高中數學 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第2課時 兩角和與差的正切公式學案 新人教A版必修4

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1、 第2課時　兩角和與差的正切公式 學習目標：1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明．(重點)3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應用．(難點) [自 主 預 習探 新 知] 兩角和與差的正切公式 名稱 簡記符號 公式 使用條件 兩角和 的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan αtan β≠1 兩角差 的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan αtan β≠－1 [基礎自測] 1．思

2、考辨析 (1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　) (2)對任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　) (3)tan(α＋β)＝等價于tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．(　　) [解析]　(1)√.當α＝0，β＝時，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情況下不成立． (2).兩角和的正切公式的適用范圍是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)． (3)√.當α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)時，由前一個式子兩邊同乘以1－tan αtan β可得后一個式子．

3、[答案]　(1)√　(2)　(3)√ 2．已知tan α＝2，則tan＝________. －3　[tan＝＝＝－3.] 3．＝________. 　[原式＝tan(75－15)＝tan 60＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 兩角和與差的正切公式的正用 　(1)已知α，β均為銳角，tan α＝，tan β＝，則α＋β＝________. (2)如圖312，在△ABC中，AD⊥BC，D為垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，則tan∠BAC＝________. 圖312 [思路探究]　(1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.

4、 (2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依據tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值． (1)　(2)　[(1)∵tan α＝，tan β＝， ∴tan(α＋β)＝ ＝＝1. ∵α，β均為銳角， ∴α＋β∈(0，π)， ∴α＋β＝. (2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6， ∴tan∠BAD＝＝， tan∠CAD＝＝， tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD) ＝ ＝ ＝.] [規(guī)律方法]　1.公式T(αβ)的結構特征和符號規(guī)律： (1)結構特征：公式T(αβ)的右側為分式形式，其中分子為tan α與tan β的和或差，分母為1與tan

5、αtan β的差或和． (2)符號規(guī)律：分子同，分母反． 2．利用公式T(α＋β)求角的步驟： (1)計算待求角的正切值． (2)縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息． (3)根據角的范圍及三角函數值確定角． [跟蹤訓練] 1．(1)(2018全國卷Ⅱ)已知tanα－＝，則tan α＝________. (2)已知角α，β均為銳角，且cos α＝，tan(α－β)＝－，則tan β＝________. (1)　(2)3　[(1)因為tanα－＝， 所以tan α＝tanα－＋ ＝＝＝. (2)因為cos α＝，α為銳角，所以sin α＝，tan α＝， 所以tan β

6、＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.] 兩角和與差的正切公式的逆用 　(1)＝________. (2)＝________. 【導學號：84352318】 [思路探究]　注意特殊角的正切值和公式T(αβ)的結構，適當變形后逆用公式求值． (1)　(2)－1　[(1)原式＝ ＝tan(45＋15) ＝tan 60＝. (2)原式＝ ＝ ＝tan(30－75)＝－tan 45＝－1.] [規(guī)律方法]　公式T(αβ)的逆用 一方面要熟記公式的結構，另一方面要注意常值代換. 如tan＝1，tan＝，tan＝等. 要特別注意tan＝，tan＝. [跟蹤訓練] 2．已知

7、α、β均為銳角，且sin 2α＝2sin 2β，則(　　) A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β) A　[∵sin 2α＝2sin 2β， ∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， ∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)， ∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)， 兩邊同除以cos

8、(α－β)cos(α＋β)得 tan(α＋β)＝3tan(α－β)．] 兩角和與差的正切公式的變形運用 [探究問題] 1．兩角和與差的正切公式揭示了tan αtan β與哪些式子的關系？ 提示：揭示了tan αtan β與tan α＋tan β，tan αtan β與tan α－tan β之間的關系． 2．若tan α、tan β是關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩個根，則如何用a、b、c表示tan(α＋β)? 提示：tan(α＋β)＝＝＝－. 　(1)tan 67－tan 22－tan 67tan 22＝________. (2)已知△AB

9、C中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，試判斷△ABC的形狀. 【導學號：84352319】 [思路探究]　(1)看到tan 67－tan 22與tan 67tan 22想到將tan(67－22)展開變形，尋找解題思路． (2)先由關于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入關于角B，C的等式求角B，最后求角A，判斷△ABC的形狀． (1)1　[∵tan 67－tan 22 ＝tan(67－22)(1＋tan 67tan 22) ＝tan 45(1＋tan 67tan 22) ＝1＋tan 6

10、7tan 22， ∴tan 67－tan 22－tan 67tan 22 ＝1＋tan 67tan 22－tan 67tan 22＝1.] (2)解：∵tan A＋tan B ＝tan Atan B－1， ∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， ∴＝－， ∴tan(A＋B)＝－. 又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝， ∴C＝. ∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝， tan C＝， ∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝， ∴B＝，∴A＝， ∴△ABC為等腰鈍角三角形． 母題探究：1.將例3(1)中的角同時增加1結果又如何？ [解]　

11、∵tan 45＝tan(68－23)＝， ∴1＋tan 68tan 23＝tan 68－tan 23， 即tan 68－tan 23－tan 68tan 23＝1. 2．能否為例3(1)和探究1歸納出一個一般結論？若能，試證明． [解]　一般結論：若α－β＝45(α，β≠k180＋90，k∈Z)，則tan α－tan β－tan αtan β＝1. 證明：∵tan 45＝tan(α－β)＝， ∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β， 即tan α－tan β－tan αtan β＝1. [規(guī)律方法]　1.整體意識：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tan αtan β”及“ta

12、n αtan β”兩個整體，常考慮tan(αβ)的變形公式． 2．熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝； (3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan αtan β＝1－. 提醒：當一個式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時，?？紤]使用兩角和或差的正切公式． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，則tan α＝(　　) A．　　　　 B．－　　　　 C．1　　　　 D．－1

13、 A　[tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.] 2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，則tan αtan β等于(　　) 【導學號：84352320】 A．2　　　　 B．1 C．　　　　 D．4 C　[∵tan(α＋β)＝＝4，且tan α＋tan β＝2， ∴＝4，解得tan αtan β＝.] 3．求值：tan＝________. －2＋　[tan＝－tan＝－tan ＝－＝－ ＝－2＋.] 4．若tan＝3，則tan α的值為________． 　[tan α＝tan ＝＝ ＝＝＝.] 5．已知cos α＝，cos β＝，

14、其中α，β都是銳角，求tan(α＋β)的值. 【導學號：84352321】 [解]　因為α，β都是銳角，所以sin α＝＝，sin β＝＝， tan α＝＝2，tan β＝＝， 所以tan(α＋β)＝＝－2. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375