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1、
第4頁(yè)
高中知識(shí)點(diǎn)之集合
一、集合的有關(guān)概念
L定義：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為 元素，一些元素組成的總體叫 集合，也簡(jiǎn)稱(chēng)集
2 .春丕萬(wàn)法」集合通常用大括號(hào){ }或大寫(xiě)的拉丁字母 A,B,C…表示，
而元素用小寫(xiě)的拉丁字母 a,b,c…表示。
3 .集合機(jī)等二—構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。
4 .元素與集合的關(guān)系：（元素與集合的關(guān)系有“屬于 ”及“不屬于 兩種）
⑴若a是集合A中的元素，則稱(chēng)a屬于集合A,記作a_A;
⑵若a不是集合A的元素，則稱(chēng)a不屬于集合 A,記作a_Ao
5 .寅出的數(shù)集及m達(dá)一：
非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N;
正整數(shù)集，記作
2、N*或N + ； N內(nèi)排除0的集
實(shí)數(shù)集，記作R;
整數(shù)集，記作Z; 有理數(shù)集，記作 Q;
6 .天王集合的也素的特延—
⑴確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）?！爸袊?guó)古代四大發(fā)明”
（造紙，印刷，火藥，指南針）可以構(gòu)成集合，其元素具有確定性；而“比較大
的數(shù)”，“平面點(diǎn)P周?chē)狞c(diǎn)” 一般不構(gòu)成集合，因?yàn)榻M成它的元素是不確定的
⑵互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。 ^
如:方程（x-2）（x-1） 2=0的解集表示為 1,-2 ，而不是 1,1,-2
⑶無(wú)
3、序性：即集合中的元素?zé)o順序，可以任意排列、調(diào)換。
7 .元素與集合的夫系：……（元素與集合的關(guān)系有“屬于 ”及“不屬于 ”兩種）
⑴若a是集合A中的元素，則稱(chēng)a屬于集合A,記作a_A;
⑵若a不是集合A的元素，則稱(chēng)a不屬于集合 A,記作a_Ao
、集合的表示方法
L列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái) ，并用花括號(hào)“ ”括起來(lái)表示集合的方法叫
列舉法。如：{1, 2, 3, 4, 5}, {x2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2},…;
說(shuō)明：⑴書(shū)寫(xiě)時(shí)，元素與元素之間用逗號(hào)分開(kāi)；
⑵一般不必考慮元素之間的順序；
⑶在表示數(shù)列之類(lèi)的特殊集合時(shí) ，通常仍按慣用的次序；
（4
4、）集合中的元素可以為數(shù)，點(diǎn)，代數(shù)式等；
⑸列舉法可表示有限集， 也可以表示無(wú)限集。當(dāng)元素個(gè)數(shù)比較少時(shí)用列舉法比較簡(jiǎn)單；
若集合中的元素較多或無(wú)限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可 以用列舉法表示。
⑹對(duì)于含有較多元素的集合，用列舉法表示時(shí)，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能
用省略號(hào)，象自然數(shù)集N用列舉法表示為 1,2,3,4,5,……
2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,稱(chēng)為描述法。 。
方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)
一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：x A| p（x）
5、
如：{x|x-3>2} , {（x,y）|y=x 2+1} , {x| 直角三角形},…；
用符號(hào)描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意：
1、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是數(shù)還是點(diǎn)、還是集合、還是其他形式？
2、元素具有怎么的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來(lái)描述元素所具有的屬性時(shí)， 要去偽存真，
而不能被表面的字母形式所迷惑。
三、集合的分類(lèi)
有限集：含有有限個(gè)元素的集合
集合的分類(lèi) 無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合
空集：不含有任何元素的集合 （empty set）
四、集合的基本關(guān)系
L子集：對(duì)于兩個(gè)集合A, B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合 B的元素，我們說(shuō)這 兩個(gè)
6、集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合 A是集合B的子集（subset）。
記作：A B（或B A） 讀作：A包含于B,或B包含A
當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí)，記作A? B（或B? A）z/二
用Venn圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系:
2 .集合相等定義：如果A是集合B的子集，且集合 B是集合A的子集，則集合 A與集合B
中的元素是一樣的，因此集合 A與集合B相等，即若 A B且B A,則A B。
如：A={x|x=2m+1 , m Z} , B={x|x=2n-1 , n Z},此時(shí)有 A=B。
3 .真子集定義：若集合A B,但存在元素x B,且x A,則稱(chēng)集合A是集合B的真子集。 記作：A
7、 /B （或B契A） 讀作：A真包含于 B （或B真包含A）
4 .空集定義：不含有任何元素的集合稱(chēng)為空集。記作：
5 .幾個(gè)重要的結(jié)論：
⑴空集是任何集合的子集；對(duì)于任意一個(gè)集合 A都有 Ao
⑵空集是任何非空集合的真子集；
⑶任何一個(gè)集合是它本身的子集；
⑷對(duì)于集合A, B, C,如果A B,且B C,那么A C。
五、集合間的基本運(yùn)算；
1 .并集：一般地，由所有屬于集合 A更屬于集合B的元素組成的集合，稱(chēng)為集合 A與集合B
的并集，即A與B的所有部分，
記作 AU B, 讀作：A 并 B 即 A U B={x|x C A 或 x C B}。
Venn圖表示：
8、CW
2 .
3 .交集定義：一般地，由屬于集合 A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作集合 A、B的
交集 i intersection set),
記作：APB 讀作：A交 B 即：A A B={x|x C A,且 xC B}
4 .全集的定義：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么
就稱(chēng)這個(gè)集合為全集，記作U,是相對(duì)于所研究問(wèn)題而言的一個(gè)相對(duì)概念。
5 .補(bǔ)集的定義：對(duì)于一個(gè)集合 A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫作集 合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，
記作：CuA,讀作：A在U中的補(bǔ)集，即CuA x x U,且x A
(陰影部分即為 A在全集U中的補(bǔ)集)
Venn圖表示:
補(bǔ)充：集合中元素的個(gè)數(shù)
在研究集合時(shí)，經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題。我們把含有有限個(gè)元素的集合 A叫
做有限集，用card(A)表示集合A中元素的個(gè)數(shù)。例如：集合 A={a,b,c}中有三個(gè)元素，我們記 作 card(A)=3.
結(jié)論：已知兩個(gè)有限集合 A, B ,有：card(A U B尸card(A)+card(B)- card(A A B).
一個(gè)集合當(dāng)中有N個(gè)元素，那么該集合的子集有 2Nj
真子集有2N-1個(gè)
非空真子集有2N-2個(gè)
高中數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)
