標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對標(biāo)準(zhǔn)偏差公式

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1、標(biāo)準(zhǔn)偏差 出自 MBA智庫百科( 　　數(shù)學(xué)表達(dá)式： 　　 S-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%） n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個 i-物料中某成分的各次測量值，1～n； 標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法 　 六個計算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式[1] 標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計算公式 　　設(shè)對真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測量, 其測得值為l1、l2、……ln。令測得值l與該量真值X之差為真差占σ, 則有　　　　σ1 = li ? X 　　σ2 = l2 ? X 　　…… 　　σn = ln ? X 　　我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱標(biāo)準(zhǔn)差)σ為 　　 　　 （1） 　

2、　由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就無法求得, 故式只有理論意義而無實用價值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計—貝塞爾公式 　　由于真值是不可知的, 在實際應(yīng)用中, 我們常用n次測量的算術(shù)平均值來代表真值。理論上也證明, 隨著測量次數(shù)的增多, 算術(shù)平均值最接近真值, 當(dāng)時, 算術(shù)平均值就是真值。 　　于是我們用測得值li與算術(shù)平均值之差——剩余誤差（也叫殘差）Vi來代替真差σ , 即 　　 　　設(shè)一組等精度測量值為l1、l2、……ln 　　則　 　　　　 　　　　…… 　　　　 　　通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差σ與剩余誤差V的關(guān)系為 　　 　　將上式代入式(

3、1)有 　　 　　　　　(2) 　　式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。 　　它用于有限次測量次數(shù)時標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算。由于當(dāng)時，,可見貝塞爾公式與σ的定義式(1)是完全一致的。 　　應(yīng)該指出, 在n有限時, 用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的一個估計值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。因此, 我們稱式(2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計。為了強(qiáng)調(diào)這一點, 我們將σ的估計值用“S ” 表示。于是, 將式(2)改寫為 　　　　(2) 　　在求S時, 為免去求算術(shù)平均值的麻煩, 經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有 　　 　　于是, 式(2)可寫為 　　　　(2") 　　按式(

4、2")求S時, 只需求出各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝 , 即可。 標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏估計 　　數(shù)理統(tǒng)計中定義S2為樣本方差 　　 　　數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明S2是總體方差σ2的無偏估計。即在大量重復(fù)試驗中, S2圍繞σ2散布, 它們之間沒有系統(tǒng)誤差。而式(2)在n有限時,S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏估計, 也就是說S和σ之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們, 對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏估計值為 　　　　(3) 　　令 　　則 　　即S1和S僅相差一個系數(shù)Kσ,Kσ是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關(guān)的一個系數(shù), Kσ值見表。 　　計算Kσ時用到

5、　　Γ(n + 1) = nΓ(n) 　　 　　Γ(1) = 1 　　由表1知, 當(dāng)n>30時, 。因此, 當(dāng)n>30時, 式(3)和式(2)之間的差異可略而不計。在n=30～50時, 最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n<10時, 由于Kσ值的影響已不可忽略, 宜用式(3), 求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計 　　將σ的定義式(1)中的真值X用算術(shù)平均值代替且當(dāng)n有限時就得到 　　 　　　　(4) 　　式(4)適用于n>50時的情況, 當(dāng)n>50時,n和(n-1)對計算結(jié)果的影響就很小了。 　　2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的極差估計由

6、于以上幾個標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算公式計算量較大, 不宜現(xiàn)場采用, 而極差估計的方法則有運算簡便, 計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。 　　極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的n個樣本測得值中的最大值與最小值之差。 　　若對某量作次等精度測量測得l1、，且它們服從正態(tài)分布, 則 　　R = lmax ? lmin 　　概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算公式為 　　　　(5) 　　S3稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏極差估計, d2為與樣本個數(shù)n(測得值個數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù), 其值見表2 　　 　　由表2知, 當(dāng)n≤15時,, 因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差σ更粗略的估計值

7、為 　　　　(5) 　　還可以看出, 當(dāng)200≤n≤1000時，因而又有 　　　　(5") 　　顯然, 不需查表利用式(5)和(5")了即可對標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計, 用以對用貝塞爾公式及其他公式的計算結(jié)果進(jìn)行校核。 　　應(yīng)指出,式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低, 但當(dāng)5≤n≤15時,式(5)不僅大大提高了計算速度, 而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n>10時, 由于舍去數(shù)據(jù)信息較多, 因此誤差較大, 為了提高準(zhǔn)確度, 這時應(yīng)將測得值分成四個或五個一組, 先求出各組的極差R1、, 再由各組極差求出極差平均值。 　　 　　極差平均值和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 　　 　　

8、需指出, 此時d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)去查表2。再則, 分組時一定要按測得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。 標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的平均誤差估計 　　平均誤差的定義為 　　 　　 　　誤差理論給出 　　　　(A) 　　可以證明與的關(guān)系為 　　(證明從略) 　　 　　于是　　　　(B) 　　由式(A)和式(B)得 　　 　　從而有 　　 　　 　　 　　式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用該公式估計δ值, 由于\right|V\right|不需平方,故計算較為簡便。但該式的準(zhǔn)確度不

9、如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。 標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實例[1] 　　對標(biāo)稱值Ra = 0.160 < math > μm < math > 的一塊粗糙度樣塊進(jìn)行檢定, 順次測得以下15個數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63μm, 試求該樣塊Rn的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。 　　解：1)先求平均值 　　 　　 　　2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S 　　若用無偏極差估計公式式(5)計算, 首先將測得的, 15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個, 見表3。

10、 　　表3 組號 l_1 l_5 R 1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.19 2 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.31 3 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24 　　因每組為5個數(shù)據(jù), 按n=5由表2查得 　　故 　　 　　若按常用估計即貝塞爾公式式(2) , 則 　　 　　若按無偏估計公式即式(3)計算, 因n=15，由表1查得Kδ = 1.018, 則 　　 　　若按最大似然估計公式即式(4)計算, 則 　　 　　

11、 　　 = 0.09296( < math > μm < math > ) 　　若按平均誤差估計公式即式(6), 則 　　 　　 　　現(xiàn)在用式(5)對以上計算進(jìn)行校核 　　 　　可見以上算得的S、S1、S2、S3和S4沒有粗大誤差。 　　由以上計算結(jié)果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062 　　即　S2 < S < S1 < S4 < S3 　　可見, 最大似然估計值最小, 常用估計值S稍大, 無偏估計值S1又大, 平均誤差估計值S4再大, 極差估計值S3最大?？v觀這幾個值, 它們相當(dāng)接近, 最大差值僅為0.01324μm

12、。從理論上講, 用無偏估計值和常用估計比較合適, 在本例中, 它們僅相差0.0017μm?？梢韵嘈? 隨著的增大, S、S1、S2、S3和S4之間的差別會越來越小。 　　就本例而言, 無偏極差估計值S3和無偏估計值S1僅相差0.0083μm, 這說明無偏極差估計是既可以保證一定準(zhǔn)確度計算又簡便的一種好方法。 　　JJG102-89《表面粗糙度比較樣塊》規(guī)定Ra的平均值對其標(biāo)稱值的偏離不應(yīng)超過+12%～17%, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值的4%～12%之間。已得本樣塊二產(chǎn),產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi), 故該樣塊合格。 標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別 　　標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)各數(shù)據(jù)

13、偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根?！　?biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 　　例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。 　　標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 統(tǒng)計學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度

14、之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來衡量。 有人經(jīng)?；煊镁礁`差（RMSE）與標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation），實際上二者并不是一回事。 1.均方根誤差 均方根誤差為了說明樣本的離散程度。 均方根誤差（root-mean-square error ）亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差，其定義為 ，i＝1，2，3，…n。在有限測量次數(shù)中，均方根誤差常用下式表示：，式中，n為測量次數(shù)；di為一組測量值與平均值的偏差。如果誤差統(tǒng)計分布是正態(tài)分布，那么隨機(jī)誤差落在土σ以內(nèi)的概率為68％?！?

15、 2.標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。 標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實驗標(biāo)準(zhǔn)差。 均方根值也稱作為效值，它的計算方法是先平方、再平均、然后開方。比如幅度為100V而占空比為0.5的方波信號，如果按平均值計算，它的電壓只有50V，而按均方根值計算則有70.71V。這是為什么呢？舉一個例子，有一組100伏的電池組，每次供電10分鐘之后停10分鐘，也就是說占空比為一半。如果這組電池帶動的是10Ω電阻，供電的10分鐘產(chǎn)生10A的電流和1000W的功率，停電時電流和功率為零。 那么在20分鐘的一個周期內(nèi)其平均功率為500W，這

16、相當(dāng)于70.71V的直流電向10Ω電阻供電所產(chǎn)生的功率。而50V直流電壓向10Ω電阻供電只能產(chǎn)生的250W的功率。對于電機(jī)與變壓器而言，只要均方根電流不超過額定電流，即使在一定時間內(nèi)過載，也不會燒壞。 PMTS1.0抽油機(jī)電能圖測試儀對電流、電壓與功率的測試計算都是按有效值進(jìn)行的，不會因為電流電壓波形畸變而測不準(zhǔn)。這一點對于測試變頻器拖動的電機(jī)特別有用。 均方根誤差為了說明樣本的離散程度。 對于N1,....Nm,設(shè)N=(N1+...+Nm)/m;則均方根誤差記作： .F6F!M n+t8Q5i.Y-m t=sqrt(((N^2-N1^2)+...+(N^2-Nm^2))/(m(m-1)

17、))； 比如兩組樣本： 第一組有以下三個樣本：3，4，5 第二組有一下三個樣本：2，4，6 這兩組的平均值都是4，但是第一組的三個數(shù)值相對更靠近平均值，也就是離散程度小，均方差就是表示這個的。 同樣，方差、標(biāo)準(zhǔn)差(方差開根,因為單位不統(tǒng)一)都是表示數(shù)據(jù)的離散程度的。 幾種典型平均值的求法 （1）算術(shù)平均值這種平均值最常用。設(shè)x1、x2、… 、x n為各次的測量值，n代表測量次數(shù)，則算術(shù)平均值為 　　　　　　　　　　 （2）均方根平均值 　　　　　　　　　 （3）幾何平均值 　　　　　　　　 （4）對數(shù)平均值 　　　　　　　　 （5）加權(quán)平均值 　　　　

18、　　　　 相對標(biāo)準(zhǔn)方差的計算公式 　 準(zhǔn)確度：測定值與真實值符合的程度 絕對誤差：測量值（或多次測定的平均值）與真（實）值之差稱為絕對誤差，用δ表示。 相對誤差：絕對誤差與真值的比值稱為相對誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。 　　絕對誤差可正可負(fù)，可以表明測量儀器的準(zhǔn)確度，但不能反映誤差在測量值中所占比例，相對誤差反映測量誤差在測量結(jié)果中所占的比例，衡量相對誤差更有意義。 　　例：用刻度0.5cm的尺測量長度，可以讀準(zhǔn)到0.1cm，該尺測量的絕對誤差

19、為0.1cm；用刻度1mm的尺測量長度，可以讀準(zhǔn)到0.1mm，該尺測量的絕對誤差為0.1mm。 　　例：分析天平稱量誤差為0.1mg, 減重法需稱2次，可能的最大誤差為0.2mg, 為使稱量相對誤差小于0.1%，至少應(yīng)稱量多少樣品？ 　 　　答：稱量樣品量應(yīng)不小于0.2g。 真值（μ）：真值是客觀存在的，但任何測量都存在誤差，故真值只能逼近而不可測知，實際工作中，往往用“標(biāo)準(zhǔn)值”代替“真值”。標(biāo)準(zhǔn)值：采用多種可靠的分析方法、由具有豐富經(jīng)驗的分析人員經(jīng)過反復(fù)多次測定得出的結(jié)果平均值。 精密度：幾次平行測定結(jié)果相互接近的程度。 　　各次測定結(jié)果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。

20、 偏差：單次測量值與樣本平均值之差： 平均偏差：各次測量偏差絕對值的平均值。 相對平均偏差：平均偏差與平均值的比值。 標(biāo)準(zhǔn)偏差：各次測量偏差的平方和平均值再開方，比平均偏差更靈敏的反映較大偏差的存在，在統(tǒng)計學(xué)上更有意義。 相對標(biāo)準(zhǔn)偏差（變異系數(shù)） 　　例：分析鐵礦石中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），計算測結(jié)果的平均值、平均偏差、相對平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、變異系數(shù)。 準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系： 　　1）精密度是保證準(zhǔn)確度的先決條件：精密度不符合要求，表示所測結(jié)果不可靠，失去衡量準(zhǔn)確度的前提。 　　2）精密度高不能保證準(zhǔn)確度高。 　　換言之，準(zhǔn)確的實驗一定是精密的，精密的實驗不一定是準(zhǔn)確的。 重復(fù)性試驗 按擬定的含量測定方法，對同一批樣品進(jìn)行多次測定(平行試驗至少5次以上，即n>5)，計算相對標(biāo)準(zhǔn)偏差(RSD)，一般要求低于5% 15