專(zhuān)題09如何求空間坐標(biāo)系中非特殊點(diǎn)的坐標(biāo)高人一籌之高三數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)特色專(zhuān)題訓(xùn)練Word版含解析

《專(zhuān)題09如何求空間坐標(biāo)系中非特殊點(diǎn)的坐標(biāo)高人一籌之高三數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)特色專(zhuān)題訓(xùn)練Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《專(zhuān)題09如何求空間坐標(biāo)系中非特殊點(diǎn)的坐標(biāo)高人一籌之高三數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)特色專(zhuān)題訓(xùn)練Word版含解析（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一、解答題1長(zhǎng)方形中， ， 是中點(diǎn)（圖1）將沿折起，使得（圖2）在圖2中：（1）求證：平面 平面； （2）在線(xiàn)段上是否存點(diǎn)，使得二面角為大小為，說(shuō)明理由【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）長(zhǎng)方形中，連結(jié)，因?yàn)椋?是中點(diǎn)，所以，從而，所以,再根據(jù)，可得線(xiàn)面垂直，從而證明平面 平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量，取面的一個(gè)法向量是，利用其夾角為，即可得出. （2）因?yàn)槠矫?平面，交線(xiàn)是，所以在面過(guò)垂直于的直線(xiàn)必然垂直平面以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸，過(guò)作平面的垂線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系 依題意，即，解方程得，或，取，因此在線(xiàn)段上存點(diǎn)，使得二面角為大小為點(diǎn)睛：立體幾

2、何問(wèn)題對(duì)于第一問(wèn)，要注意結(jié)合圖形，特別是中點(diǎn)，尋求垂直或平行關(guān)系，對(duì)于第二問(wèn)關(guān)鍵是建系寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得的法向量來(lái)求二面角的余弦，注意對(duì)角是銳角鈍角的分析.2如圖所示，在底面為正方形的四棱柱中， .（1）證明：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】試題分析：（1）連交于,由條件可得，又由得到 ，從而可得平面由四邊形為平行四邊形可得，所以平面，因此平面平面（2）由條件可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線(xiàn)的法向量，根據(jù)兩向量的夾角的余弦值可求得線(xiàn)面角的正弦值由題意得，故四邊形為平行四邊形，平面，又平面內(nèi)， 平面平面 （2）由題意得兩兩垂

3、直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，為等邊三角形，又，則， ， 3如圖，在直三棱柱中， 、分別為、的中點(diǎn)， ， .（1）求證：平面平面；（2）若直線(xiàn)和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：（1）要證面面垂直，先證線(xiàn)面垂直， 平面，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直線(xiàn)的方向向量，根據(jù)公式得到線(xiàn)面角的正弦值。.（2）由（1）可知以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向，建立坐標(biāo)系.設(shè)， ， ， ， ， ， ， 直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量可知， ， 設(shè)平面的法向量設(shè)平面的法向量記二面角的平面角為二面

4、角的平面角的正弦值為.4如圖,在幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為梯形, ,平面與平面垂直，且.（1）求證： 平面；（2）若,且平面與平面所成銳二面角的余弦值為,求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1.試題解析：（1)證明：因?yàn)槠矫媾c平面垂直且，平面與平面的交線(xiàn)為 所以面， 又面所以， 在矩形中， 又四邊形為梯形， 所以與相交，故平面 （2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為軸建立空間坐標(biāo)系所以平面的法向量為易知，平面的法向量為，因?yàn)槠矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為，則，即，解得，即5如圖，四棱錐，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面平面，底面是的

5、菱形， 為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.（）求證： ；（）試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.【答案】()證明見(jiàn)解析；() .試題解析：（）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由題意可得， 均為正三角形，所以， ，又，所以平面，又平面，所以. 因?yàn)?，所?（）由（）可知.又平面平面，平面平面， 平面，所以平面.故可得兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ，所以 ，由，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以， ，所以當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：解決立體幾何中探索性問(wèn)題的基本策略通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在（或結(jié)論成立），然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明

6、；若導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在6如下圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正四面體（各條棱均相等的三棱錐）的頂點(diǎn)分別在軸， 軸， 軸上.（）求證： 平面；（）求二面角的余弦值.【答案】（）見(jiàn)解析（）.試題解析：（）由，易知.設(shè)，則， ， ， ,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，可得 ，解得，所以.又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面. 點(diǎn)睛：立體幾何中求直線(xiàn)與平面成的角和二面角，有兩種方法：第一種是根據(jù)“空間角”的定義作出反應(yīng)這個(gè)“空間角”的“平面角”，然后在三角形中求解，這種方法有三個(gè)步驟：一作二證三計(jì)算；第二種是根據(jù)圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系（充分利用圖形中的垂直關(guān)系），寫(xiě)出各點(diǎn)坐

7、標(biāo)，求出平面的法向量，直線(xiàn)的方程向量，利用向量的夾角來(lái)求“空間角”，這種方法重在計(jì)算，解題步驟固定7如圖，三棱柱中， 平面， ， .過(guò)的平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).(l)求證： 平面；()求證：四邊形為平行四邊形；()若是，求二面角的大小【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 見(jiàn)解析(3) 【解析】試題分析：（）由線(xiàn)面垂直的性質(zhì) 可得，由菱形的性質(zhì)可得從而由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面；（）先證明平面，再根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，從而得四邊形為平行四邊形；（）在平面內(nèi)，過(guò)作因?yàn)?平面，所以，以 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可知平面的法向量為，根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，利用空間

8、向量夾角余弦公式可得結(jié)果. （）因?yàn)?， 平面，所以 平面因?yàn)?平面平面，所以 因?yàn)?平面平面，平面平面，平面平面，所以 所以 四邊形為平行四邊形由（）得平面的法向量為 設(shè)平面的法向量為， 則 即 令，則， ，所以 所以 由圖知 二面角的平面角是銳角，所以 二面角的大小為 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面垂直的判定定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì)、面面平行的直線(xiàn)以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀(guān)察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間

9、位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離. 8在等腰梯形中， ，將梯形沿著翻折至（如圖），使得平面與平面垂直（）求證： ；（）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值【答案】（）見(jiàn)解析（）.試題解析：（）證明，不妨設(shè)，過(guò)作垂線(xiàn)交于，則， ， 所以，所以，又因?yàn)槠矫媾c平面垂直，所以平面,所以 （）建立如圖坐標(biāo)系， 9如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，DAB=60（1）求證：直線(xiàn)AM平面PNC；（2）求二面角DPCN的余弦值【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：（1）在上取一點(diǎn)，使，連接， ，可得， ， 為

10、平行四邊形，即，即可得直線(xiàn)平面（2）取中點(diǎn)，可得， ， 相互垂直，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知平面的法向量，求出面的法向量，計(jì)算出兩向量夾角即可.試題解析：（1）在上取一點(diǎn)，使，連接， ，（2）取中點(diǎn)，底面是菱形， ，即，又平面，又，直線(xiàn)平面，故， ， 相互垂直，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系10如圖，在四棱錐中， 為等邊三角形，平面平面， ， ， 為的中點(diǎn).（1）求二面角的正弦值；（2）若平面，求的值.【答案】（1）（2）. 【解析】試題分析：(1)由題意可知， ， ，據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面的法向量為，且平面的一個(gè)法向量為，據(jù)此計(jì)算可得二面角的正弦值為. (2)結(jié)合

11、(1)中的空間直角坐標(biāo)系有，據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程： ，解方程有： . 則， ， 設(shè)平面的法向量為，則 ,即令，則，于是，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，所以， ，所以二面角的正弦值為. 11已知正四棱錐的各條棱長(zhǎng)都相等，且點(diǎn)分別是的中點(diǎn).（1）求證: ；（2）若平面，且，求的值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】試題分析：(1)由題意易證： . , 所以平面 ，從而證得結(jié)果；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，因?yàn)槠矫?，所以，從而得到的?試題解析：（1）設(shè),則為底面正方形中心，連接,因?yàn)闉檎乃箦F.所以平面,所以.又,且,所以平面;因?yàn)槠矫?故.因?yàn)槠矫?，所以，?解得,所以.1

12、2如圖1 ,在ABC中，AB=BC=2, B=90,D為BC邊上一點(diǎn)，以邊AC為對(duì)角線(xiàn)做平行四邊形ADCE，沿AC將ACE折起，使得平面ACE 平面ABC,如圖2. (1)在圖 2中，設(shè)M為AC的中點(diǎn)，求證:BM丄AE；(2)在圖2中，當(dāng)DE最小時(shí)，求二面角A -DE-C的平面角.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件推出，再由平面平面推出平面，即可得證；（2）分別以射線(xiàn)， 的方向?yàn)椋?軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)和的坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的平面角.（2）如圖，分別以射線(xiàn)， 的方向?yàn)椋?軸的正方向，建立空

13、間直角坐標(biāo)系設(shè)，則， ， ， ， ，平面平面當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 最小，此時(shí)， 設(shè)， 平面，則，即令，可得， ，則有觀(guān)察可得二面角的平面角13（本題分）如圖， 和所在的平面互相垂直，且， （）求證： （）求直線(xiàn)與面所成角的大小的正弦值（）求二面角的大小的余弦值【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2) （3）【解析】試題分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，即證；（2）求出平面的一個(gè)法向量，利用公式即可得到直線(xiàn)與面所成角的大小的正弦值，（3）求出平面的法向量，結(jié)合（2），利用公式求出二面角的大小的余弦值試題解析：（）設(shè)，作于，連結(jié)，以點(diǎn)為原點(diǎn)， ， ， 的方向分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則， ， ，

14、 ， ，所以， ，（）解：設(shè)平面的法向量，則，即，令，則， ，又二面角為鈍角，二面角的余弦值為點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線(xiàn)面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 14如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ABC60，為正三角形，且側(cè)面PAB底面ABCD， 為線(xiàn)段的中點(diǎn)， 在線(xiàn)段上.（I）當(dāng)是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，求證：PB / 平面ACM；（II）求證： ；（III）是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為60，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案

15、】（）見(jiàn)解析；（）見(jiàn)解析；()當(dāng)時(shí)，二面角的大小為60.試題解析：（I）證明：連接BD交AC于H點(diǎn)，連接MH，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以點(diǎn)H為BD的中點(diǎn). 又因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MH / BP.又因?yàn)?BP 平面ACM, 平面ACM.所以 PB / 平面ACM. 則， ， ， 假設(shè)棱上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為， ，則，所以，所以， ，設(shè)平面的法向量為，則，解得點(diǎn)睛：(1)探索性問(wèn)題通常用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿(mǎn)足條件的元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、

16、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法. 15如圖，四棱柱的底面是菱形， ， ， （）證明：平面平面；（）若，直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為.若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（）見(jiàn)解析；（） 或.【解析】試題分析：（）用幾何法證明，先證得平面，再證平面平面.（）由條件可得兩兩相互垂直，故可建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算求解。（）在菱形中，由，可得， 由，可得.在三角形中，由，可得.故得兩兩相互垂直.以為原點(diǎn)， 方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則， ， ， ，由，可得， ，設(shè)， ，所以.設(shè)平面的法向量為，點(diǎn)睛：（1）用向量法解立

17、體幾何問(wèn)題時(shí)，在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵是如何確定點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于不容易確定坐標(biāo)的點(diǎn)，可通過(guò)向量的運(yùn)算、相等向量等方法去確定點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）由于本題（）中，要求是“直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)”，故求出的點(diǎn)應(yīng)有兩個(gè)，解題時(shí)要注意對(duì)題意的理解。16如圖所示，三棱柱中，已知側(cè)面.（1）求證： 平面；（2）是棱長(zhǎng)上的一點(diǎn)，若二面角的正弦值為，求的長(zhǎng).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：（）證明ABBC1，在CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后證明BCBC1，利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明C1B平面ABC（）通過(guò)AB，BC，BC1兩兩垂直以B為原點(diǎn)，BC，BA，BC1所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直

18、角坐標(biāo)系求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AB1E的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量通過(guò)向量的數(shù)量積，推出的方程，求解即可 由可以知道， ， ，兩兩垂直，以為原點(diǎn)， ， ，所在直線(xiàn)為， ， 軸建立空間直角坐標(biāo)系.則， ， ， ， ， ， .令， .設(shè)平面的一個(gè)法向量為，令，則， ，平面，是平面的一個(gè)法向量，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以或.或.點(diǎn)睛：本題考查面面垂直，線(xiàn)面垂直，線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定及性質(zhì)以及二面角的余弦，屬于中檔題。對(duì)于第一問(wèn)，要注意結(jié)合圖形，特別是中點(diǎn)，尋求垂直或平行關(guān)系，本題利用了余弦定理，求邊長(zhǎng)，再利用勾股定理得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，對(duì)于第二問(wèn)關(guān)鍵是建系寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得的法向量來(lái)求二面角的余弦，注意對(duì)角是銳角鈍角的分析.