高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)19 空間向量與垂直關(guān)系 新人教A版選修21

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(十九) 空間向量與垂直關(guān)系 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k＝(　　) A．4　　 　B．－4　　 　C．5　　 　D．－5 D　[∵α⊥β，∴a⊥b，∴ab＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5.] 2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為(　　) A．，－，4 B．，－，4 C．，－2,4 D．4，，－15 B　[∵⊥，∴＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4

2、， 又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥， 則解得] 3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，則以下等式中可能不成立的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：46342170】 A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ D　[由題意知PA⊥平面ABCD，所以PA與平面上的線AB，CD都垂直，A，B正確；又因?yàn)榱庑蔚膶蔷€互相垂直，可推得對角線BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C選項(xiàng)正確．] 4．已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，點(diǎn)D滿足條件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　) A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1)或 C． D．(1,

3、1,1)或 D　[設(shè)D(x，y，z)，則＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)， ＝(－1，1,0)， ＝(0，－1,1)． 又DB⊥AC?－x＋z＝0　①， DC⊥AB?－x＋y＝0　②， AD＝BC?(x－1)2＋y2＋z2＝2　③， 聯(lián)立①②③得x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,1,1)或.故選D．] 5.如圖3214所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，則(　　) 圖3214 A．EF至多與A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF

4、⊥AC C．EF與BD1相交 D．EF與BD1異面 B　[建立分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系(圖略)，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則＝(1,0,1)， ＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)， E，F(xiàn)， ＝，∴＝0，＝0， ∴EF⊥A1D，EF⊥AC．] 二、填空題 6．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．給出下列結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一個(gè)法向量．其中正確的是________(填序號)． ①②③　[＝2(－1)＋(－1)2＋(－4)

5、(－1)＝－2－2＋4＝0，則⊥，則AB⊥AP.＝4(－1)＋22＋0＝0，則⊥，則AP⊥AD．又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一個(gè)法向量．] 7．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個(gè)平面中互相垂直的有________對. 【導(dǎo)學(xué)號：46342171】 0　[∵ab＝(0,1,1)(1,1,0)＝1≠0，ac＝(0,1,1)(1,0,1)＝1≠0，bc＝(1,1,0)(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意兩個(gè)都不垂直，即α，β，γ中任意兩個(gè)都不垂直．] 8．已知空間三點(diǎn)A(－1,1,

6、1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直線AB上存在一點(diǎn)M，滿足CM⊥AB，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________． 　[設(shè)M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由題意，得，∴x＝－，y＝，z＝1，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.] 三、解答題 9.如圖3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．求證：AM⊥平面BDF. 圖3215 [證明]　以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(xiàn)(，，1)，M. 所以＝，＝(0, ，1)，

7、＝(，－，0)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 則n⊥，n⊥， 所以? 取y＝1，得x＝1，z＝－. 則n＝(1,1，－)． 因?yàn)椋? 所以n＝－ ，得n與共線． 所以AM⊥平面BDF. 10．如圖3216所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD． 圖3216 求證：平面DEA⊥平面ECA． [證明]　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，不妨設(shè)CA＝2， 則CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)． 所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)

8、，＝(0,2，－1)． 分別設(shè)平面CEA與平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 則即 解得 即 解得 不妨取n1＝(1，－，0)， n2＝(，1,2)， 因?yàn)閚1n2＝0，所以n1⊥n2. 所以平面DEA⊥平面ECA． [能力提升練] 1．兩平面α，β的法向量分別為μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，則y＋z的值是(　　) A．－3　 B．6　　　C．－6　　　D．－12 B　[∵μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)分別為α，β的法向量且α⊥β， ∴μ⊥v， 即μv＝0， －6＋y＋z＝0

9、 ∴y＋z＝6.] 2.如圖3217，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn)．若點(diǎn)Q在線段B1P上，則下列結(jié)論正確的是(　　) 圖3217 A．當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BD B．當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BD C．在線段B1P的延長線上，存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ與平面A1BD垂直 D　[以A1為原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則由已知得

10、A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝.設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則取z＝－2，則x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(2,1，－2)．假設(shè)DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，則＝＋＝，因?yàn)橐彩瞧矫鍭1BD的法向量，所以n＝(2,1，－2)與＝共線，于是有＝＝＝成立，但此方程關(guān)于λ無解．故不存在DQ與平面A1BD垂直，故選D．] 3.如圖3218，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝

11、1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD中點(diǎn)，則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系是________. 【導(dǎo)學(xué)號：46342173】 圖3218 垂直　[以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則E，F(xiàn)，∴＝，平面PBC的一個(gè)法向量n＝(0,1,1)，∵＝－n， ∴∥n， ∴EF⊥平面PBC．] 4．設(shè)A是空間任意一點(diǎn)，n是空間任意一個(gè)非零向量，則適合條件n＝0的點(diǎn)M的軌跡是________． 過點(diǎn)A且與向量n垂直的平面　[∵n＝0，∴⊥n或＝0，∴點(diǎn)M在過點(diǎn)A且與向量n垂直的平面上．] 5．如圖32

12、19，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD． 圖3219 (1)求證：CD⊥平面PAC； (2)側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置并證明，若不存在，請說明理由． [解]　因?yàn)椤螾AD＝90，所以PA⊥AD．又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，且側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因?yàn)椤螧AD＝90，所以AB，AD，AP兩兩垂直．分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AD＝2，則A(0

13、,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． (1)證明：＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)， 可得＝0，＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD． 又因?yàn)锳P∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC． (2)設(shè)側(cè)棱PA的中點(diǎn)是E，則E，＝. 設(shè)平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，則因?yàn)椋?－1,1,0)，＝(0,2，－1)，所以取x＝1，則y＝1，z＝2，所以平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(1,1,2)． 所以n＝(1,1,2)＝0，所以n⊥. 因?yàn)锽E?平面PCD，所以BE∥平面PCD． 綜上所述，當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí)，BE∥平面PCD． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375