吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2015屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 解三角形學(xué)案 理

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1、吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2015屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 解三角形學(xué)案 理知識梳理：1、直角三角形各元素之間的關(guān)系:如圖1,在RtABC中，C=900 ，BC=a，AC=b，Ab=c。（1）、三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；（勾股定理）（2）、銳角之間的關(guān)系：A+B=900（3）、邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)的定義）：sinA=cosB=ac sinB=cosA=bc ,tanA=1tanB=ab 2、斜三角形各元素之間的關(guān)系：如圖2，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）、三角形內(nèi)角之間的關(guān)系：A+B+C= ；sin(A+B)=sinC, cos(A+B)

2、=-cosC;tan(A+B)=-tanC sinA+B2=cosC2； cosA+B2=sinC2；（2）、三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等；即 asinA= bsinB= csinC=2R (2R為外接圓的直徑)正弦定理變形： （4）、余弦定理： 余弦定理變形： 3、三角形的面積公式：（1）、SABC= 12aha= 12bhb= 12chc（ha，hb，hc分別表示a，b，c三邊上的高）1 / 10（2）、SABC=12absinC=12bcsinA=12casinB（3）、SABC=2R2sinAs

3、inBsinC=abc4R (2R為外接圓的直徑)（4）、SABC=ss-as-b（s-c） ；s=12（a+b+c）(高考了解)（5）、SABC=rs（r為內(nèi)切圓半徑，s=12（a+b+c）4、解三角形：由三角形的六個元素（即三個內(nèi)角和三條邊）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其它未知元素的問題叫做解三角形，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等，解三角形問題一般可以分為下面兩個情形：若給出是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形為斜三角形，則稱為解斜三角形。5、實際問題中的應(yīng)用。（1）、仰角和俯角：（2）、方位角： （3）、坡度角：

4、（4）、距離、角度的測量測量距離問題；測量高度問題；測量角度問題。二、題型探究探究一：利用正余弦定理解三角形例1: (2014安徽)（本小題滿分12分）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.()求a的值；()求的值.探究二:求三角形的面積例3：已知a、b、c分別表示A、B、C的對邊，A，B，C成等差數(shù)列，cosA=45 ，b=3（1）、求sinC的值（2）、求ABC的面積。例4：已知ABC三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，其外接圓的半徑為1，且有sinA-sinC+ 22 cos(A-C)=22（1）、求A，B，C大?。焕?：已知ABC三個內(nèi)角A，B，C成

5、等差數(shù)列，三邊a、b、c成等比數(shù)列，證明：ABC為正三角形。探究三：判斷三角形的形狀例5：在ABC中，已知asinA=bsinB，試判斷三角形的形狀；例6：在ABC中，已知acosA=bcosB，試判斷三角形的形狀；例7：在ABC中，已知acosB=bcosA，試判斷三角形的形狀；探究四：正余定理的實際應(yīng)用(2014上海)（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，某公司要在兩地連線上的定點處建造廣告牌，其中為頂端，長35米，長80米，設(shè)在同一水平面上，從和看的仰角分別為.（1） 設(shè)計中是鉛垂方向，若要求，問的長至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？（2） 施工

6、完成后.與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實測得求的長（結(jié)果精確到0.01米）？三、方法提升：（1）、解斜三角形的常規(guī)思維方法：已知兩角和一邊，可先用正弦定理解；已知兩邊和夾角，先用余弦定理，之后再用正弦定理；已知兩邊及一邊所對的角，應(yīng)用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，這種情況要結(jié)合圖形討論解的情況；已知三邊，用余弦定理。（2）、三角形的內(nèi)切圓半徑R=2SABCa+b+c ，特別地，R直=a+b-c斜2（3）、三角形中中射影定理（4）、兩內(nèi)角與正弦關(guān)系：在ABC中，ABsinAcosA+cosB+cosC; tanAtanBtanC1四、反思感悟 五、課時作業(yè)正弦、余弦定理的應(yīng)用一、選擇題（每小題6

7、分，共60分）1在ABC中，“”是“”的 （ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件2ABC中，A，B的對邊分別為a,b，且A=60，那么滿足條件的ABC（ ）A有一個解 B有兩個解 C無解 D不能確定3在三角形中, 如果, 那么這個三角形是 （ ）A直角三角形 B 銳角三角形 C鈍角三角形 D 直角三角形或鈍角三角形4已知中，那么角等于 （ ）ABCD5的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則A B C D6在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，A=,a=,b=1，則c= ( )A 1 B 2 C 1 D 7在中，AB=

8、3，AC=2，BC=，則 ( )A B C D8在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2+c2-b2ac,則角B的值為 （ ）A. B. C.或 D.或9設(shè)A是ABC中的最小角，且，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）Aa3 Ba1 C1a3 Da010在ABC中，若三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列且ABC，則的取值范圍是（ ）ABC D題號12345678910答案二、填空題（本大題共4小題，每題6分，共24分）11在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知 則A 12在ABC中,若B=300，AB=2，AC=2，則ABC的面積S是 13ABC的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 16在中，角的對邊分別為（1）求；（2）若，且，求.17在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積15解：（I）由題意得，兩式相減，得（II）由的面積，得，16解：（1），又 解得，是銳角（2）， ，又17解：（）由余弦定理得，又，得 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！