高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修12

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1、 3.1.1　數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程．(重點(diǎn))2.理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念．(重點(diǎn))3.掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件．(重點(diǎn)、易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．復(fù)數(shù)的概念：z＝a＋bi(a，b∈R) 全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做復(fù)數(shù)集． 2．復(fù)數(shù)相等的充要條件 設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d. 3．復(fù)數(shù)的分類 z＝a＋bi(a，b∈R) 思考：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間存在怎樣的關(guān)系？ [提示] [基礎(chǔ)自測(cè)]

2、1．思考辨析 (1)若a，b為實(shí)數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)． (　　) (2)復(fù)數(shù)i的實(shí)部不存在，虛部為0. (　　) (3)bi是純虛數(shù)． (　　) (4)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等． (　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)√ 2．復(fù)數(shù)i－2的虛部是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662114】 A．i　　　　　　　 B．－2 C．1 D．2 C　[i－2＝－2＋i，因此虛部是1.] 3．如果(x＋y)i＝x－1，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為(　) A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝1，y＝0 D．x＝

3、0，y＝0 A　[∵(x＋y)i＝x－1， ∴∴x＝1，y＝－1.] 4．在下列數(shù)中，屬于虛數(shù)的是__________，屬于純虛數(shù)的是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662115】 0,1＋i，πi，＋2i，－i，i. 1＋i，πi，＋2i，－ i，i　πi，i　[根據(jù)虛數(shù)的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虛數(shù)；由純虛數(shù)的概念知：πi，i都是純虛數(shù)．] [合 作 探 究攻 重 難] 復(fù)數(shù)的概念及分類 　(1)給出下列三個(gè)命題： ①若z∈C，則z2≥0； ②2i－1虛部是2i； ③2i的實(shí)部是0. 其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　　　　　 B．

4、1 C．2 D．3 (2)實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝＋(x2－2x－15)i是①實(shí)數(shù)？②虛數(shù)？③純虛數(shù)？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662116】 (1)[解析]　(1)對(duì)于①，當(dāng)z∈R時(shí)，z2≥0成立，否則不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①為假命題； 對(duì)于②，2i－1＝－1＋2i，其虛部為2，不是2i，所以②為假命題； 對(duì)于③，2i＝0＋2i，其實(shí)部是0，所以③為真命題． [答案]　B (2)①當(dāng)x滿足即x＝5時(shí)，z是實(shí)數(shù)． ②當(dāng)x滿足即x≠－3且x≠5時(shí)，z是虛數(shù)． ③當(dāng)x滿足即x＝－2或x＝3時(shí)，z是純虛數(shù)． [規(guī)律方法]　復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵 (1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形

5、式，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式.求解參數(shù)時(shí)，注意考慮問(wèn)題要全面，當(dāng)條件不滿足代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式. (2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，則①z為實(shí)數(shù)?b＝0，②z為虛數(shù)?b≠0，③z為純虛數(shù)?a＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)若復(fù)數(shù)z＝a2－3＋2ai的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________________． (2)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分別是①實(shí)數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù)；④零． (1)1或－3　[由條

6、件知a2－3＋2a＝0， ∴a＝1或a＝－3.] (2)由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. ①當(dāng)k2－5k－6＝0時(shí)，z∈R，即k＝6或k＝－1. ②當(dāng)k2－5k－6≠0時(shí)，z是虛數(shù)，即k≠6且k≠－1. ③當(dāng)時(shí)，z是純虛數(shù)，解得k＝4. ④當(dāng)時(shí)，z＝0，解得k＝－1. 復(fù)數(shù)相等的充要條件 [探究問(wèn)題] 1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)能比較大小，那么兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小嗎？ 提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大?。? 2．若復(fù)

7、數(shù)z＝a＋bi>0，則實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件？ 提示：若復(fù)數(shù)z＝a＋bi>0，則實(shí)數(shù)a，b滿足a>0，且b＝0. 　(1)若復(fù)數(shù)z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，則實(shí)數(shù)m的值等于_______． (2)已知關(guān)于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662117】 思路探究　(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化為虛部為零，且實(shí)部小于零； (2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解． (1)－3　[(1)∵z<0，∴，∴m＝－3.] (2)設(shè)a是原方程的實(shí)根，則a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i， 所以a2

8、＋a＋3m＝0且2a＋1＝0， 所以a＝－且－＋3m＝0，所以m＝. 母題探究：1.若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的實(shí)數(shù)根，求復(fù)數(shù)m的值． [解]　由題意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0， 即m＝－＋i. 2．若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　由題意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝ x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0, 故，解得. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m>. [規(guī)律方法]　復(fù)數(shù)相等問(wèn)題的解題技巧 (1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解. (2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的

9、條件，將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時(shí)這也是復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn). 提醒：若兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)必為實(shí)數(shù). [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662118】 A．，1　　　　　　 B．，5 C．，5 D．，1 C　[令，得a＝，b＝5.] 2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a＋b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 A　[(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b

10、＝－2，所以a＋b＝1，故選A.] 3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，則實(shí)數(shù)x＝________，y＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662119】 －1　－1　[∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴解得或] 4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1則實(shí)數(shù)m的值為________． 2　[由題意得解得m＝2.] 5．實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)是實(shí)數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)；(4)是0. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662120】 [解]　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3. (1)當(dāng)m2－2m－15＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)， ∴m＝5或－3； (2)當(dāng)m2－2m－15≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)， ∴m≠5且m≠－3. (3)當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)， ∴m＝－2. (4)當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)z是0，∴m＝－3. 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。