圖像的DCT變換

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1、沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)第1章相關(guān)知識(shí)1.1數(shù)字圖像數(shù)字圖像，又稱數(shù)碼圖像或數(shù)位圖像，是二維圖像用有限數(shù)字?jǐn)?shù)值像素的 表示。數(shù)字圖像是由模擬圖像數(shù)字化得到的、以像素為基本元素的、可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)字電路存儲(chǔ)和處理的圖像。1.2數(shù)字圖像處理數(shù)字圖像處理(DigitallmageProcessing)是通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)圖像進(jìn)行去除噪聲、增強(qiáng)、復(fù)原、分害IJ、提取特征等處理的方法和技術(shù)。數(shù)字圖像處理的產(chǎn)生和 迅速發(fā)展主要受三個(gè)因素的影響：一是計(jì)算機(jī)的發(fā)展；二是數(shù)學(xué)的發(fā)展(特別是離散數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)立和完善)；三是廣泛的農(nóng)牧業(yè)、林業(yè)、環(huán)境、軍事、工業(yè)和 醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用需求的增長(zhǎng)。1.3 DCT變換

2、在數(shù)字圖像應(yīng)用在JPEG各類圖像壓縮算法中,基于離散余弦變換(DCTQiscrete CosineTransform)的圖像壓縮編碼過(guò)程稱為基本順序過(guò)程,它應(yīng)用于絕大多數(shù)圖像壓 縮場(chǎng)合，并且它能在圖像的壓縮操作中獲得較高的壓縮比。另外，重構(gòu)圖像與源圖像的視覺(jué)效果基本相同。DCT變換是在最小均方誤差條件下得出的最佳正交變 換,且已獲得廣泛應(yīng)用，并成為許多圖像編碼國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的核心。DCT變換的變換核心為余弦函數(shù)，計(jì)算速度較快,有利于圖像壓縮和其他處理。MATLAB是由美 國(guó)Math2Works公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算軟件,它集數(shù)值 分析、矩陣計(jì)算、信號(hào)處理和圖形顯示多種功能于一體，

3、構(gòu)成了一個(gè)方便的界面， 友好的用戶環(huán)境。本文主要應(yīng)用MATLAB6.5中發(fā)布的影像處理工具箱中的相關(guān)函 數(shù)和命令來(lái)實(shí)現(xiàn)基于DCT的圖像壓縮編碼理論算法的仿真。1沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)第2章課程設(shè)計(jì)分析2.1 DCT在 MATLA的實(shí)現(xiàn)第一種方法是使用函數(shù)dct2，該函數(shù)使用一個(gè)基于FFT的快速算法來(lái)提高 當(dāng)輸入較大的輸入方陣時(shí)的計(jì)算速度。dct2函數(shù)的調(diào)用格式如下：dct2 B=(A,M N)或 B=dct2(A,M,N)其中，A表示要變換的圖像,M和N是可選參數(shù)，表示填充后的圖像矩陣大小。B 表示變換后得到的圖像矩陣。第二種方法使用由函數(shù)dctmtx返回的DCT變換矩陣，這種方法較

4、適合于較 小的輸入方陣(如或方陣)。dctmtx的調(diào)用格式如下：D=dctmtx(N)其中，N表示DCT變換矩陣的維數(shù)，D為DCT變換矩陣。2.2 DCT的基本原理DCT變換在圖像壓縮中有很多應(yīng)用，它是 JPEG MPEG等數(shù)據(jù)壓縮標(biāo)準(zhǔn)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在壓縮算法中，先將輸入圖像劃分為8 X 8或16 X 16,的圖像塊，對(duì)每個(gè)圖像塊作DCT變換；然后舍棄高頻的系數(shù)，并對(duì)余下的系數(shù)進(jìn)行量化以 進(jìn)一步減少數(shù)據(jù)量；最后使用無(wú)失真編碼來(lái)完成壓縮任務(wù)。解壓縮時(shí)首先對(duì)每個(gè) 圖像塊做DCT反變換，然后將圖像拼接成一副完整的圖像。DCT的定義：DCT變換利用傅立葉變換的性質(zhì)，采用圖像邊界褶翻將圖像變換為偶函數(shù)

5、形 式，然后對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換， 變換后僅包含余弦項(xiàng)，所以稱之為離散余 弦變換。DCT(Discrete Cosine Transform)的疋義為，假設(shè)矩陣 A二維離散余弦變換 M茁A cosPZcosWqp qmgAmn2M的大小為M X No2NB P.q 二1/Jm , p =oa =p J2/M ,1 蘭 p 蘭 M -1,2/N,qN -1其中，Bp.q稱為矩陣A的DCT系數(shù)。在MATLAB中，矩陣的下標(biāo)從1開(kāi)始 而不是從0開(kāi)始的，所以MATLAB中的矩陣元素A(1,1)和B(1,1)分別對(duì)應(yīng)于上 面定義中的值A(chǔ)oo和Boo，依此類推。DCT是一種可逆變換，離散反余弦變換定義

6、如下：0豈m乞M 1,0豈n豈N -14沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)上式的含義是任何MX N的矩陣A都可以表示為一系列具有下面形式的函數(shù)的和：0 _ p _M -1,0 _q _ N -1#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)這些函數(shù)稱為DCT變換的基函數(shù)。這樣，,Bp.q就可以看成是應(yīng)用于每個(gè)基 函數(shù)的加權(quán)。DCT的算法:離散余弦變換可以由定義式出發(fā)進(jìn)行計(jì)算。但這樣的計(jì)算量太大，在實(shí)際應(yīng)用 中很不方便。所以需要尋求一種快速算法。以一維離散余弦變換為列，對(duì)快速算 法進(jìn)行推導(dǎo)。F(u)2Nf(x)cosdf(x)e2N#沈陽(yáng)理工

7、大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)對(duì)時(shí)域數(shù)據(jù)向量做如下列延拓:當(dāng) x=0,1,2，N-1 fe(x) =f(x)#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)當(dāng) x=N, N+1, 2N-1時(shí) fe(x)=O則fe(x)的離散余弦變換可寫(xiě)成下列：I 2N JF(oN Je(x)F(0)二fe(x) cos(2X 1)u 二2Nfe(x) e(2x+)un-l2NQN _1z.x=02N J fe(x)x=0j 2xu 二2N5沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)由上式可見(jiàn):2N.2xun fe(x) e 2NXzO是2N點(diǎn)的；離散傅里葉變換所以在離散余

8、弦變換時(shí)，可以吧序列長(zhǎng)度延拓為2N,然后作離散傅里葉變換，產(chǎn)生的結(jié)果取其實(shí)部即可得到余弦變換。同理對(duì)于離散余弦變換IDCT,可首先在變換空間將F(u)作如下延拓:當(dāng) u=0,1,2,3，N-1時(shí)Fe(u) =F( u)#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)當(dāng) u=N,N+1, N+2,2N-1時(shí) Fe(u)=0那么，反變換可表示：1F(0：nFe(0)22N*e(u)cos空匹Nut2N1N Fe(0)2N JZ Fe(u)L.U#2xuej2Neu 二2NN)Fe(0)2N -1u 兀Re任Fe(u)(x)e_j?NL_ u=0#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)

9、#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)j由上式可見(jiàn)，idct可以由Fe(u)e2N的2N點(diǎn)的idft的快速算法實(shí)現(xiàn)。#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)在計(jì)算二維的DCT變換時(shí)，可使用下面的計(jì)算公式把二維的 DCT變換變成一維的DCTF(u,v) = 1 C(u)G(i,v)cos 1)U 2716G(i,vC(v)r f(i,j)cos(2ii6)：2y16該方法的出發(fā)點(diǎn)是分別對(duì)分解后的每個(gè)數(shù)據(jù)小方塊進(jìn)行DCT變換,主要應(yīng)用MATLAB勺影像處理工具箱中dctmtx函數(shù)返回DCT變換矩陣,而后進(jìn)行相關(guān)處 理的程序?qū)崿F(xiàn)。6沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)第3章仿真用MATLAB的影像處理工具箱中dc

10、tmtx函數(shù)編寫(xiě)基于DCT勺變換的圖像壓縮：%出發(fā)點(diǎn)是采用分別對(duì)分解后的每個(gè)數(shù)據(jù)小方塊進(jìn)行DC變換l=imread(pla ne1.gif);%裝入原始圖像,該圖片在安裝matlab的目錄中找，原圖為灰度圖像I仁 im2double(l);%圖像存儲(chǔ)類型轉(zhuǎn)換，將圖像變換成雙精度格式T=dctmtx(8);%離散余弦變換矩陣，處理后返回一個(gè)8 X 8階DCT變換矩陣B=blkproc(l1,8,8,P1*x*P2 ,T,T);%對(duì)原圖像進(jìn)行DC變換,每個(gè)不同8 X 8塊應(yīng)用矩陣式P1*x *P2 進(jìn)行處理,必要時(shí)補(bǔ)0 ,其中P1 = T ,P2 = T mask= 1 1 1 1 0 0 0 0

11、1 1 1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0;%二值掩模,用來(lái)壓縮DCT的系數(shù),選取10個(gè)DCT系數(shù)重構(gòu)圖像B2=blkproc(B,8,8,P1.*x ,mask); %只保留 DCT變換的 10個(gè)系數(shù)，數(shù)據(jù)壓縮，丟棄右下角高頻數(shù)據(jù)l2=blkproc(B2,8,8,P1*x*P2 ,T,T);泌行DCT反變換，得到壓縮后的圖像subplot(2,2,1)imshow(l1)title(pla ne1.gif)subplot(2

12、,2,2)imshow(l2)title(壓縮后的圖像);%顯示原始圖像I1和壓縮圖像I28沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)9沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)plane1.gif圖3.1仿真結(jié)果壓縮后的圖像圖3.2壓縮后的圖像10沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)11沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)DC變換三維投影:圖3.3未經(jīng)DC變換前的三維投影圖3.4經(jīng)DC變換后的三維投影#沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)第4章結(jié)果分析11234567B90 19220L717E0.69410 6&270.63920.658S0 63240.67450.636320.149.70590.69020.7D20

13、.6980.68630.68830.89020.B745I30.1490.709S0.69410.70690.6960.63630.670E0.652740 15290.66670.67C60.67Q50.66670.E4310.63920.6510.66495.10040.64710.64310.6431U.MI0.B51C.6510.6510.G5160 20700.619G0.E1960 63530.63530.63530.G4710.6G27 65170.21570.64310.63530.61950.51570.64310.620.B4310.630 23320B2350.6039D

14、 9610,60390.62350 5961D.5157asg0.27060.60.6D790.5B43O.E0760.5B82.sees0.57550.5882101 26670.S4710.607S0 60700.6C7B0.60 59040.55290.560S110.2196.B5890.64710.6275.63140.60790.59610.58040.5725120.3B90.54310.656S0.62350.62350.61 IS0 50G90.59220.603913D2157Q.651.65490.B431 .47?0.62350.60390.6649140.1 B470

15、I.S2350.61570.60730.61960.62350.62750.63140.G51150 14120.62750.G1130 59220.57650.61960 63920.53920.6549當(dāng)p,q不斷增大時(shí)，相應(yīng)的余弦函數(shù)的頻率也不斷增大，得到的系數(shù)可認(rèn) 為就是原始圖像信號(hào)在頻率不斷增大的余弦函數(shù)上的投影，所以也被稱為低頻系 數(shù)、中頻系數(shù)和高頻系數(shù)。依上圖可以明顯的發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：大體上，沿左上到 右下的方向DCT系數(shù)（絕對(duì)值）是依次遞減的。所以，也就是說(shuō)一個(gè)圖像的DCT低頻系數(shù)分布在DCT系數(shù)矩陣的左上角，高頻系數(shù)分布在右下角，低頻系數(shù)的絕 對(duì)值大與高頻系數(shù)的絕對(duì)值。對(duì)DCT

16、變換來(lái)說(shuō)，圖像的主要能量是集中在其DC係數(shù)的一小部分。這所謂 的“一小部分”就是指的低頻部分。隨著 p,q階數(shù)的不斷增大，圖像信號(hào)在兩組 正交函數(shù)上的投影值出現(xiàn)了大量的正負(fù)相抵消的情景，從而導(dǎo)致了得到的頻率系 數(shù)在數(shù)值（絕對(duì)值）上的不斷減小。當(dāng) p=0,q=0，得到的頻率系數(shù)與余弦函數(shù)無(wú) 關(guān)（cosO=1）,完全就是圖像抽樣信號(hào)的均值，也是最大的一個(gè)值，稱為DCT變換的直流（DC系數(shù)，其它的頻率系數(shù)都由余弦函數(shù)參與得到，所以被稱為交流（AC系數(shù)。中、低頻系數(shù)所含有的原始信號(hào)的成份較多，所以由其反變換重構(gòu) 圖像就能得到圖像的近似部分。高頻系數(shù)是在眾多正交的余弦函數(shù)上投影的加 權(quán)，是這些不同頻率的

17、余弦信號(hào)一起來(lái)刻畫(huà)原始信號(hào)的結(jié)果，圖像近似的部分在這些函數(shù)上被相互抵消了，剩下的就是圖像的細(xì)節(jié)部分了。1,2345g7g10.31320.570490.77020.7029.3350.E4770.6096 70252.31130.4972 7003 765B0.6999 6332 65070.70400.605330.3070.43060.69140.75510.69090.62670.65150.7090.666340.30130.48140.67730 73790.67440.61660EJ510.70660.B5BS0.2970 47340.E&270.71010.65320.59030

18、.63170.6970.65496D.30020.47070.E5250 7D130.53340.57950.6160.66390.64230.307D.47340.G4860.6912D.61990.56550.6Q3B0.6730.G17380.31310.4770.E4640.B8730.61350.55850.5972Di.66720.59560.32920.47050.63620.G730.6010 535D.&470.59340.5763100.33750.48730.6457.50340.51210.54650.55890.6054O.57S9110 34380.4946 654

19、3 69470.6254 5614 57400.6217 .5902120.33760.43030.65390.69790.&3260.571B0.5B740.&3550.6126130.31S30.473E0.64230.E9220.63260.57720 59Gd0.54540.G37714 2947D.45340.62740.604306320.50260.60630.65050.65315D.27640.437B0.E1E30.500.53420.59040.61S20.5727C.65430.2673D.43O40.61230.6792D.6374. 5970.62730.E3310

20、.6497對(duì)圖像進(jìn)行分塊DCT后，在每一個(gè)8X 8范圍內(nèi)其頻率系數(shù)仍然符合 DCT系數(shù)分 布規(guī)律。仿真中取了 10個(gè)DCT系數(shù),占15 %比較原圖和重構(gòu)圖像,可以發(fā)現(xiàn)：在拋棄85 %的DCT系數(shù)后,重構(gòu)圖像時(shí)并不會(huì)因此而帶來(lái)其畫(huà)面質(zhì)量的顯著下降 ,即重 構(gòu)圖像的失真不大當(dāng)然，采用這種方法來(lái)實(shí)現(xiàn)壓縮算法時(shí)，可以通過(guò)修改mask 變量中的DCT系數(shù)來(lái)更好地比較仿真結(jié)果。14沈陽(yáng)理工大學(xué)數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)在整個(gè)運(yùn)用MATLA影像處理工具箱中的相關(guān)函數(shù)和命令實(shí)現(xiàn)基于 DCT變 換的圖像壓縮的仿真過(guò)程中，清晰了 DCT圖像壓縮的方法，仿真較好的地反映出 DCT壓縮的特性。真這次課設(shè)中讓我知道了如何運(yùn)用已掌握的知識(shí)如何學(xué)習(xí)新的 知識(shí)，如何去克服遇到的困難這些都我這次課設(shè)留了寶貴的財(cái)富。參考文獻(xiàn)1劉剛.MATLAB數(shù)字圖像處理M.北京：機(jī)械工業(yè)出版社.2010: 34-743余成波.數(shù)字圖像處理及 MATLAB實(shí)現(xiàn)M.重慶：重慶大學(xué)出版社.2003:37-894王曉丹，吳崇明.基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)M.西安：西安電子科技 大學(xué)出版社.2000: 45-6815