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1、小升初培優(yōu)訓練工程問題 1一、兩個人的問題標題上說的 “兩個人 ”， 也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體 .例 1 一件工作， 甲做 9天可以完成， 乙做 6 天可以完成 .現(xiàn)在甲先做了 3 天，余下的工作由 乙繼續(xù)完成 .乙需要做幾天可以完成全部工作？答：乙需要做 4天可完成全部工作 .解二： 9與6的最小公倍數(shù)是 18.設全部工作量是 18 份.甲每天完成 2份，乙每天完成 3份. 乙完成余下工作所需時間是（18-2 X 3） - 3= 4 （天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6 : 9= 2 :3.甲做了3天，相當于乙做了 2天.乙完成余下工作所需時間是 6-2=4（天） .例2 一件
2、工作，甲、乙兩人合作 30天可以完成，共同做了 6天后，甲離開了，由乙繼續(xù) 做了 40天才完成 .如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？解：共做了 6天后，原來，甲做 24天，乙做 24 天，現(xiàn)在，甲做 0天，乙做 40=（24+16）天.這說明原來甲 24天做的工作，可由乙做 16天來代替 .因此甲的工作效率如果乙獨做，所需時間是如果甲獨做，所需時間是答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天.例3 某工程先由甲獨做 63天，再由乙單獨做 28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作， 需48 天完成 .現(xiàn)在甲先單獨做 42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？解：先對比如下：甲做 6
3、3天，乙做 28天；甲做 48天，乙做 48天.就知道甲少做 63-48=15 （天），乙要多做 48-28=20 （天），由此得出甲的甲先單獨做 42天，比63天少做了63-42=21 （天），相當于乙要做因此，乙還要做28+28= 56（天） .答：乙還需要做 56 天 .例4 一件工程，甲隊單獨做 1 0天完成，乙隊單獨做 30天完成 .現(xiàn)在兩隊合作，其間甲隊 休息了 2天，乙隊休息了 8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？解一：甲隊單獨做 8天，乙隊單獨做 2天，共完成工作量 余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11 （天） .答：從開始到完
4、工共用了 11天 .解二：設全部工作量為 30份 .甲每天完成 3份，乙每天完成 1份.在甲隊單獨做 8天，乙隊 單獨做 2天之后，還需兩隊合作（30- 3 X 8- 1X 2） -（3+1 ） =1（天）.解三：甲隊做 1天相當于乙隊做 3天.在甲隊單獨做 8天后，還余下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量 .相當于乙隊要做 2X3=6 （天）.乙隊單獨做 2天后，還余下（乙隊） 6-2=4 （天）工作量 .4=3+1 ，其中3天可由甲隊 1天完成，因此兩隊只需再合作 1天.例5 一項工程，甲隊單獨做 20天完成，乙隊單獨做 30天完成 .現(xiàn)在他們兩隊一起做，其 間甲隊休息了 3天，乙隊休息
5、了若干天 .從開始到完成共用了 16天.問乙隊休息了多少天？ 解一：如果 16 天兩隊都不休息，可以完成的工作量是由于兩隊休息期間未做的工作量是 乙隊休息期間未做的工作量是乙隊休息的天數(shù)是 答：乙隊休息了 5天半 .解二：設全部工作量為 60份.甲每天完成 3份，乙每天完成 2份. 兩隊休息期間未做的工作量是（3+2 ）X16- 60= 20（份） .因此乙休息天數(shù)是（20- 3 X 3） - 2= 5.5 （天）.解三：甲隊做 2天，相當于乙隊做 3天.甲隊休息 3天，相當于乙隊休息 4.5天.如果甲隊 16 天都不休息，只余下甲隊 4天工作量，相當于乙隊 6天工作量，乙休息天數(shù) 是16-6
6、-4.5=5.5（天） .例6 有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要1 0天，單獨完成乙工作要 1 5天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要 20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項 工作都完成最少需要多少天？解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙 .設乙的工作量為 60份（ 15與20的最小公倍數(shù)） ，張每天完成 4份，李每天完成 3份. 8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4 X8 ）份.由張、李合作需要（60-4 X8） - （4+3 ） =4 （天）.8+4=12（天）.答：這兩項工作都完成最少需要12天.例7
7、 一項工程，甲獨做需要 10天，乙獨做需要 15天，如果兩人合作，他們要 8天完成這 項工程，兩人合作天數(shù)盡可能少少，那么兩人要合作多少天？ 、試算：全部工作都是由兩人合作，需要的天數(shù)：1心/10+1/15）=1/（5/30）=6 天; 、工期定為8天，而欲兩人盡量減少合作，則應該在限定的天數(shù)內(nèi)由甲自始至終去做（ 天），剩余工作由乙參加完成。乙作的天數(shù)就是二人合作的天數(shù)。甲8天完成全部工作的8/10=4/5，余1/5由乙去做需要（1/5）說1/15）=3天。兩人合作3天，其余由甲獨自去做，可用8天完成，且二人合作天數(shù)最少。例8甲乙合做一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比獨做時提高了1/10，
8、乙的工作效率比單獨做時提高了 1/5。甲乙合作6小時，完成全部工程的2/5，第二天乙又單獨做了 6小時，還剩下這件工作的13/30未完成，如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需多少小時？1-2/5-13/30=1/6 （乙6小時完成的任務）1/6除以6 = 1/36 （乙的工作效率）1/36乘（1+1/5 ）= 1/30 （乙和甲合作時的效率）2/5除以6 = 2/30 = 1/15 （甲乙合作時的效率和）1/15-1/30 = 1/30 （甲和乙合作時的效率）1/30除以（1+1/10 ）= 1/33 （甲獨做時的工效）1除以1/33 = 33小時（甲獨做需要的時間）答：甲單獨完成這件工作需要
9、33小時.這一節(jié)的多數(shù)例題都進行了整數(shù)化”的處理.但是，整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計算簡便例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當求出乙每有一點方便，但好處不大不必多此一舉二、多人的工程問題我們說的多人，至少有 3個人，當然多人問題要比 2人問題復雜一些，但是解題的基本思路還是差不多例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作 45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成問甲一人獨做需要多少天完成？解：設這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨做需要90天完成例9也可以整數(shù)化，設全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成 5份，乙
10、、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成 3份請試一試，計算是否會方便些？例10 一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了 若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作問總共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3X2=6 （天）.說明甲做了 2天，乙做了 2X3=6 （天），丙做2X6=12（天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成這項工作用了 20天. 本題整數(shù)化會帶來計算上的方便 .12， 18， 24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72.可設全部工作量為 72.甲
11、每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3.總共用了例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要 13天完成 .如果丙休息 2天，乙就要多做 4天， 或者由甲、乙兩人合作 1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？解:丙2天的工作量，相當乙4天的工作量丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2 （倍），甲、乙合作 1天，與乙做 4天一樣 .也就是甲做 1天，相當于乙做 3天，甲的工作效率是乙的工 作效率的 3倍 他們共同做 13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要答：甲獨做需要26天.事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3 : 2 ： 1,就知甲做1天，相當于乙、丙合作1天三人合作需13天，其中乙、
12、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成 例12 某項工作,甲組 3人8天能完成工作,乙組 4人7天也能完成工作 問甲組 2人和乙組 7人合作多少時間能完成這項工作？解一：設這項工作的工作量是1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組 2人和乙組 7人每天能完成答：合作 3天能完成這項工作 解二： 甲組3人8天能完成, 因此 2人12天能完成；乙組 4人7天能完成,因此 7人4天能完 成.現(xiàn)在已不需顧及人數(shù),問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨做 12天,乙組獨做 4天,問合作幾天完成？ 小學算術要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性 解二是比例靈活運用的典型, 如果你心算較好, 很快就能得出答數(shù) 例13 制作一批
13、零件,甲車間要 10天完成,如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成乙車間與丙車間一起做，需要 8天才能完成現(xiàn)在三個車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比 乙車間多制作零件2400個問丙車間制作了多少個零件？解一：仍設總工作量為1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了 4200個零件 解二：10與6最小公倍數(shù)是30設制作零件全部工作量為 30份.甲每天完成 3份，甲、乙 一起每天完成 5份，由此得出乙每天完成 2份 .乙、丙一起，8天完成乙完成8X2=16 （份），丙完成30-16=14 （份），就知乙、丙工作效率之比是 16 : 14=8 : 7.已知 甲、乙工
14、作效率之比是 3: 2= 12: 8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12: 8: 7.當三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是2400- （12- 8） X 7= 4200 （個）例14 搬運一個倉庫的貨物，甲需要 10小時，乙需要 12小時，丙需要 15小時 .有同樣的 倉庫 A 和 B ，甲在 A 倉庫、乙在 B 倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn) 向幫助乙搬運 最后兩個倉庫貨物同時搬完 問丙幫助甲、乙各多少時間？解：設搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當于三人共同完成工作量2，所需時間是答：丙幫助甲搬運 3小時，幫助乙搬運 5小時. 解本題的關鍵，是先算出三人共同
15、搬運兩個倉庫的時間 .本題計算當然也可以整數(shù)化， 設搬運一個倉庫全部工作量為60. 甲每小時搬運 6，乙每小時搬運 5，丙每小時搬運 4.三人共同搬完，需要60 X 2- （6+ 5+ 4） = 8 （小時）.甲需丙幫助搬運（60- 6X 8） - 4= 3 （小時）.乙需丙幫助搬運（60- 5X 8）韶=5 （小時）.三、水管問題從數(shù)學的內(nèi)容來看， 水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了 .因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相 同.例15 甲、 乙兩
16、管同時打開， 9分鐘能注滿水池 .現(xiàn)在， 先打開甲管， 1 0分鐘后打開乙管， 經(jīng)過3分鐘就注滿了水池 .已知甲管比乙管每分鐘多注入 0.6立方米水，這個水池的容積是多 少立方米？解：甲每分鐘注入水量是：（1-1/9 X 3） +10=1/15乙每分鐘注入水量是： 1/9-1/15=2/45因此水池容積是： 0.6+（1/15-2/45 ） =27 （立方米）答：水池容積是 27立方米 .例16 有一些水管， 它們每分鐘注水量都相等 .現(xiàn)在打開其中若干根水管， 經(jīng)過預定的時 間的 1/3，再把打開的水管增加一倍，就能按預定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預定時間
17、注滿水池.問開始時打開了幾根水管？分析：增開水管后，有原來 2倍的水管，注水時間是預定時間的1-1/3=2/3 ，2/3 是1/3 的2倍，因此增開水管后的這段時間的注水量，是前一段時間注水量的4 倍。 設水池容量是 1 ，前后兩段時間的注水量之比為： 1： 4，那么預定時間的 1/3（即前一段時間）的注水量是1/（ 1+4 ） =1/5 。10根水管同時打開， 能按預定時間注滿水， 每根水管的注水量是 1/10 ，預定時間的 1/3， 每根水官的注水量是 1/10 X1/3=1/3O要注滿水池的1/5，需要水管1/5 -1/30=6 （根）解：前后兩段時間的注水量之比為：1 : （1-1/3
18、 ）勻/3疋=1 : 4前段時間注水量是：1+（ 1+4 ） =1/5每根水管在預定1/3的時間注水量為：1+10X1/3=1/30 開始時打開水管根數(shù)： 1/5+1/30=6（根）答：開始時打開 6根水管。例17 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需 3小時，單開丙管需要 5小時 .要排光一池水，單開乙管需要4小，丁管需要 6小時，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？分析：，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出 .以后（ 20小時），池中的水已有此題與廣為流傳的 “青蛙爬井 ”是相仿的：一只掉
19、進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬 3尺，又滑下 2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？看起來它每小時只往上爬 3- 2= 1（尺），但爬了 27小時后，它再爬 1小時，往上爬了 3 尺已到達井口 .因此，答案是 28小時，而不是 30小時 .例18 一個蓄水池，每分鐘流入 4立方米水 .如果打開 5個水龍頭， 2小時半就把水池水放 空，如果打開 8個水龍頭， 1小時半就把水池水放空 .現(xiàn)在打開 13個水龍頭，問要多少時間才 能把水放空？解：先計算 1 個水龍頭每分鐘放出水量 .2小時半比 1小時半多 60分鐘，多流入水4 X 60= 240 （立方米） .時間都
20、用分鐘作單位， 1個水龍頭每分鐘放水量是240 + （ 5X 150- 8 X 90） = 8（立方米） ，8個水龍頭 1個半小時放出的水量是8 X 8 X 90 ，其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 X 90，因此原來水池中存有水 8 X 8 X 90-4 X 90= 5 400 （立方米） .打開13個水龍頭每分鐘可以放出水 8X13 ，除去每分鐘流入 4，其余將放出原存的水， 放 空原存的 5400 ，需要5400 - ( 8 X 13- 4) =54 (分鐘).答：打開 1 3個龍頭，放空水池要 54分鐘 . 水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先 求
21、出池中原存有的水 .這在題目中卻是隱含著的 .例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開 A 管，8小時可將滿池水排空，打開 C 管， 1 2小時可將滿池水排空 .如果打開 A，B 兩管， 4小時可將水排 空. 問打開 B， C 兩管，要幾小時才能將滿池水排空？解：設滿水池的水量為 1.A 管每小時排出A 管4小時排出因此， B ，C 兩管齊開，每小時排水量是B，C 兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是答： B， C 兩管齊開要 4 小時 48分才將滿池水排完 . 本題也要分開考慮，水池原有水(滿池)和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣 .
22、這里把兩種水量分別設成 “1”但.這兩種量要避免混淆 .事實上， 也可以整數(shù)化，把原有水設為 8與1 2的最小公倍數(shù) 24.17 世紀英國偉大的科學家牛頓寫過一本普遍算術一書，書中提出了一個 “牛吃草 問題，這是一道饒有趣味的算術題 .從本質(zhì)上講， 與例 18和例 1 9是類同的 .題目涉及三種數(shù)量： 原有草、新長出的草、牛吃掉的草 .這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類 同的.例 20 有三片牧場， 場上草長得一樣密而且長得一樣快。 面積為三又三分之一畝、 10 畝、 24畝，12頭牛4星期吃完第一片牧場的草； 21 頭牛 9星期吃完第二片牧場的草。 問多少頭牛 1 8星期能吃完
23、第三片牧場的草？有這么一種解法，答案和我算得是一樣的。但方法還是不怎么懂，特別是：“原有草 +4星期新長的草 =12 X4. ”“原有草 +9星期新長的草 =7X9.”解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量 X牛頭數(shù)X星期數(shù).根據(jù)這一計算公式，可以設定 一頭牛 每星期吃草量 ”作為草的計量單位 .原有草 +4星期新長的草 =12X4.原有草 +9 星期新長的草 =7 X9. 由此可得出，每星期新長的草是(7 X9-12 X4) - (9-4 ) =3.那么原有草是7 X9-3 X9=36 (或者 12 X4-3 X4). 對第三片牧場來說，原有草和 18星期新長出草的總量是 這些草能讓90 X7.2
24、 勻8=36 (頭)牛吃18個星期.答： 36頭牛1 8個星期能吃完第三片牧場的草例20與例1 9的解法稍有一點不一樣 .例20把“新長的”具體地求出來， 把“原有的”與“新 長的兩種量統(tǒng)一起來計算事實上，如果例19再有一個條件，例如： 打開B管，10小時 可以將滿池水排空 . ”也就可以求出 “新長的 ”與“原有的 ”之間數(shù)量關系 .但僅僅是例 19所求， 是 不需要加這一條件 好好想一想，你能明白其中的道理嗎？“牛吃草 ”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn) 限于篇幅，我們只再舉一個例子 例 21 畫展 9 點開門，但早有人排隊等候入場從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多 如果開
25、 3 個入場口， 9 點 9 分就不再有人排隊，如果開 5 個入場口， 9 點 5 分就沒有人排隊 問第一個觀眾到達時間是8點幾分？解：設一個入場口每分鐘能進入的觀眾為 1 個計算單位 從 9 點至 9 點 9 分進入觀眾是 3X9，從9點至9點5分進入觀眾是5X5.因為觀眾多來了 9-5=4 (分鐘)，所以每分鐘來的觀眾是(3X9-5 X5) - ( 9-5) =0.5.9 點前來的觀眾是5X5-0.5 X5=22.5.這些觀眾來到需要22.5 弋.5=45 (分鐘).答：第一個觀眾到達時間是 8 點 15 分.挖一條水渠，甲、乙兩隊合挖要六天完成。甲隊先挖三天，乙隊接著挖一天，可挖這條 水
26、渠的 3/10 ，兩隊單獨挖各需幾天？分析 : 甲乙合作 1 天后 ,甲又做了 2 天共 3/10-1/6=4/302 訊3/10-1/6)=2+4/30=15( 天)1 +(1/6-1/15)=10( 天 )答:甲單獨做要 15 天,乙單獨做要 10 天 . 一件工作，如果甲單獨做，那么甲按規(guī)定時間可提前2 天完成，乙則要超過規(guī)定時間3 天才完成?，F(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。若甲乙 二人合作，完成工作需多長時間？解設:規(guī)定時間為X天.(甲單獨要X-2天，乙單獨要X+3天，甲一共做了 2天乙一共做了X天)1/(X-2) X2 + X/(X+3)=1X=12規(guī)定要 12 天完成1+1/(12-2)+1/(12+3)=1+(1/6)=6 天答:兩人合作完成要 6 天. 例：一項工程，甲單獨做 63 天，再由乙做 28 天完成，甲乙 合作需要48天完成。甲先做42天，乙做還要幾天？ 答：設甲的工效為 x,乙的工效為y63x+28y=148x+48y=1x=1/84y=1/112乙還要做（1-42/84 ） - （1/112 ） =56 （天）
小升初培優(yōu)訓練工程問題
