a2-c2就是另一直角邊的平方，因此我們令b2=a2-c2（b>0）， 則方程變?yōu)椋╝＞b＞0） 由上述過程可知，橢圓上的點的坐標(x,y)都滿足上面 這個方程；滿足這個方程的點(x,y)都在已知的橢圓上。 所以，這個方程就是所求得橢圓的方程. x y O 圖2 法二 以兩定點F1、F2所在直線為x軸，F(xiàn)1為原點，建立直角坐標系（如圖2）． 設為橢圓上的任意一點，設MF1 + MF2 =m, F1F2=n，m>n>0，則、． 由MF1+MF2=m得 類似第一種方法,

12、移項后平方，整理可得 再平方，整理可得 所以 即 令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程為 x y O F1 F2 M x y O F1 F2 M 令b2=a2-c2（b>0），則方程變?yōu)? 通過比較可知，方程（a＞b＞0）更簡潔。 把方程叫做橢圓的標準方程。 總結推導橢圓的標準方程的步驟： 曲線相對于坐標軸有較多的對稱性 （1）建系——建立適當?shù)淖鴺讼? （2）設點 移項后 再平方 （3）列式 （4）化簡 O F1 F2 x

13、y M （5）證明 如果橢圓豎起放置，怎樣建系？ 建立如圖所示的直角坐標系，類似于剛才的推導過程可得橢圓的方程，過程留給同學們課后完成。 讓學生猜想結論：（a＞b＞0），并說明理由。 教師從另一角度分析：得到方程的原始等式為 而焦點在y軸上時，由MF1+MF2=2a得 對比這兩個等式，能發(fā)現(xiàn)什么結論？ 互換x，y 因此，焦點在y軸上的橢圓的方程為 由于這兩種形式的方程都很簡單，因此我們把這兩種方程都叫橢圓的標準方程（其中b2=a2-c2） 3. 標準方程比較 （1）相同點 ①方程中x，y表示橢圓上任意一點的坐標； ②關于x，y的二元二次方程； ③方程右邊是

14、常數(shù)1，左邊是平方和的形式； ④a是橢圓上的點到兩焦點距離和的一半，b2＝a2-c2，c是焦距的一半； a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b與c大小不定 ⑤焦點位置的判定：焦點在較大分母對應的變量的坐標軸上 （2）不同點 O F1 F2 x y M A1 x y O F1 F2 M A1 A2 B1 B2 A2 B1 B2 標準方程 互換x，y 圖 形 焦點坐標 F1(-c,0），F(xiàn)2(c,0） F1(0,c），F(xiàn)2(0,-c） 與坐標軸交點 A1（

15、-a，0） A2（a，0） B1（0，-b） B2（0，b） A1（0，a） A2（0，-a） B1（-b，0） B2（b，0） 4.初步運用知識 （1）若橢圓的焦距為8，a=5，那么它的標準方程是 （或） （2）已知橢圓的方程為，則 a＝___，b＝___，c＝___，焦點坐標為 ，與坐標軸交點坐標為 ，焦距等于 ；如果點P為該橢圓上一點，則PF1+PF2＝__ __（ F1，F(xiàn)2為焦點）. ( 總結： 定位 、 定量 待定系數(shù)法 ) 這里我選擇設b2=a2

16、-c2（b>0）其作用是 首先美化方程：使方程簡潔美、對稱美、和諧美， 其次使b具有明顯的幾何意義：原點與橢圓和y軸的交點之間的線段長。 通過這兩種方法所得到的橢圓方程的比較，讓學生在比較中體會哪種方程更能反映橢圓的對稱美，從而引出橢圓的標準方程。 在得到橢圓的標準方程之后，我和學生共同總結推倒橢圓標準方程的步驟，其目的是進一步強化求曲線方程的一般步驟，同時也讓學生享受成功

17、的喜悅。 對于焦點在y軸上的橢圓的標準方程的建立，我選擇讓學生在比較、分析、猜想得到。 在得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程過程中，考慮到學生對這一標準方程可能有懷疑的情緒，我選擇引導學生回到建立方程的起始，讓學生對比分析原來兩個方程只是交換兩個變量。 5.課堂小結 1.推導橢圓的標準方程 2. 橢圓兩種標準方程的比較 3橢圓的標準方程的基本求法及應用 4.自主探索，合作交流 （總結本課學習內容及學習方式） 為了讓學生建構自己的知識體系，我讓學生自己概括所學的內容。我認為這樣既能培養(yǎng)了學

18、生的概括能力，又能營造民主和諧的師生關系。 6.課后作業(yè)布置 1.基礎訓練題：課本P28 1. 2. 2.動手操作題：課本P29 7（或用幾何畫板探求） 3.課后思考題：有關資料顯示：“神舟六號”飛船的運行軌道是以地球的中心F2位一個焦點的橢圓。已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面200公里，遠地點B (離地面最遠的點) 距地面347公里，并且在F2、A、B同一直線上，地球半徑約為6371km。你能計算出“神舟六號”飛船的軌道方程嗎? (精確到0.01 km)

19、 （動畫模擬演示） 為了進一步鞏固橢圓的標準方程，我布置如下作業(yè)： 六、板書設計 2.2.1 橢圓的標準方程（一） 一、橢圓的兩個標準方程 二、求曲線方程的基本步驟 三、初步嘗試 我選擇這樣的板書設計，其目的是讓學生清楚的認識到本節(jié)課的重要內容。 七、評價設計 1、在“橢圓的標準方程”的引入與推導中，充分利用教具演示，并運用“實驗——猜想——推導——應用”的思想方法，逐步由感性到理性地認識定理。我認為這樣安排符合學生的認識規(guī)律，揭示了知識的發(fā)生、發(fā)展過程；也符合現(xiàn)代教育理論中的“要把學生學習知識當作

20、認識事物的過程來進行教學”的觀點。 2、在教學的過程中始終本著“教師是課堂教學的組織者、引導者、合作者”的原則，讓學生通過實驗、觀察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等過程建構新知識，并初步學會從數(shù)學的角度去觀察事物和思考問題，產(chǎn)生學習數(shù)學的濃厚興趣。 3、在創(chuàng)設情境、推導橢圓的標準方程的過程中，培養(yǎng)學生的實驗、歸納能力，在辨析幾種建系方法所得到方程的繁簡，比較兩個標準方程的特點過程中培養(yǎng)學生的分析、判別能力，在運用標準方程中，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力；另外，通過學法指導，引導學生思維向更深更廣發(fā)展，以培養(yǎng)學生良好的思維品質，并為以后進一步學習雙曲線和拋物線作好輔墊。 以上是我對橢圓的標準方程的第一課時的構思與設計，歡迎各位專家批評指正。 謝謝！ ８