九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 一元二次方程一元二次方程的解法三公式法因式分解法知識(shí)講解及例題演練 新版北師大版

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1、 一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知識(shí)講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程； 2. 正確理解因式分解法的實(shí)質(zhì)，熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程； 3. 通過求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想． 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　　　一元二次方程，當(dāng)時(shí)，. 2.一元二次方程根的判別式 一元二次方程根的判別式：． 　　　 ①當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根； 　　　 ②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 　　　

2、 ③當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根. 3.用公式法解一元二次方程的步驟 　 用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟： 　　　 ①把一元二次方程化為一般形式； 　　　 ②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）； 　　　 ③求出的值； 　　　 ④若，則利用公式求出原方程的解； 　　　 　若，則原方程無實(shí)根. 要點(diǎn)詮釋： （1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡(jiǎn)單的，一定要注意方法的選用. （2）一元二次方程，用配方法將其變形為： ①當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根： ② 當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根： ③ 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)

3、數(shù)．因此，方程沒有實(shí)根. 要點(diǎn)二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步驟 　?。?）將方程右邊化為0； 　?。?）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積； 　?。?）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程； 　　（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要點(diǎn)詮釋： （1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積； （2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因

4、式中至少有一個(gè)等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式. 【典型例題】 類型一、公式法解一元二次方程 1．解關(guān)于x的方程． 【答案與解析】 (1)當(dāng)m+n＝0且m≠0，n≠0時(shí)，原方程可化為． ∵ m≠0，解得x＝1． (2)當(dāng)m+n≠0時(shí)， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 【總結(jié)升華】解關(guān)于字母系數(shù)的方程時(shí)，應(yīng)該對(duì)各種可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行討論． 舉一反三： 【變式】解關(guān)于的方程； 【答案】原方程可化為 ∵ ∴

5、 ∴ ∴ 2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m； 【答案與解析】 方程整理為， ∴ ，∴ a＝1，b＝-2，c＝-13， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 【總結(jié)升華】先將原方程化為一般式，再按照公式法的步驟去解. 舉一反三： 【變式】用公式法解下列方程： 【答案】∵ ∴ ∴ ∴ 類型二、因式分解法解一元二次方程 3．已知3是關(guān)于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則△ABC

6、的周長(zhǎng)為（　?。? A．7 B．10 C．11 D．10或11 【思路點(diǎn)撥】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通過因式分解法解方程求得該方程的兩根，即等腰△ABC的兩條邊長(zhǎng)，由三角形三邊關(guān)系和三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行解答即可． 【答案】D 【解析】 解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0， 解得m=6， 則原方程為x2﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， 因?yàn)檫@個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰△ABC的兩條邊長(zhǎng)， ①當(dāng)△ABC的腰為4，底邊為3時(shí)，則△ABC的周長(zhǎng)為4+4+3=11； ②當(dāng)△ABC的腰為3，底邊為4時(shí)，則△ABC的周長(zhǎng)為3+3+4=10． 綜上所述

7、，該△ABC的周長(zhǎng)為10或11． 故選：D． 【總結(jié)升華】本題考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三邊的關(guān)系． 舉一反三： 【變式】解方程 （1）x2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0． 【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0 ∴x-3=0，x+1=0 ∴x1=3,x2=-1. （2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0 ∴x-1=0，3x-1=0 ∴x1

8、=1,x2=. 4．如果，請(qǐng)你求出的值． 【答案與解析】 設(shè)，∴ z(z-2)＝3． 整理得：，∴ (z-3)(z+1)＝0． ∴ z1＝3，z2＝-1． ∵ ，∴ z＝-1(不合題意，舍去) ∴ z＝3． 即的值為3． 【總結(jié)升華】如果把視為一個(gè)整體，則已知條件可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)一元二次方程的形式，用因式分解法可以解這個(gè)一元二次方程．此題看似求x、y的值，然后計(jì)算，但實(shí)際上如果把看成一個(gè)整體，那么原方程便可化簡(jiǎn)求解。這里巧設(shè)再求z值，從而求出的值實(shí)際就是換元思想的運(yùn)用． 易錯(cuò)提示:忽視，而得或． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375