電大《數(shù)學(xué)思想方法》練習(xí)卷(含答案)參考小抄

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1、專業(yè)好文檔 《數(shù)學(xué)思想方法》練習(xí)卷 班別： 姓名： 學(xué)號(hào)： 得分：____ 1．某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)一共出了10道題，評(píng)分方法如下：每答對(duì)一題得4分，不答題得0分，答錯(cuò)一題倒扣1分，每個(gè)考生預(yù)先給10分作為基礎(chǔ)分。問(wèn)：此次測(cè)驗(yàn)至多有多少種不同的分?jǐn)?shù)？ 2．一支隊(duì)伍的人數(shù)是5的倍數(shù)，且超過(guò)1000人。若按每排4人編隊(duì)，則最后差3人；若 按每排3人編隊(duì)，則最后差2人；若按每排2人編隊(duì)，則最后差1人。問(wèn)：這支隊(duì)伍至少有多少人？ 3．在八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)上是否可以分別記上數(shù)1，2，…，8，使得任意三個(gè)相鄰的頂點(diǎn)上的數(shù)的和

2、大于13？ 4．有一個(gè)1000位的數(shù)，它由888個(gè)1和112個(gè)0組成，這個(gè)數(shù)是否可能是一個(gè)平方數(shù)？ 5．如下圖，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，且邊長(zhǎng)均為2cm。又E點(diǎn)是正方形 ABCD的中心，求兩個(gè)正方形公共部分（圖中陰影部分）的面積S。 6．是否在平面上存在這樣的40條直線，它們共有365個(gè)交點(diǎn)？ 7．如右圖，正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處標(biāo)注的數(shù)字為a，b，c，d，e， 　　求（a+b+c+d）-（e+f+g+h）的值。 8．將n2個(gè)互不相等的數(shù)排成下表： a11　 a12　a13　… a1n a21 　

3、a22　a23　… a2n an1　an2　an3　… ann 　　先取每行的最大數(shù)，得到n個(gè)數(shù)，其中最小數(shù)為x；再取每列的最小數(shù)，也得到n個(gè)數(shù)，其中最大數(shù)為y。試比較x和y的大小。 9．將10到40之間的質(zhì)數(shù)填入下圖的圓圈中，使得3組由“→”所連的4個(gè)數(shù)的和相等，如果把和數(shù)相等的填法看做同一類填法，請(qǐng)說(shuō)明一共有多少類填法？并畫(huà)圖表示你的填法。 10．有四個(gè)互不相等的數(shù)，取其中兩個(gè)數(shù)相加，可以得到六個(gè)和：24，28，30，32，34，38。求此四數(shù)。 11．互不相等的12個(gè)自然數(shù)，它們均小于36。有人說(shuō)，在這些自然數(shù)兩兩相減（大減?。┧?/p>

4、得到的差中，至少有3個(gè)相等。你認(rèn)為這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？ 12．有8個(gè)重量各不相同的物品，每個(gè)物品的重量都是整克數(shù)且都不超過(guò)15克。小平想以最少的次數(shù)用天平稱出其中最重的物品。他用了如下的測(cè)定法： 　?。?）把8個(gè)物品分成2組，每組4個(gè)，比較這2組的輕重； 　　（2）把以上2組中較重的4個(gè)再分成2組，即每組2個(gè)，再比較它們的輕重； 　?。?）把以上2組中較重的分成各1個(gè)，取出較重的1個(gè)。 　　小平稱了3次天平都沒(méi)有平衡，最后便得到一個(gè)物品。 　　可是實(shí)際上得到的是這8個(gè)物品當(dāng)中從重到輕排在第5的物品。 　　問(wèn)：小平找出的這個(gè)物品有多重？并求出第二輕的物品重多少克？

5、 13.育才小學(xué)40名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，用15分記分制（即分?jǐn)?shù)為0，1，2，…，15）。全班總分為209分，且相同分?jǐn)?shù)的學(xué)生不超過(guò)5人。試說(shuō)明得分超過(guò)12分的學(xué)生至多有9人。 14.今有一角紙幣、二角紙幣、五角紙幣各1張，一元幣4張，五元幣2張，用這些紙幣任意付款，一共可以付出多少種不同數(shù)額的款項(xiàng)？ 15.求在8和98之間（不包括8和98），分母為3的所有最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的和。 16.如右圖，四邊形ABCD的面積為3，E，F(xiàn)為邊AB的三等分點(diǎn)，M，N是CD邊上的三等分點(diǎn)。求四邊形EFNM的面積。 17.直線上分布著1998個(gè)點(diǎn)，我們

6、標(biāo)出以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的一切可能線段的中點(diǎn)。問(wèn)：至少可以得到多少個(gè)互不重合的中點(diǎn)？ 18.假定100個(gè)人中的每一個(gè)人都知道一個(gè)消息，而且這100個(gè)消息都不相同。為了使所有的人都知道一切消息，他們一共至少要打多少個(gè)電話？ 19.有4個(gè)互不相等的自然數(shù)，將它們兩兩相加，可以得到6個(gè)不同的和，其中較小的4個(gè)和是64，66，68，70。求這4個(gè)數(shù)。 20.有五個(gè)砝碼，其中任何四個(gè)砝碼都可以分成重量相等的兩組。問(wèn)：這五個(gè)砝碼的重量相等嗎？為什么？ 《數(shù)學(xué)思想方法》練習(xí)卷答案 1．解：最高的得分為50分，最低的得

7、分為0分。在從0分到50分這51個(gè)分?jǐn)?shù)中，有49，48，47，44，43，39這6種分?jǐn)?shù)是不能達(dá)到的，故此次測(cè)驗(yàn)不同的分?jǐn)?shù)至多有51-6=45（種）。 2．分析：從條件的反面來(lái)考慮，可理解為“若按每排4人編隊(duì)，則最后多1人”。按3人、2人排隊(duì)都可理解為多1人。即總?cè)藬?shù)被12除余1。這樣一來(lái)，原題就化為：一個(gè)5的倍數(shù)大于1000，且它被12除余1。問(wèn)：這個(gè)數(shù)最小是多少？解：是5的倍數(shù)且除以12余1的最小自然數(shù)是25。因人數(shù)超過(guò)1000，[3，4，5]=60，最少有25+6017=1045（人）。 3．解：將八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)依次記為a1，a2，a3，…，a8，則有S=a1+a2+a3+…

8、+a8=1+2+3+…+8=36。　假設(shè)任意3個(gè)相鄰頂點(diǎn)上的數(shù)都大于13，因?yàn)轫旤c(diǎn)上的數(shù)都是整數(shù)，所以　　a1+a2+a3≥14；　　a2+a3+a4≥14；　……　a7+a8+a1≥14；a8+a1+a2≥14。 　將以上 8個(gè)不等式相加，得3S≥112，從而 S＞ 37，這與S=36矛盾。故結(jié)論是否定的。 4．解：假設(shè)這個(gè)數(shù)為A，它是自然數(shù)a的平方?！∫?yàn)锳的各位數(shù)字之和888是3的倍數(shù)，所以a也應(yīng)是3的倍數(shù)。于是a的平方是9的倍數(shù)，但888不是9的倍數(shù)，這樣就產(chǎn)生了矛盾，從而A不可能是平方數(shù)。 5.分析：我們先考慮正方形EFGH的特殊位置，即它的各邊與正方形ABCD

9、的各邊對(duì)應(yīng)平行的情況（見(jiàn)上圖）。此時(shí)，顯然有 得答案后，這個(gè)問(wèn)題還得回到一般情況下去解決，解決的方法是將一般情況變成特殊情況。 解：自E向AB和AD分別作垂線EN和EM（右圖），則有S=S△PME+S四邊形AMEQ 又S△PME=S△EQN，故S=S△EQN+S四邊形AMEQ =S正方形AMEN=1　 6. 分析與解：先考慮一種特殊的圖形：圍棋盤(pán)。它有38條直線、361個(gè)交點(diǎn)。我們就從這種特殊的圖形出發(fā)，然后進(jìn)行局部的調(diào)整。 　　先加上2條對(duì)角線，這樣就有40條直線了，但交點(diǎn)仍然是361個(gè)。再將最右邊的1條直線向右平移1段，正好增加了4個(gè)交點(diǎn)（見(jiàn)上圖）。于是，我們就得到了有3

10、65個(gè)交點(diǎn)的40條直線。 7. 分析：從這8個(gè)數(shù)都相等的特殊情況入手，它們滿足題目條件，從而得所求值為0。這就啟發(fā)我們?nèi)フf(shuō)明a+b+c+d=e+f+g+h。 解：由已知得　　3a=b+e+d，3b=a+c+f，　　3c=b+d+g，3d=a+c+h， 　　推知　　3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h，　　a+b+c+d=e+f+g+h， 　?。╝+b+c+d）-（e+f+g+h）=0。 8. 分析：先討論n=3的情況，任取兩表：　　1 　3　7　　1　2　3 　 　2　5　6　 　4　5　6 　

11、 　8　9　4　 　7　8　9 　　左上表中x=6，y=4；右上表中x=3，y=3。兩個(gè)表都滿足x≥y，所以可以猜想x≥y。 解：設(shè)x是第i行第j列的數(shù)aij，y是第l行第m列的數(shù)alm?？紤]x所在的行與y所在的列交叉的那個(gè)數(shù)，即第i行第m列的數(shù)aim。顯然有aij≥aim≥alm，當(dāng)i=l，j=m時(shí)等號(hào)成立，所以x≥y。 9. 解：10到40之間的8個(gè)質(zhì)數(shù)是　　11，13，17，19，23，29，31，37。 　　根據(jù)題目要求，除去最左邊和最右邊的2個(gè)質(zhì)數(shù)之外，剩下的6個(gè)質(zhì)數(shù)在同一行的2個(gè)質(zhì)數(shù)的和應(yīng)分別相等，等于這6個(gè)數(shù)中最小數(shù)（記為a）與最大數(shù)（記為b）之和a+b。根據(jù)

12、a，b的大小可分為6種情況：　　當(dāng)a=11，b=29時(shí)，無(wú)解； 　　當(dāng)a=11，b=31時(shí)，有11+31=13+29=19+23，得到如下填法： 　　當(dāng)a=11，b=37時(shí)，有11+37=17+31=19+29，得到如下填法： 　　當(dāng)a=13，b=31時(shí)，無(wú)解；　當(dāng)a=13， b=37時(shí)，無(wú)解；　當(dāng)a=17，b=37時(shí)，無(wú)解。 　　所以，共有2類填法。 10. 解：設(shè)四個(gè)數(shù)為a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，則六個(gè)和為a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d，其中a+b最小，a+c次小，c+d最大，b+d次大，a+d與b+c位第三和第四。 　　得 11.　解：設(shè)這12個(gè)自然

13、數(shù)從小到大依次為a1，a2，a3，…，a12，且它們兩兩相減最多只有2個(gè)差相等，那么差為1，2，3，4，5的都最多只有2個(gè)。從而 　　a12-a11，a11-a10，a10-a9，…，a2-a1， 　 　這11個(gè)差之和至少為2（1+2+3+4+5）+6=36， 　 但這11個(gè)差之和等于a12-a1＜36。這一矛盾說(shuō)明，兩兩相減的差中，至少有3個(gè)相等。 　12.　解：設(shè)這8個(gè)物品的重量依次排列為：　15≥a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＞a7＞a8≥1。 　　 小平找出的這個(gè)物品重量為a5，第二輕的物品重量為a7。 　　 由于a5加上一個(gè)比它輕的物品不可能大于兩個(gè)比a5重的

14、物品重量之和，因而第一次必須篩去3個(gè)比a5重的物品?！　∵@樣就有以下四種可能： 　　　　 　　 先考慮第一種情況。根據(jù)①式，a4比a1至少輕3克，a5比a2，a6比a3也都至少輕3克，則a7比a8至少重 10克。根據(jù)②式，a5比a4至少輕1克，則a6比a7至少重 18克。與已知矛盾，第一種情況不可能出現(xiàn)。按同樣的方法，可以說(shuō)明第二種和第三種情況也不可能出現(xiàn)。　　 最后，考慮第四種情況。a1比a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少輕1克，則a7比a8至少重4克。根據(jù)④式，a5比a4至少輕4克，則a6比a7至少重5克。這樣得到的

15、這8個(gè)物品的重量分別為：a1=15克， a2=14克， a3=13克， a4=12克，a5=11克，a6=10克，a7=5克，a8=1克。小平找出的這個(gè)物品重11克，第二輕的物品重5克。 　13.若得分超過(guò)12分的學(xué)生至少有10人，則全班的總分至少有 5（12+13）+5（0+1+2+3+4+5）=210（分）， 　　大于條件209分，產(chǎn)生了矛盾，故得分超過(guò)12分的學(xué)生至多有9人。 　14.解：從最低幣值1角到最高幣值14元8角，共148個(gè)不同的幣值。再?gòu)闹刑蕹切┎荒苡蛇@些紙幣構(gòu)成的幣值。經(jīng)計(jì)算，應(yīng)該剔除的幣值為（i+0.4）元（i=0，1，2，…，14）及（j+0.9）元（j=1，

16、2，3，…，13），一共29種幣值。所以，一共可以付出148-29=119（種）不同的幣值?！　? 15.　 =2（8+9+…+97）+（97-8+1）=9540。 　16.解：先考慮ABCD是長(zhǎng)方形的特殊情況，此時(shí)EFNM的面積是1。 下面就一般情況求解。 　　連結(jié)AC，AM，F(xiàn)M，CF，則 　　 　　　 　17.解：為了使計(jì)算互不重復(fù)，我們?nèi)【嚯x最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)A，B。先計(jì)算以A為左端點(diǎn)的所有線段，除B外有1996條，這些線段的中點(diǎn)有1996個(gè)，它們互不重合，且到點(diǎn)A的距離小于AB長(zhǎng)度的一半。　同樣，以B為右端點(diǎn)的所有線段，除A外有1996條，這些線段的中點(diǎn)有1996個(gè)，它們互

17、不重合，且到點(diǎn)A的距離小于AB長(zhǎng)度的一半?！　∵@兩類中點(diǎn)不會(huì)重合，加上AB的中點(diǎn)共有1996+1996+1=3993（個(gè)），即互不重合的中點(diǎn)不少于3993個(gè)。另一方面，當(dāng)這1998個(gè)點(diǎn)中每?jī)蓚€(gè)相鄰點(diǎn)的間隔都相等時(shí)，不重合的中點(diǎn)數(shù)恰為3993。這說(shuō)明，互不重合的中點(diǎn)數(shù)至少為3993個(gè)。 　18.　解：考慮特殊的通話過(guò)程：先由99人每人打一個(gè)電話給A，A再給99人每人打一個(gè)電話，這樣一共打了198個(gè)電話，而且每人都知道了所有的消息。下面說(shuō)明這是次數(shù)最少的?？紤]一種能使所有人知道一切消息的通話過(guò)程中的關(guān)鍵性的一次通話，這次通話后，有一個(gè)接話人A知道了所有的消息，而在此之前還沒(méi)有人知道所有的消息?！?/p>

18、　除了A以外的99人每人在這個(gè)關(guān)鍵性的通話前，須打出電話一次，否則A不可能知道所有的消息；又這99人每人在這個(gè)關(guān)鍵性的通話后，又至少收到一個(gè)電話，否則它們不可能知道所有的消息。 　19.　　解：設(shè)4個(gè)數(shù)為a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，則6個(gè)和為a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d。于是有　　a+b＜a+c＜a+d＜b+d＜c+d　　和a+b＜a+c＜b+c＜b+d＜c+d。 得 　　 　20.　　解：去掉e，則有a+d=b+c； ①　　去掉d，則有a+e=b+c。 ②　　比較①②，得d=e。去掉a，則有b+e=c+b； ③　　去掉b，則有a+e=c+d。

19、④　　比較③④，得a=b。 將a=b代入①得c=d，將d=e代入④得b=c。所以e=b=c=d=e。 《數(shù)學(xué)思想方法》測(cè)驗(yàn)卷(2) 班別： 姓名： 學(xué)號(hào)： 得分：___ 1. 兩人坐在一張長(zhǎng)方形桌子旁，相繼輪流在桌子上放入同樣大小的硬幣。條件是硬幣一定要平放在桌子上，后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上，直到桌子上再也放不下一枚硬幣為止。誰(shuí)放入了最后一枚硬幣誰(shuí)獲勝。問(wèn)：先放的人有沒(méi)有必定取勝的策略？ 2．線段AB上有1998個(gè)點(diǎn)（包括A，B兩點(diǎn)），將點(diǎn)A染成紅色

20、，點(diǎn)B染成藍(lán)色，其余 各點(diǎn)染成紅色或藍(lán)色。這時(shí)，圖中共有1997條互不重疊的線段。問(wèn)：兩個(gè)端點(diǎn)顏色相異的小線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？ 3．1000個(gè)學(xué)生坐成一圈，依次編號(hào)為1，2，3，…，1000。現(xiàn)在進(jìn)行1，2報(bào)數(shù)：1號(hào)學(xué)生報(bào)1后立即離開(kāi)，2號(hào)學(xué)生報(bào)2并留下，3號(hào)學(xué)生報(bào)1后立即離開(kāi)，4號(hào)學(xué)生報(bào)2并留下……學(xué)生們依次交替報(bào)1或2，凡報(bào)1的學(xué)生立即離開(kāi)，報(bào)2的學(xué)生留下，如此進(jìn)行下去，直到最后還剩下一個(gè)人。問(wèn)：這個(gè)學(xué)生的編號(hào)是幾號(hào)？ 4．在66的正方形網(wǎng)格中，把部分小方格涂成紅色。然后任意劃掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1個(gè)是紅色的。那么，總共至少要

21、涂紅多少小方格？ 5．新上任的宿舍管理員拿著20把鑰匙去開(kāi)20個(gè)房間的門(mén)，他知道每把鑰匙只能打開(kāi)其中的一個(gè)門(mén)，但不知道哪一把鑰匙開(kāi)哪一個(gè)門(mén)，現(xiàn)在要打開(kāi)所有關(guān)閉的20個(gè)門(mén)，他最多要開(kāi)多少次？ 6．有n名（n≥3）選手參加的一次乒乓球循環(huán)賽中，沒(méi)有一個(gè)全勝的。問(wèn)：是否能夠找到三名選手A，B，C，使得A勝B，B勝C，C勝A？ 7．n（n≥3）名乒乓球選手單打比賽若干場(chǎng)后，任意兩個(gè)選手已賽過(guò)的對(duì)手恰好都不完全相同。試證明，總可以從中去掉一名選手，而使余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過(guò)的對(duì)手仍然都不完全相同。 　　 8．右圖是一個(gè)44的表格

22、，每個(gè)方格中填入了數(shù)字0或1。按下列規(guī)則進(jìn)行“操作”：每次可以同時(shí)改變某一行的數(shù)字：1變成0，0變成1。 問(wèn)：能否通過(guò)若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1？ 9．有三堆石子，每堆分別有1998，998，98?！，F(xiàn)在對(duì)這三堆石子進(jìn)行如下的“操作”：每次允許從每堆中各拿掉一個(gè)或相同個(gè)數(shù)的石子，或從任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式進(jìn)行“操作”，能否把這三堆石子都取光？如行，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案；如不行，請(qǐng)說(shuō)明理由。 10．我們將若干個(gè)數(shù)x，y，z，…的最大值和最小值分別記為max（x，y，z，…）和min（x，y，z，…）。已知：a+b+c+d+

23、e+f+g=1，求min[max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）] 11.方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn一定有一個(gè)自然數(shù)解嗎？為什么？ 12.連續(xù)自然數(shù)1，2，3，…，8899排成一列。從1開(kāi)始，留1劃掉2和3，留4劃掉5和6……這么轉(zhuǎn)圈劃下去，最后留下的是哪個(gè)數(shù)？ 13.給出一個(gè)自然數(shù)n，n的約數(shù)的個(gè)數(shù)用一個(gè)記號(hào)A（n）來(lái)表示。例如當(dāng)n=6時(shí)，因?yàn)?的約數(shù)有1，2，3，6四個(gè)，所以A（6）=4。已知a1，a2，…，a10是 10個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)，又x為a1，a2，…，a10的積，求

24、A（x）。 14.在一塊平地上站著5個(gè)小朋友，每?jī)蓚€(gè)小朋友之間的距離都不相同，每個(gè)小朋友手上都拿著一把水槍。當(dāng)發(fā)出射擊的命令后，每人用槍射擊距離他最近的人。問(wèn)：射擊后有沒(méi)有一個(gè)小朋友身上是干的？為什么？ 15.把1600?；ㄉ纸o100只猴子，請(qǐng)說(shuō)明不管怎樣分，至少有4只猴子分的花生一樣多。 16.有兩只桶和一只空杯子。甲桶裝的是牛奶，乙桶裝的是酒精（未滿）?，F(xiàn)在從甲桶取一滿杯奶倒入乙桶，然后從乙桶取一滿杯混合液倒入甲桶，這時(shí)，是甲桶中的酒精多，還是乙桶中的牛奶多？為什么？ 17.在黑板上寫(xiě)上1，2，3，…，1998。按下列規(guī)定進(jìn)

25、行“操作”：每次擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)a和b，然后寫(xiě)上它們的差（大減?。?，直到黑板上剩下一個(gè)數(shù)為止。問(wèn)：黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？ 答案: 1．分析與解：如果桌子大小只能容納一枚硬幣，那么先放的人當(dāng)然能夠取勝。然后設(shè)想桌面變大，注意到長(zhǎng)方形有一個(gè)對(duì)稱中心，先放者將第一枚硬幣放在桌子的中心，繼而把硬幣放在后放者所放位置的對(duì)稱位置上，這樣進(jìn)行下去，必然輪到先放者放最后一枚硬幣。 2．分析：從最簡(jiǎn)單的情況考慮：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線段只有1條，是一個(gè)奇數(shù)。然后我們對(duì)這種染色方式進(jìn)行調(diào)整：將某些紅點(diǎn)改成藍(lán)點(diǎn)并注意到顏色調(diào)整時(shí)，異色線段的條

26、數(shù)隨之有哪些變化。由于顏色的調(diào)整是任意的，因此與條件中染色的任意性就一致了。 　　解：如果中間的1996個(gè)點(diǎn)全部染成紅色，這時(shí)異色線段僅有1條，是一個(gè)奇數(shù)。將任意一個(gè)紅點(diǎn)染成藍(lán)色時(shí)，這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若同色，則異色小線段的條數(shù)或者增加2條（相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為紅色），或者減少2條（相鄰的兩個(gè)點(diǎn)同為藍(lán)色）；這個(gè)改變顏色的點(diǎn)的左右兩側(cè)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)若異色，則異色小線段的條數(shù)不變。 　　綜上所述，改變?nèi)我鈧€(gè)點(diǎn)的顏色，異色線段的條數(shù)的改變總是一個(gè)偶數(shù)，從而異色線段的條數(shù)是一個(gè)奇數(shù)。 3．分析：這個(gè)問(wèn)題與上一講練習(xí)中的第8題非常相似，只不過(guò)本例是報(bào)1的離開(kāi)報(bào)2的留下，而上講練習(xí)中相當(dāng)

27、于報(bào)1的留下報(bào)2的離開(kāi)，由上講練習(xí)的結(jié)果可以推出本例的答案。本例中編號(hào)為1的學(xué)生離開(kāi)后還剩999人，此時(shí)，如果原來(lái)報(bào)2的全部改報(bào)1并留下，原來(lái)報(bào)1的全部改報(bào)2并離開(kāi)，那么，問(wèn)題就與上講練習(xí)第8題完全一樣了。因?yàn)槭Ｏ?99人時(shí)，第1人是2號(hào)，所以最后剩下的人的號(hào)碼應(yīng)比上講練習(xí)中的大1，是975＋1=976（號(hào)）。 　　為了加深理解，我們重新解這道題。 　　解：如果有2n個(gè)人，那么報(bào)完第1圈后，剩下的是2的倍數(shù)號(hào)；報(bào)完第2圈后，剩下的是22的倍數(shù)號(hào)……報(bào)完第n圈后，剩下的是2n的倍數(shù)號(hào)，此時(shí)，只剩下一人，是2n號(hào)。 　　如果有（2n＋d）（1≤d＜2n）人，那么當(dāng)有d人退出圈子后還剩下2n人

28、。因?yàn)橄乱粋€(gè)該退出去的是（2d＋1）號(hào)，所以此時(shí)的第（2d＋1）號(hào)相當(dāng)于2n人時(shí)的第1號(hào)，而2d號(hào)相當(dāng)于2n人時(shí)的第2n號(hào)，所以最后剩下的是第2d號(hào)。 　　由1000=29＋488知，最后剩下的學(xué)生的編號(hào)是 　　4882=976（號(hào)）。 4．分析與解：先考慮每行每列都有一格涂紅，比較方便的涂法是在一條對(duì)角線上涂6格紅色的，如圖1。 　　任意劃掉3行3列，可以設(shè)想劃行劃列的原則是：每次劃掉紅格的個(gè)數(shù)越多越好。對(duì)于圖1，劃掉3行去掉3個(gè)紅格，還有3個(gè)紅格恰在3列中，再劃掉3列就不存在紅格了。 　　所以，必然有一些行有一些列要涂2個(gè)紅格，為了盡可能地少涂紅格，那么每涂一格紅色的，一定要

29、使多出一行同時(shí)也多出一列有兩格紅色的。 　　先考慮有3行中有2格涂紅，如圖2。顯然，同時(shí)也必然有3個(gè)列中也有2格涂紅。這時(shí)，我們可以先劃掉有2格紅色的3行，還剩下3行，每行上只有一格涂紅，每列上也只有一格涂紅，那么在劃掉帶紅格的3列就沒(méi)有紅格了。 　　為了使得至少余下一個(gè)紅格，只要再涂一格。此紅格要使圖中再增加一行和一列有兩個(gè)紅格的，如圖3。 結(jié)論是：至少需要涂紅10個(gè)方格。 5. 解：從最不利的極端情況考慮：打開(kāi)第一個(gè)房間要20次，打開(kāi)第二個(gè)房間需要19次……共計(jì)最多要開(kāi) 　　20＋19＋18＋…＋1=210（次）。 6. 解：從極端情況觀察入手，設(shè)B是勝的次數(shù)最多的一個(gè)選手，但

30、因B沒(méi)獲全勝，故必有選手A勝B。在敗給B的選手中，一定有一個(gè)勝A的選手C，否則，A勝的次數(shù)就比B多一次了，這與B是勝的次數(shù)最多的矛盾。 　　所以，一定能夠找到三名選手A，B，C，使得A勝B，B勝C，C勝A。 7. 證明：如果去掉選手H，能使余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過(guò)的對(duì)手仍然都不完全相同，那么我們稱H為可去選手。我們的問(wèn)題就是要證明存在可去選手。 　　設(shè)A是已賽過(guò)對(duì)手最多的選手。 　　若不存在可去選手，則A不是可去選手，故存在選手B和C，使當(dāng)去掉A時(shí)，與B賽過(guò)的選手和與C賽過(guò)的選手相同。從而B(niǎo)和C不可能賽過(guò)，并且B和C中一定有一個(gè)（不妨設(shè)為B）與A賽過(guò)，而另一個(gè)（即C）未與A賽過(guò)

31、。 　　又因C不是可去選手，故存在選手D，E，其中D和C賽過(guò)，而E和C未賽過(guò)。 　　顯然，D不是A，也不是B，因?yàn)镈與C賽過(guò)，所以D也與B賽過(guò)。又因?yàn)锽和D賽過(guò)，所以B也與E賽過(guò)，但E未與C賽過(guò)，因而選手E只能是選手A。 　　于是，與A賽過(guò)的對(duì)手?jǐn)?shù)就是與E賽過(guò)的對(duì)手?jǐn)?shù)，他比與D賽過(guò)的對(duì)手?jǐn)?shù)少1，這與假設(shè)A是已賽過(guò)對(duì)手最多的選手矛盾。 　　故一定存在可去選手。 8. 解：我們考察表格中填入的所有數(shù)的和的奇偶性：第一次“操作”之前，它等于9，是一個(gè)奇數(shù)， 　　每一次“操作”，要改變一行或一列四個(gè)方格的奇偶性，顯然整個(gè)16格中所有數(shù)的和的奇偶性不變。 　　但當(dāng)每一格中所有數(shù)字都變成1時(shí)

32、，整個(gè)16格中所有數(shù)的和是16，為一偶數(shù)。故不能通過(guò)若干次“操作”使得每一格中的數(shù)都變成1。 9. 解：要把三堆石子都取光是不可能的。 　　按“操作”規(guī)則，每次拿掉的石子數(shù)的總和是3的倍數(shù)，即不改變石子總數(shù)被 3除時(shí)的余數(shù)。而1998+998+98=3094，被3除余1，三堆石子被取光時(shí)總和被3除余0。所以，三堆石子都被取光是辦不到的。 10. 解：設(shè) M=max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）。 　　因?yàn)閍+b+c，c+d+e，e+f+g都不大于M，所以 　　 11.有。解：當(dāng)n=2時(shí)，方程x1+x2=x1x2有一個(gè)自然數(shù)解：x1=2，x2=2；

33、　　當(dāng)n=3時(shí)，方程x1+x2+x3=x1x2x3有一個(gè)自然數(shù)解：x1=1，x2=2，x3=3； 　　當(dāng)n=4時(shí)，方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一個(gè)自然數(shù)解：x1=1，x2=1，x3=2，x4=4。 　　一般地，方程x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn有一個(gè)自然數(shù)解：x1=1，x2=1，…，xn-2=1，xn-1=2，xn=n。 12.解：仿例3。當(dāng)有3n個(gè)數(shù)時(shí)，留下的數(shù)是1號(hào)。 　　小于8899的形如3n的數(shù)是38=6561，故從1號(hào)開(kāi)始按規(guī)則劃數(shù)，劃了8899-6561=2338（個(gè)）數(shù)后，還剩下6561個(gè)數(shù)。下一個(gè)要?jiǎng)澋舻臄?shù)是23882

34、3+1=3507，故最后留下的就是3508。 13.解：質(zhì)數(shù)a1有2個(gè)約數(shù)：1和a，從而A（a1）=2；2個(gè)質(zhì)數(shù)a1，a2的積有4個(gè)約數(shù)：1，a1，a2，a1a2，從而　　A（a1a2）=4=22； 　　3個(gè)質(zhì)數(shù)a1，a2，a3的積有8個(gè)約數(shù)：1，a1，a2，a3，a1a2，a2a3，a3a1，a1a2a3， 　　從而A（a1a2a3）=8=23；……于是，10個(gè)質(zhì)數(shù)a1，a2，…，a10的積的約數(shù)個(gè)數(shù)為　　A（x）=210=1024。 14.　解：設(shè)A和B兩人是距離最近的兩個(gè)小朋友，顯然他們應(yīng)該互射。此時(shí)如果有其他的小朋友射向他們中的一個(gè)，即A，B中有一人挨了兩槍，那么其他三人中必然

35、有一人身上是干的。如果沒(méi)有其他的小朋友射向A或B，那么我們?cè)倏紤]剩下的三個(gè)人D，E，F(xiàn)：若D，E的距離是三人中最近的，則D，E互射，而F必然射向他們之間的一個(gè)，此時(shí)F身上是干的。 15.假設(shè)沒(méi)有4只猴子分的花生一樣多，那么至多3只猴子分的花生一樣多。我們從所需花生最少情況出發(fā)考慮：得1粒、2粒、3粒……32粒的猴子各有3只，得33粒花生的猴子有1只，于是100只猴子最少需要分得花生　3（0+1+2+…+32）+33=1617（粒），現(xiàn)在只有1600?；ㄉ?，無(wú)法使得至多3只猴子分的花生一樣多，故至少有4只猴子分的花生一樣多?！　?6.　提示：從整體看，甲、乙兩桶所裝的液體的體積沒(méi)有發(fā)生變化。甲

36、桶里有多少酒精，就必然倒出了同樣體積的牛奶入乙桶。所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一樣多。 17.解：黑板上開(kāi)始時(shí)所有數(shù)的和為S=1+2+3+…+1998=1997001， 　　 是一個(gè)奇數(shù)，而每一次“操作”，將（a+b）變成了（a-b），實(shí)際上減少了2b，即減少了一個(gè)偶數(shù)。因?yàn)閺恼w上看，總和減少了一個(gè)偶數(shù)，其奇偶性不變，所以最后黑板上剩下一個(gè)奇數(shù)。 Winger Tuivasa-Sheck, who scored two tries in the Kiwis 20-18 semi-final win over England, has been passed fit after

37、a lower-leg injury, while Slater has been named at full-back but is still recovering from a knee injury aggravated against USA. Both sides boast 100% records heading into the encounter but Australia have not conceded a try since Josh Charnleys effort in their first pool match against England on the

38、 opening day. Aussie winger Jarryd Hayne is the competitions top try scorer with nine, closely followed by Tuivasa-Sheck with eight. But it is recently named Rugby League International Federation player of the year Sonny Bill Williams who has attracted the most interest in the tournament so far.

39、The Kiwi - with a tournament high 17 offloads - has the chance of becoming the first player to win the World Cup in both rugby league and rugby union after triumphing with the All Blacks in 2011. "Id give every award back in a heartbeat just to get across the line this weekend," said Williams.The (

40、lack of) air up there Watch mCayman Islands-based Webb, the head of Fifas anti-racism taskforce, is in London for the Football Associations 150th anniversary celebrations and will attend Citys Premier League match at Chelsea on Sunday. "I am going to be at the match tomorrow and I have asked to m

41、eet Yaya Toure," he told BBC Sport. "For me its about how he felt and I would like to speak to him first to find out what his experience was." Uefa hasopened disciplinary proceedings against CSKAfor the "racist behaviour of their fans" duringCitys 2-1 win. Michel Platini, president of European fo

42、otballs governing body, has also ordered an immediate investigation into the referees actions. CSKA said they were "surprised and disappointed" by Toures complaint. In a statement the Russian side added: "We found no racist insults from fans of CSKA." Baumgartner the disappointing news: Mission a

43、borted. The supersonic descent could happen as early as Sunda. The weather plays an important role in this mission. Starting at the ground, conditions have to be very calm -- winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cover. The balloon, with capsule attached, will

44、move through the lower level of the atmosphere (the troposphere) where our day-to-day weather lives. It will climb higher than the tip of Mount Everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17 kilometers) and into the strato

45、sphere. As he crosses the boundary layer (called the tropopause),e can expect a lot of turbulence. The balloon will slowly drift to the edge of space at 120,000 feet ( Then, I would assume, he will slowly step out onto something resembling an Olympic diving platform. They blew it in 20

46、08 when they got caught cold in the final and they will not make the same mistake against the Kiwis in Manchester. Five years ago they cruised through to the final and so far history has repeated itself here - the last try they conceded was scored by Englands Josh Charnley in the opening game of th

47、e tournament. That could be classed as a weakness, a team under-cooked - but I have been impressed by the Kangaroos focus in their games since then. They have been concentrating on the sort of stuff that wins you tough, even contests - strong defence, especially on their own goal-line, completing

48、sets and a good kick-chase. Theyve been great at all the unglamorous stuff that often goes unnoticed in the stands but not by your team-mates. It is as though their entire tournament has been preparation for the final. In Johnathan Thurston, Cooper Cronk, Cameron Smith and either Billy Slater or G

49、reg Inglis at full-back they have a spine that is unmatched in rugby league. They have played in so many high-pressure games - a priceless asset going into Saturday. The Kiwis are a lot less experienced but winning a dramatic match like their semi-final against England will do wonders for their confidence. They defeated Australia in the Four Nations final in 2010 and the last World Cup, and know they can rise to the big occasion.