數字信號處理數字信號習題3

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1、10/18/2021數字信號處理第三章習題講解第三章習題講解10/18/2021數字信號處理1,04( )0,nnx nn其他3設 4( )(2)h nR n令 ， ，6( )( )x nx n6( )( )h nh n試求 與 的周期卷積并作圖。 ( )x n( )h n解：10( )( ) ()Nmy nx m h nm10/18/2021數字信號處理10/18/2021數字信號處理1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 01 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 11 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0 1 1 1

2、 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m/x n mhm1hm2hm3hm4hm5hm/h n m14 12 10 8 6 10 ( )y n10/18/2021數字信號處理4. 已知 如圖P3-4（a）所示，為 ，試畫出 ， ， ， ， ， 等各序列。 1,1,3,2( )x n5()xn66()( )xnR n33( )( )x nR n6( )x n55(3)( )x nR n77( )( )x nR n10/1

3、8/2021數字信號處理5()xn6( )x n66()( )xnR n10/18/2021數字信號處理55(3)( )x nR n33( )( )x nR n77( )( )x nR n10/18/2021數字信號處理5. 試求以下有限長序列的 點 （閉合形式表達式）：NDFT0( )cos()( )Nx nan Rn(1) 10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：002101()( )2NjnkjnjnNNnaeeeRk2100cos()( )NjnkNNnan eRk002211()()001( )2NNjknjknNNNnnaeeRk10/18/2021數字信號處理0

4、00022()()111( )211jNjNNjkjkNNeeaRkee0000002221 21 21 2()()()2221()2()NNNjjjjkjkjkNNNeeeaeee0000002221 21 21 2()()()222()( )()NNNjjjNjkjkjkNNNeeeRkeee0000112200sin()sin()122( )112sin()sin()22NNjkjjkjNNNNNaeeRkkkNN10/18/2021數字信號處理210( )NjnknNNna eRk(2) ( )( )nNx na Rn10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：21( )

5、1NNjkNaRkae210( )nNjkNNnaeRk10/18/2021數字信號處理210( )( )NjnkNNnx n eRk2100()( )NjnkNNnnn eRk02( )jn kNNeRk(3) 0( )()x nnn00nN10( )( )( )NnkNNnX kx n WRk解：10/18/2021數字信號處理1( 2/)01()()NjNn kkxnXkeN6. 如圖P3-6（a）畫出了幾個周期序列 ，這些序列可以表示成傅里葉級數 ()x n（1）哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有的 成為實數？ ( )X k（2）哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有的 （除 外）成為虛數

6、？( )X k(0)X（3）哪些序列能做到 ，( )0X k 2, 4, 6,.k 10/18/2021數字信號處理10/18/2021數字信號處理 為共軛對稱序列，即滿足實部偶對稱，虛部奇對稱（以 為軸）。( )x n0n 即 是以 為對稱軸的偶對稱( )x n0n 解:（1）要使 為實數，根據DFT的性質:( )X k( )( )Re( )ex nx nX k( )0Im( )0ox njX k( )x n( )x n( )()x nxn又由圖知， 為實序列，虛部為零，故 應滿足偶對稱： 故第二個序列滿足這個條件10/18/2021數字信號處理 為共軛反對稱序列，即滿足實部奇對稱，虛部偶對

7、稱（以 為軸）。( )x n0n 即 是以 對稱軸的奇對稱( )x n0n （2）要使 為虛數，根據DFT的性質:( )X k( )0Re( )0ex nX k( )( )Im( )ox nx njX k( )x n( )x n( )()x nxn 又由圖知， 為實序列，虛部為零，故 應滿足奇對稱： 故這三個序列都不滿足這個條件10/18/2021數字信號處理（3）由于是8點周期序列，其DFS:238104411( 1)( )11j kkjnkjkjkneX keee 當 時， 2, 4, 6,.k 1( )0X k 序列2:32442041( )1jkjnkjkneXkee217800( )

8、( )( )NjnknkNnnX kx n Wx n e序列1:當 時， 2, 4, 6,.k 1( )0X k 10/18/2021數字信號處理序列3:311( )( )(4)x nx nx n根據序列移位性質可知31141( 1)X ( )X ( )X ( )(1)1kj kj kjkkkekee 當 時， 2, 4, 6,.k 3( )0X k 綜上所得，第一個和第三個序列滿足 ( )0X k 2, 4,.k 10/18/2021數字信號處理8. 下圖表示一個5點序列 。( )x n（1）試畫出 ； ( )( )x nx n（2）試畫出 ； ( )x n( )x n（3）試畫出 ； (

9、)x n( )x n10/18/2021數字信號處理( )( )x nx n10/18/2021數字信號處理 ( )x n( )x n10/18/2021數字信號處理 ( )x n( )x n10/18/2021數字信號處理9. 設有兩個序列( ),05( )0,x nnx nn其他( ),014( )0,y nny nn其他 各作15點的DFT，然后將兩個DFT相乘，再求乘積的IDFT，設所得結果為 ，問 的哪些點（用序號 表示）對應于 應該得到的點。( )f n( )f nn( )( )x ny n10/18/2021數字信號處理解: 序列 的點數為 ， 的點數為 ，故 的點數應為( )x

10、 n16N ( )y n215N ( )( )x ny n12120NNN 0n 4(1)nNL019(1)N ( )f n( )x n( )y n又 為 與 的15點的圓周卷積，即L15。是線性卷積以15為周期周期延拓后取主值序列混疊點數為NL20155( )f n5n 14n ( )( )x ny n故 中只有 到 的點對應于 應該得到的點。154(1)LN()L1534(1)LN( )L10/18/2021數字信號處理10. 已知兩個有限長序列為1,03( )0,46nnx nn1,04( )1,56ny nn試用作圖表示 ， 以及 。( )x n( )y n( )( )f nx n(

11、)y n10/18/2021數字信號處理10/18/2021數字信號處理-3 -2 -10 1 2 3 4 5 67 81 2 3 4 0 0 0-1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 -1-1 -1 -1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 -1 -1 -1-1 -1 -1 1 1 -1 -1-1 -1 -1 -1 1 1 -1-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1n m/x n m/y n m 77ymR

12、n 771ymRn 772ymRn 773ymRn 774ymRn 775ymRn7ym 7ym 776ymRn0 4 -2 -10 -10 -8 ( )f n-4 10/18/2021數字信號處理11.已知 是N點有限長序列， 。現(xiàn)將長度變成rN點的有限長序列( )x n( )( )X kDFT x n( )y n( ),01( )0,1x nnNy nNnrN試求rN點 與 的關系。( )DFT y n( )X k解：由210( ) ( )( ),01NjnkNnX kDFT x nx n ekN得10( ) ( )( )rNnkrNnY kDFT y ny n W210( )kNjnNr

13、nx n e10( )NnkrNnx n W, 0,1,.,1klr lNkXr210( )NjnkrNnx n e10/18/2021數字信號處理 在一個周期內，Y (k)的抽樣點數是X (k)的r倍( Y (k)的周期為Nr)，相當于在X (k)的每兩個值之間插入r-1個其他值（不一定為零），而當k為r的整數l倍時，Y (k)與X (k / r)相等。相當于頻域插值210( )( ) 01NjnkNnX kx n ekN, 0,1,.,1klr lN( )kY kXr10/18/2021數字信號處理12. 已知 是N點的有限長序列， ，現(xiàn)將 的每兩點之間補進 個零值點，得到一個rN點的有限

14、長序列 ( )x n( ) ( )X kDFT x n( )x n1r ( )y n(),0,1,.,1( )0,x n rnir iNy nn其他試求rN點 與 的關系。 ( )DFT y n( )X k解：由10( ) ( )( ),01NnkNnX kDFT x nx n WkN10( ) ( )( )rNnkrNnY kDFT y ny n W得10()NirkrNix ir r W01krN10( )NikNix i W10/18/2021數字信號處理故( )( )( )NrNY kXkRk 離散時域每兩點間插入 r -1個零值點，相當于頻域以N為周期延拓r次，即Y(k)周期為rN。

15、10( )( ) 01NnkNnX kx n WkN01krN10( )( )NikNiY kx i W10/18/2021數字信號處理14.設有一譜分析用的信號處理器，抽樣點數必須為2的整數冪，假定沒有采用任何特殊數據處理措施，要求頻率分辨力 ，如果采用的抽樣時間間隔為0.1ms，試確定：（1）最小記錄長度；（2）所允許處理的信號的最高頻率；（3）在一個記錄中的最少點數。10Hz10/18/2021數字信號處理解:（1）因為 ，而 ，所以001TF010FHz0110Ts即最小記錄長度為0.1s。（2）因為 ，而31110100.1sfkHzT2shff152hsffkHz即允許處理的信號的

16、最高頻率為 。5kHz 又因N必須為2的整數冪，所以一個記錄中的最少點數為 300.13 1010000.1TNT（ ）1021024N 10/18/2021數字信號處理19. 復數有限長序列 是由兩個實有限長序列 和 組成的，且已知 有以下兩種表達式： f n x n 01y nnN f nx njy n F kDFTf n 11111NNkkNNabF kjaWbW 21F kjN 其中 為實數。試用 求, a b F k ,X kDFT x n ,Y kDFT y n ,x n y n10/18/2021數字信號處理 111 11NNkkNNabF kjaWbW ( ) ( ) ( )(

17、 )F kDFT f nDFT x njy n解：由DFT的線性性 ( ) ( )DFT x njDFT y n( )( )X kjY k( ) ( )Re ( )X kDFT x nDFTf n( )epFk*1( )()( )2NNF kFNkRk由共軛對稱性得10/18/2021數字信號處理*11111( )2 1111NNNNNkkN kN kNNNNababjjRkaWbWaWbW*11111( )2 1111NNNNNkkkkNNNNababjjRkaWbWa Wb W*1( )( )()( )2NNX kF kFNkRk1( )1NNkNaRkaW10( )NnknNNna WR

18、k1( )1NkNNkNaWRkaW( )( )nNx na Rn10/18/2021數字信號處理( ) ( )Im ( )Y kDFT y nDFTf n1( )opFkj*1( )()( )2NNF kFNkRkj*11111( )21111NNNNNkkN kN kNNNNababjjRkjaWbWaWbW*11111( )21111NNNNNkkkkNNNNababjjRkjaWbWa Wb W1( )1NNkNbRkbW10( )NnknNNnb WRk1( )1NkNNkNbWRkbW( )( )nNy nb Rn10/18/2021數字信號處理*111( )2NjNjNRk111

19、( )2NjNjN Rk ( )NRk( )( )x nn( ) ( )Re ( )X kDFT x nDFTf n( )epFk*1( )()( )2NNF kFNkRk 21F kjN 10/18/2021數字信號處理*111( )2NjNjNRkj111( )2NjNjN Rkj ( )NNRk( )( )y nNn( ) ( )Im ( )Y kDFT y nDFTf n1( )opFkj*1( )()( )2NNF kFNkRk10/18/2021數字信號處理20. 已知序列 現(xiàn)對于x(n) 的 變換在單位圓上 等分抽樣，抽樣值為 試求有限長序列 , 點。 IDFT X k ,01,

20、nx na u nazN 2jkkNNz WeX kX zN10/18/2021數字信號處理( )( ), 01nx na u na解：由101( )( )1nnX zx n zaz得11( )( )1kNkNz Wz WX kX zaz11kNaW1111NNkNNkNa WaaW1011NnkNNnaWa1011NnnkNNna Wa1( )( )1nNNIDFT X ka Rna10/18/2021數字信號處理 ( )()( )kNnkNz WnX kNWznXX zx對在單位圓上 點等間隔抽樣，得周期序列：( )X kIDFS的：( )()Nrxnx nrN( )( )( )NNX k

21、X k Rk點 ( )( )x nIDFT X k1( )1nNNa Rna( )( )NNxn Rn ()( )n rNNrau nrN Rn0( )n rNNraRn0( )rnNNraaRn10/18/2021數字信號處理26. 研究一個離散時間序列 ，由 形成兩個新序列 和 ，其中 相當于以抽樣周期為2對 抽樣而得到，而 則是以2對 進行抽取而得到，即 x n x n pxn dxn pxn x n dxn x n , 0, 2, 4,0, 1, 3,px nnxnn 2dxnxn(a)若 如圖P326 (a)所示，畫出 和 。 x n pxn dxn(b) 如圖P326 (b)所示， 畫出 及 jX eDTFT x n jppXeDTFT xn jddXeDTFT xn10/18/2021數字信號處理()jX e10/18/2021數字信號處理 , 0, 2, 4,0, 1, 3,px nnxnn 2dxnxn10/18/2021數字信號處理1()01()()sDjkjpkXeX eD()()jjDdpXeXe()jX e3454223454223232()jdXe2342()jpXe34