2020年高三12月月考數(shù)學理

2019-2020年高三12月月考（數(shù)學理）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中．只 有一項是符合題目要求的． 1．設集合，則A．（1，2] B．[0，+）C． D．[0，2]2．設是實數(shù)，且是純虛數(shù)，則A． B． C． D．33．若，則A． B． C． D．4．若，且，則A． B． C．或 D． 5．在等差數(shù)列中，有，則此數(shù)列的前13項之和為A．24 B．39 C．52 D．104-6．設曲線在點處的切線與直線垂直，則A．2 B． C． D．17．若的展開式中各項系數(shù)之和是的展開式中各項的二項式系數(shù)之 和是，則的值為A． B． C． D．8．已知表示的平面區(qū)域包含點（0，0）和（，1），則的取值范圍是A．（，6） B．（0，6） C．（0，3） D．（，3）9．函數(shù)的圖象的對稱中心是A．（0，0） B．（6，0） C．（，0） D．（0，）10．某單位購買10張北京奧運會某場足球比賽門票，其中有3張甲票，其余為乙票．5名 職工從中各抽1張，至少有1人抽到甲票的概率是A． B． C． D．[來源:高&考%資(源#網(wǎng)]11．已知分別是圓錐曲線和的離心率，設 ，則的取值范圍是A．（，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，）12已知函數(shù)的導函數(shù)，且設是方程的兩根，則||的取值范圍為A B C D第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則 ．14．已知函數(shù)（為常數(shù)）圖象上處的切線與直線的 夾角為45，則點的橫坐標為 ．15．設焦點在軸上的雙曲線的右準線與兩條漸近線交于、兩點，右焦點 為，且，則雙曲線的離心率 ．16．垂直于所在的平面，，當?shù)? 面積最大時，點到直線的距離為 ．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. （本小題滿分12分）已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若A、B、C成等差數(shù)列，b=1，記角A=x，a+c=f(x)．（Ⅰ）當x∈[，]時，求f(x)的取值范圍；（Ⅱ）若，求sin2x的值．18. （本小題滿分12分）某商場準備在“五一”期間舉行促銷活動．根據(jù)市場行情，該商場決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動．（Ⅰ）試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率；（Ⅱ）商場對選出的家電商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品成本價的基礎上提高180元作為售價銷售給顧客，同時允許顧客有3次抽獎的機會，若中獎一次，就可以獲得一次獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎的概率都是，且每次獲獎時的獎金數(shù)額相同，請問：該商場應將每次中獎獎金數(shù)額至多定為多少元，此促銷方案才能使自己不虧本？ 19. （本小題滿分12分）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面BB1C1C與底面ABC垂直，BB1=BC，∠B1BC=60，AB=AC，M是B1C1的中點．（Ⅰ）求證：AB1//平面A1CM；（Ⅱ）若AB1與平面BB1C1C所成的角為45，求二面角B-AC-B1的大?。瓵A1B1C1BCM[來源:高&考%資(源#網(wǎng)]20. （本小題滿分12分）已知非零向量列{an}滿足：a1=（1，1）， 且an =（xn，yn）=（，） （n>1，n∈N），令| an |=bn．（Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求{bn}的通項公式；（Ⅱ）對n∈N*，設cn=bnlog2bn，試問是否存在正整數(shù)m，使得cm0，b>0）的上、下頂點分別為A、B，一個焦點為F（0，c）（c>0），兩準線間的距離為1，|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，過F的直線交雙曲線上支于M、N兩點．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設，問在y軸上是否存在定點P，使⊥？若存在，求出所有這樣的定點P的坐標，若不存在，請說明理由．22. （本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行．（Ⅰ）求實數(shù)a的值；（Ⅱ）若方程f(x)=在[2，4]上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（參考數(shù)據(jù)：e=2.71 828…）（Ⅲ）設常數(shù)p≥1，數(shù)列{an}滿足（n∈N*），a1=lnp，求證：≥．[來源:高&考%資(源#網(wǎng)]18．解：（I）設選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A，則（法一）．（法二）．即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為．…………………4分（II）設顧客抽獎的中獎次數(shù)為，則=0，1，2，3，于是， ，[來源:高&考%資(源#網(wǎng)]， ，∴ 顧客中獎的數(shù)學期望．………………10分設商場將每次中獎的獎金數(shù)額定為x元，則1.5x≤180，解得x≤120，即該商場應將每次中獎的獎金數(shù)額至多定為120元，才能使自己不虧本．………………………………12分19．解：（I）證明：如圖，連結AC1，交A1C于N，連結MN．∵ M是中點，N是AC1的中點，[來源:高&考%資(源#網(wǎng)]∴ MN//AB1．∵ MN平面A1CM，∴ AB1//平面A1CM．………………4分20．（I）證明：bn=|an|=，bn+1=|an+1|=，∴ （常數(shù)），∴ {bn}是等比數(shù)列，其中b1=|a1|=，公比，∴ ． ……………………………………………………5分21．解：（I）由已知|AF|=c-a，AB=2a，|BF|=c+a，∴ 4a=(c-a)+(c+a)，即c=2a．又∵ ，于是可解得a=1，c=2，b2=c2-a2=3．∴ 雙曲線方程為．…………………………………………………3分（II）設直線MN的方程為y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，m)．①當k=0時，MN的方程為y=2，于是由可解得M(-3，2)，N(3，2)，于是．∵ A(0，1)，B(0，-1)，∴．∵，，∴由-60+(-2)0=0，知，即對m∈R，恒成立，∴ 此時y軸上所有的點都滿足條件． …………………………………………6分②當k≠0時，MN的方程可整理為．于是由消去x，并整理得(1-3k2)y2-4y+3k2+4=0．∵ Δ=(-4)2-4(1-3k2)(3k2+4)=9k4+9k2>0，，，∴ ．………………………………………………………………………9分∵ =(-x1，2-y1)，=(-x2， y2-m)，(x1，y1-m)，=(x2， y2-m)，∴ ，，∴．又∵，，∴ ，把代入得 ，整理得 ，代入得 ，化簡得6k2-12mk2=0，∵ k≠0，∴ ．即P(0，)．∴ 當MN與x軸平行時，y軸上所有的點都滿足條件；當MN不與x軸平行時，滿足條件的定點P的坐標為 (0，)．…………………………………12分（III）由f(x)=ln(1+x)-x（x>-1）有，顯然0，當x∈(0，+∞)時，，當x∈(-1，0)時，，∴ f(x)在(-1，0)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．∴ f(x)在(-1，+∞)上有最大值f(0)，而f(0)=0，∴ 當x∈(-1，+∞)時，f(x)≤0，因此ln(1+x)≤x．(*)…………………11分由已知有p>an，即p-an>0，所以p-an-1>-1．∵ an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an)，∴ 由（*）中結論可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1(n∈N*)．∴ 當n≥2時，-an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0，即≥an．當n=1，a2=a1+ln(p-lnp)，∵ lnp=ln(1+p-1)≤p-1，∴ a2≥a1+ln[p-(p-1)]=a1，結論成立．∴ 對n∈N*，an+1≥an．………………………………………………………14分- 9 - / 9文檔可自由編輯打印。