高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)8 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 新人教A版選修21

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(八) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為(　　) A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 A　[由題意知，解得 因此所求橢圓的方程為＋＝1.] 2．橢圓＋＝1與＋＝1(0<k<9)的關(guān)系為(　　) A．有相等的長(zhǎng)軸 B．有相等的短軸 C．有相同的焦點(diǎn) D．有相等的焦距 D　[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，兩橢圓有相等的焦距．] 3．橢圓的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成等邊三角形，則它的離心率為(　　) 【

2、導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342074】 A． B． C． D． A　[由題意知a＝2c，∴e＝＝＝.] 4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為(　　) A． B．　　C．　　D． D　[在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因?yàn)?<e<1，所以e＝.故選D.] 5．如圖2­2­6，把橢圓＋＝1的長(zhǎng)

3、軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　) 圖2­2­6 A．35 B．30 C．25 D．20 A　[設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.] 二、填空題 6．已知長(zhǎng)方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D的橢圓的離心率為_(kāi)_

4、______． 　[如圖，AB＝2c＝4，∵點(diǎn)C在橢圓上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.] 7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過(guò)P(－5,4)，則橢圓的方程為_(kāi)_______________． ＋＝1　[設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1(a>b>0) 由題意得解得 因此所求橢圓方程為＋＝1.] 8．已知P(m，n)是橢圓x2＋＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則m2＋n2的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342075】 [1,2]　[因?yàn)镻(m，n)是橢圓x2＋＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，

5、又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.] 三、解答題 9．設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)與x軸交于點(diǎn)A，以O(shè)A為邊作等腰三角形OAP，其頂點(diǎn)P在橢圓上，且∠OPA＝120°，求橢圓的離心率． [解]　不妨設(shè)A(a,0)，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，由題意知，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是，設(shè)P，由點(diǎn)P在橢圓上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝. 10．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1(－，0)，且右頂點(diǎn)為D(2,0)．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是. (1

6、)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342076】 [解]　(1)因?yàn)閍＝2，c＝，所以b＝＝1. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式， 得所以 又因?yàn)椋珁＝1，所以＋＝1，即為中點(diǎn)M的軌跡方程． [能力提升練] 1．已知F是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，若|PF|＝|AF|，則該橢圓的離心率是(　　) A.　 B．　　　C．　　　D. B　[由于PF⊥x軸， 則令x＝－c，代入橢圓方程，解得

7、， y2＝b2＝，y＝±， 又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)， 即有4(a2－c2)＝a2＋ac， 即有(3a－4c)(a＋c)＝0， 則e＝＝，故選B.] 2．“m＝3”是“橢圓＋＝1的離心率為”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[橢圓＋＝1的離心率為， 當(dāng)0<m<4時(shí)，＝，得m＝3， 當(dāng)m>4時(shí)，＝，得m＝， 即“m＝3”是“橢圓＋＝1的離心率為”的充分不必要條件．] 3．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方

8、程為_(kāi)_______． ＋＝1　[由題意知，解得 則b2＝3，故所求橢圓方程為＋＝1.] 4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若＝2，則橢圓的離心率是________． 　[由＝2，得|AO|＝2|FO|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，即a＝2c，則離心率e＝.] 5．已知點(diǎn)A，B分別是橢圓＋＝1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，且M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)

9、：46342077】 [解]　(1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(xiàn)(4,0)， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)， 則＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)． 由已知得 則2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6. 由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝. 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是. (2)直線AP的方程是x－y＋6＝0. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0)， 則M到直線AP的距離是，又B(6,0)， 于是＝|m－6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2， 設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離為d，有 d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝＋15， 由于－6≤x≤6，所以當(dāng)x＝時(shí)，d取最小值為. 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。