高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運算學(xué)案 新人教A版必修4

《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運算學(xué)案 新人教A版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運算學(xué)案 新人教A版必修4（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.3.2　平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3　平面向量的坐標(biāo)運算 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示．(難點)2.理解向量坐標(biāo)的概念，掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運算法則．(重點)3.向量的坐標(biāo)與平面內(nèi)點的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 (1)平面向量的正交分解： 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)平面向量的坐標(biāo)表示： 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底．對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有

2、一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，a＝(x，y)叫做向量的坐標(biāo)表示．顯然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 2．平面向量的坐標(biāo)運算 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 數(shù)乘 λa＝(λx1，λy1) 重要 結(jié)論 已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＝(x2－x1，y2－y1) [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)若＝(

3、2，－1)，則點A的坐標(biāo)為(2，－1)．(　　) (2)若點A的坐標(biāo)為(2，－1)，則以A為終點的向量的坐標(biāo)為(2，－1)．(　　) (3)平面內(nèi)的一個向量a，其坐標(biāo)是唯一的．(　　) [解析]　(1)正確．對于從原點出發(fā)的向量，其終點坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)表示相同． (2)錯誤．以A為終點的向量有無數(shù)個，它們不一定全相等． (3)正確．由平面向量坐標(biāo)的概念可知． [答案]　(1)√　(2)　(3)√ 2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，則向量的坐標(biāo)是(　　) A．　　　　　 B． C．(－8,1) D．(8,1) A　[＝－ ＝(－5，－1)－(3，－2) ＝(－

4、8,1)， ＝.] 3．如圖2314，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，若|a|＝2，θ＝45，則向量a的坐標(biāo)為________． 圖2314 (，)　[由題意知 a＝(2cos 45i,2sin 45j) ＝(i，j) ＝(，)．] [合 作 探 究攻 重 難] 平面向量的坐標(biāo)表示 　如圖2315，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45，∠OAB＝105，＝a，＝b.四邊形OABC為平行四邊形． 圖2315 (1)求向量a，b的坐標(biāo)； (2)求向量的坐標(biāo)； (3)求

5、點B的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號：84352220】 [解]　(1)作AM⊥x軸于點M， 則OM＝OAcos 45＝4＝2， AM＝OAsin 45＝4＝2， ∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180－105＝75，∠AOy＝45， ∴∠COy＝30.又OC＝AB＝3， ∴C， ∴＝＝， 即b＝. (2)＝－＝. (3)＝＋ ＝(2，2)＋ ＝. [規(guī)律方法]　求點、向量坐標(biāo)的常用方法： (1)求一個點的坐標(biāo)：可利用已知條件，先求出該點相對應(yīng)坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo)，該坐標(biāo)就等于相應(yīng)點的坐標(biāo). (2)求一個向量的坐標(biāo)：首先求出這個向量的始點、終點坐標(biāo)，再運用

6、終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo). [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60， (1)求向量的坐標(biāo)； (2)若B(，－1)，求的坐標(biāo)． [解]　(1)設(shè)點A(x，y)，則x＝4cos 60＝2， y＝4sin 60＝6，即A(2，6)，＝(2，6)． (2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7). 平面向量的坐標(biāo)運算 　(1)已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，則a＝________，b＝________. (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐標(biāo)． [思路探究]　(1)用加

7、減消元法求a，b的坐標(biāo)． (2)法一：設(shè)點M，N的坐標(biāo)，用向量相等的坐標(biāo)表示列方程求值． 法二：用向量線性運算的幾何意義直接計算，的坐標(biāo)． (1)(3,5)　(－2，－2)　[由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)， 所以2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)， 所以a＝(3,5)， 2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)， 所以b＝(－2，－2)．] (2)[解]　法一：(待定系數(shù)法)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)， 所以＝3＝3(1,8)＝(

8、3,24)， ＝2＝2(6,3)＝(12,6)． 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20； ＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2， 所以M(0,20)，N(9,2)， ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)． 法二：(幾何意義法)設(shè)點O為坐標(biāo)原點，則由＝3，＝2， 可得－＝3(－)，－＝2(－)， 從而＝3－2，＝2－， 所以＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)， ＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)， 即點M(0,20)，N(9,2)， 故＝(9,2)－(0

9、,20)＝(9，－18)． [規(guī)律方法]　平面向量坐標(biāo)的線性運算的方法： (1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行. (2)若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進行向量的坐標(biāo)運算. (3)向量的線性坐標(biāo)運算可完全類比數(shù)的運算進行. [跟蹤訓(xùn)練] 2．若A，B，C三點的坐標(biāo)分別為(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐標(biāo)． [解]　∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)， ∴＋2＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)， －＝(－8,4)－(－1

10、0,14) ＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3). 向量坐標(biāo)運算的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.當(dāng)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？ 提示：∵＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若點P在x軸上，則2＋3t＝0， ∴t＝－. 若點P在y軸上，則1＋3t＝0， ∴t＝－. 若點P在第二象限，則 ∴－

11、若四邊形OABP為平行四邊形， 則＝， ∴該方程組無解． 故四邊形不能為平行四邊形． 　(1)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，則m＋n＝________. (2)已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若A＝A＋λA(λ∈R)，試求λ為何值時， ①點P在一、三象限角平分線上； ②點P在第三象限內(nèi). 【導(dǎo)學(xué)號：84352221】 [思路探究]　(1)→→ (2)→→ (1)7　[由已知得ma＋nb＝m(2，－3)＋n(1,2)＝(2m＋n，－3m＋2n)． 又p＝(9,4)且p＝ma＋nb， 所以解得 所以m＋n＝7

12、.] (2)[解]　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)， 則A＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， A＋λA＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵A＝A＋λA， ∴則 ①若P在一、三象限角平分線上， 則5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝， ∴當(dāng)λ＝時，點P在一、三象限角平分線上． ②若P在第三象限內(nèi)，則∴λ<－1， ∴當(dāng)λ<－1時，點P在第三象限內(nèi)． 母題探究：1.若本例(2)條件不變，試求λ為何值時，點P在第四象限． [解]　若P在第四象限，則解得－1＜λ＜－. 2．若本例(2)條件“＝＋λ”

13、改為“＝＋λ”，其他條件不變，應(yīng)如何解答？ [解]　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)， 則＝(x－5，y－4)， ＋λ＝(－3，－1)＋λ(2,6)＝(－3＋2λ，－1＋6λ)． 因為＝＋λ， 所以則 ①若P在一、三象限角平分線上， 則2＋2λ＝3＋6λ，解得λ＝－. ②若P在第三象限內(nèi)，則解得λ＜－1. [規(guī)律方法]　1.解答本題可用待定系數(shù)法．此法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，實質(zhì)是先將未知量設(shè)出來，建立方程(組)求出未知數(shù)的值，是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應(yīng)用． 2．坐標(biāo)形式下向量相等的條件：相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等；對應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量．由此可建立相等關(guān)系

14、求某些參數(shù)的值． [當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基] 1．給出下面幾種說法： ①相等向量的坐標(biāo)相同； ②平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)； ③一個坐標(biāo)對應(yīng)于唯一的一個向量； ④平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應(yīng)． 其中正確說法的個數(shù)是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 C　[由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個坐標(biāo)可對應(yīng)無數(shù)個相等的向量，故③錯誤．] 2．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，則點B和線段AB的中點M坐標(biāo)分別為 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352222】 A．B(5，－5)，M(0,0) B．B(5，－5)，M C．

15、B(1,1)，M(0,0) D．B(1,1)，M B　[＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)， ＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝.] 3．已知平行四邊形OABC，其中O為坐標(biāo)原點，若A(2,1)，B(1,3)，則點C的坐標(biāo)為________． (－1,2)　[設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，則由已知得＝，所以(x，y)＝(－1,2)．] 4．已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為________． 　[＝(3，－4)，則與同方向的單位向量為＝(3，－4)＝.] 5．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. [解]　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1,2)－(2,1) ＝－＝. 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。