高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 習(xí)題課 二項(xiàng)式定理學(xué)案 新人教A版選修23

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1、習(xí)題課二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能熟練地掌握二項(xiàng)式定理的展開式及有關(guān)概念.2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題1二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念二項(xiàng)式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn，稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)C(k0,1，n)通項(xiàng)Tk1Cankbk(k0,1，n)二項(xiàng)式定理的特例(1x)nCCxCx2CxkCxn2二項(xiàng)式系數(shù)的四個(gè)性質(zhì)(楊輝三角的規(guī)律)(1)對(duì)稱性：CC；(2)性質(zhì)：CCC；(3)二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值，即最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值，即最大；(4)二項(xiàng)式系數(shù)之和：CCCCC2n，所用方法是賦值法類型一二項(xiàng)式

2、定理的靈活應(yīng)用例1(1)(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)是()A4 B3 C3 D4(2)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)答案(1)B(2)1解析(1)方法一(1)6的展開式的通項(xiàng)為C()mC(1)m，(1)4的展開式的通項(xiàng)為C()nC，其中m0,1,2，6，n0,1,2,3,4.令1，得mn2，于是(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)等于C(1)0CC(1)1CC(1)2C3.方法二(1)6(1)4(1)(1)4(1)2(1x)4(12x)，于是(1)6(1)4的展開式中x的系數(shù)為C1C(1)113.(2)(

3、1ax)(1x)5(1x)5ax(1x)5.x2的系數(shù)為CaC，則105a5，解得a1.反思與感悟兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中特定項(xiàng)問題(1)分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn)(2)找到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分(3)分別求解再相乘，求和即得跟蹤訓(xùn)練1(1)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A40 B20 C20 D40(2)在(1x)6(1y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)答案(1)D(2)120解析(1)令x1，得(1a)(21

4、)52，a1，故5的展開式中常數(shù)項(xiàng)即為5的展開式中與x的系數(shù)之和5的展開式的通項(xiàng)為Tk1(1)kC25kx52k，令52k1，得k2，展開式中x的系數(shù)為C252(1)280，令52k1，得k3，展開式中的系數(shù)為C253(1)340，5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為804040.(2)f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.例25的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)答案解析方法一原式5，展開式的通項(xiàng)為(k10,1,2，5)當(dāng)k15時(shí)，T6()54，當(dāng)0k15時(shí)，的展開式的通項(xiàng)公式為(k20,1,2，5k1)令5k12k20，即k12k2

5、5.0k15且k1Z，或常數(shù)項(xiàng)為4CC2CC()3420.方法二原式5(x)25(x)10.求原式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為求(x)10的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)，即C()5.所求的常數(shù)項(xiàng)為.反思與感悟三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問題，應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決，轉(zhuǎn)化的方法通常為配方法，因式分解，項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合，項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合時(shí)，要注意合理性和簡(jiǎn)捷性跟蹤訓(xùn)練2(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為_考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)答案30解析方法一(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項(xiàng)為T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)

6、為CC30.方法二(x2xy)5為5個(gè)x2xy之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC30.例3今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期()A一 B二 C三 D四考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案A解析求第810天是星期幾，實(shí)質(zhì)是求810除以7的余數(shù)，應(yīng)用二項(xiàng)式定理將數(shù)變形求余數(shù)因?yàn)?10(71)10710C79C717M1(MN*)，所以第810天相當(dāng)于第1天，故為星期一反思與感悟(1)利用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項(xiàng)就可以了(2

7、)解決求余數(shù)問題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式跟蹤訓(xùn)練3設(shè)aZ，且0a13，若512 017a能被13整除，則a_.考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案1解析512 017a(521)2 017aC522 017C522 016C522 015C5211a，能被13整除，0a0，則(1x)1010的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A1 B(C)2CC DC考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)答案D解析(1x)1010101020.設(shè)其展開式的通項(xiàng)為Tk1，則Tk1Cx10k，當(dāng)k10時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)故選D.4當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，7nC7n1C7n2C7被9除所得的余數(shù)是()A0

8、 B2 C7 D8考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案C解析原式(71)nC8n1(91)n19nC9n1C9n2C9(1)n1(1)n1.因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以(1)n1297，所以余數(shù)為7.5設(shè)(21)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M,8，N三數(shù)成等比數(shù)列，則展開式中第四項(xiàng)為_考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案160x解析當(dāng)x1時(shí)，可得M1，二項(xiàng)式系數(shù)之和N2n，由題意，得MN64，2n64，n6.第四項(xiàng)T4C(2)3(1)3160x.1兩個(gè)二項(xiàng)展開式乘積的展開式中特定項(xiàng)問題(1)分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn)(2)找

9、到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分(3)分別求解再相乘，求和即得2三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問題應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題解決)，轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合，項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合時(shí)要注意合理性和簡(jiǎn)捷性3用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面(或者前面)一、二項(xiàng)就可以了4求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和差：賦值代入5確定二項(xiàng)展開式中的最大或最小項(xiàng)：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一、選擇題1二項(xiàng)式12的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A第7項(xiàng) B第8項(xiàng)C第9項(xiàng) D第10項(xiàng)考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求二項(xiàng)

10、展開式的特定項(xiàng)答案C解析二項(xiàng)展開式中的通項(xiàng)公式為Tk1Cx12kkC2k，令12k0，得k8.常數(shù)項(xiàng)為第9項(xiàng)2(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A56 B84 C112 D168考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)答案D解析因?yàn)?1x)8的通項(xiàng)為Cxk，(1y)4的通項(xiàng)為Cyt，故(1x)8(1y)4的通項(xiàng)為CCxkyt.令k2，t2，得x2y2的系數(shù)為CC168.3若(x3y)n的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和等于(7ab)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和，則n的值為()A15 B10 C8 D5考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案D解析由于(

11、7ab)10的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為CC210，令(x3y)n中xy1，則由題設(shè)知，4n210，即22n210，解得n5.4若二項(xiàng)式7的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a等于()A2 B. C1 D.考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)答案C解析二項(xiàng)式7的展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C(2x)7kkC27kakx72k，令72k3，得k5.故展開式中的系數(shù)是C22a5，即C22a584，解得a1.5設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m等于()A5 B6 C7 D8考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的

12、項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大(小)的項(xiàng)答案B解析(xy)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C，aC.同理，bC.13a7b，13C7C，137，m6.6二項(xiàng)式6的展開式中不含x3項(xiàng)的系數(shù)之和為()A20 B24 C30 D36考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案A解析由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式Tk1C(1)kx123k，令123k3，解得k3，故展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為C(1)320，而所有系數(shù)和為0，不含x3項(xiàng)的系數(shù)之和為20.7在(1x)n(n為正整數(shù))的二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的和為A，偶數(shù)項(xiàng)的和為B，則(1x2)n的值為()A0 BABCA2B2 DA2B2考點(diǎn)展開式

13、中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案C解析(1x)nAB，(1x)nAB，(1x2)n(1x)n(1x)n(AB)(AB)A2B2.89192被100除所得的余數(shù)為()A1 B81 C81 D992考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案B解析利用9192(1009)92的展開式，或利用(901)92的展開式方法一(1009)92C10092C100919C1009092C100991C992.展開式中前92項(xiàng)均能被100整除，只需求最后一項(xiàng)除以100的余數(shù)由992(101)92C1092C102C101.前91項(xiàng)均能被100整除，后兩項(xiàng)和為919，因原式為正，可從前面的數(shù)中分

14、離出1 000，結(jié)果為1 00091981，9192被100除可得余數(shù)為81.方法二(901)92C9092C9091C902C90C.前91項(xiàng)均能被100整除，剩下兩項(xiàng)為929018 281，顯然8 281除以100所得余數(shù)為81.二、填空題9若6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)答案x3或x3解析6二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk1C(x2)6kkCakx123k，令123k0，得k4，Ca4，解得a2，當(dāng)a2時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C(x2)33x3.當(dāng)a2時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C(x2)33x3.10.3的展開式

15、中常數(shù)項(xiàng)為_考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)答案20解析36展開式的通項(xiàng)公式為Tk1C(1)kx62k.令62k0，解得k3.故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C20.11(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是_考點(diǎn)二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)整除和余數(shù)問題答案1.34解析(1.05)6(10.05)6CC0.05C0.052C0.05310.30.037 50.002 51.34.12已知n的展開式中含x的項(xiàng)為第6項(xiàng)，設(shè)(1x2x2)na0a1xa2x2a2nx2n，則a1a2a2n_.考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案255解析因?yàn)閚的展開式的通項(xiàng)是C(

16、1)kx2n3k(k0,1,2，n)，因?yàn)楹瑇的項(xiàng)為第6項(xiàng)，所以當(dāng)k5時(shí)，2n3k1，即n8.令x1，得a0a1a2a2n28256.又a01，所以a1a2a2n255.三、解答題13在二項(xiàng)式n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列(1)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)考點(diǎn)展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題題點(diǎn)求展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)解(1)二項(xiàng)式n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，.根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，可得n1，求得n8或n1(舍去)故二項(xiàng)式n的展開式的通項(xiàng)為Tk1C2kx4k.令4k0，求得k4，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T5C4.(2)設(shè)第k1項(xiàng)的系數(shù)最大，則由求得2k3

17、.因?yàn)閗Z，所以k2或k3，故系數(shù)最大的項(xiàng)為T37x2或T47x.四、探究與拓展14若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實(shí)數(shù)m_.考點(diǎn)展開式中系數(shù)的和問題題點(diǎn)多項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題答案3或1解析在(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9中，令x2，可得a0a1a2a3a8a9m9，即(a0a2a8)(a1a3a9)m9，令x0，可得(a0a2a8)(a1a3a9)(2m)9.(a0a2a8)2(a1a3a9)239，(a0a2a8)(a1a3a9)(a0a2a8)(a1a3a9)39，(2m)9m9(2mm

18、2)939，可得2mm23，解得m1或3.15已知(1m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開式中含有x項(xiàng)的系數(shù)為112.(1)求m，n的值；(2)求展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；(3)求(1m)n(1x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)考點(diǎn)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題題點(diǎn)求多項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)解(1)由題意可得2n256，解得n8，展開式的通項(xiàng)為Tk1Cmk，含x項(xiàng)的系數(shù)為Cm2112，解得m2或m2(舍去)故m，n的值分別為2,8.(2)展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為CCCC281128.(3)(12)8(1x)(12)8x(12)8，含x2項(xiàng)的系數(shù)為C24C221 008.我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。