安徽省長豐縣高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程小結(jié)與復(fù)習(xí)教案 新人教A版選修11

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1、 圓錐曲線與方程小結(jié)與復(fù)習(xí) 項目 內(nèi)容 課題 圓錐曲線與方程小結(jié)與復(fù)習(xí) （共 3 課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 知識與能力：通過小結(jié)與復(fù)習(xí)，使同學(xué)們完整準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線的特點以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系 過程與方法：通過本節(jié)教學(xué)使學(xué)生較全面地掌握本章所教的各種方法與技巧，尤其是解析幾何的基本方法――坐標(biāo)法；并在教學(xué)中進一步培養(yǎng)他們形與數(shù)結(jié)合的思想、化歸的數(shù)學(xué)思想以及“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的意識 情感、態(tài)度與價值觀：結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生進行運動變化和對立統(tǒng)一的觀點的教育 教學(xué)重、 難點 重點：三種曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形、性質(zhì) 難點：做好思路分析，引導(dǎo)學(xué)生找到解

2、題的落足點 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 （一）基礎(chǔ)知識回顧： 1．橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：， （） 3．橢圓的性質(zhì)：由橢圓方程() (1)范圍: ,，橢圓落在組成的矩形中． (2)對稱性:圖象關(guān)于軸對稱．圖象關(guān)于軸對稱．圖象關(guān)于原點對稱原點叫橢圓的對稱中心，簡稱中心．軸、軸叫橢圓的對稱軸．從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距 （3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點 橢圓共有四個頂點： ，兩焦點共有六個特殊點叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸．長分別為 分別為

3、橢圓的長半軸長和短半軸長橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點 (4)離心率: 橢圓焦距與長軸長之比 橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特例橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認為圓為橢圓在時的特例 4．雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距 在同樣的差下，兩定點間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線）兩定點間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線）雙曲線的形狀與兩定點間距離、定差有關(guān) 5．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

4、程及特點： （1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種： 焦點在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,)； 焦點在軸上時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,) (2)有關(guān)系式成立，且 其中a與b的大小關(guān)系:可以為 6焦點的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點所在的軸而雙曲線是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上 7．雙曲線的幾何性質(zhì)： （1）范圍、對稱性 由標(biāo)準(zhǔn)方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的

5、方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心 （2）頂點 頂點：，特殊點： 實軸：長為2a, a叫做半實軸長虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長 雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異 （3）漸近線 過雙曲線的漸近線（） （4）離心率 雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率范圍： 雙曲線形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊 8．等軸雙曲線 定義：實

6、軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率 9．共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗? 10 拋物線定義： 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線 11．拋物線的準(zhǔn)線方程： (1), 焦點:，準(zhǔn)線： (2), 焦點:，準(zhǔn)線： (3), 焦點:，準(zhǔn)線： (4) , 焦點:，準(zhǔn)線： 相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂

7、足與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即 不同點：(1)圖形關(guān)于X軸對稱時，X為一次項，Y為二次項，方程右端為、左端為；圖形關(guān)于Y軸對稱時，X為二次項，Y為一次項，方程右端為，左端為 （2）開口方向在X軸（或Y軸）正向時，焦點在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在X軸（或Y軸）負向時，焦點在X軸（或Y軸）負半軸時，方程右端取負號 12．拋物線的幾何性質(zhì) （1）范圍 因為p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延

8、伸． （2）對稱性 以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸． （3）頂點 拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當(dāng)y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標(biāo)原點． （4）離心率 拋物線上的點M與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1． 13拋物線的焦半徑公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線， 14．直線與拋物線： （1）位置關(guān)系： 相交（兩個公共點或一個公共點）；相離（無公共點）；相切（一個公共點） 將代入，消去y，得到 關(guān)于x的二次方程

9、 （*） 若，相交；，相切；，相離 綜上，得： 聯(lián)立，得關(guān)于x的方程 當(dāng)（二次項系數(shù)為零），唯一一個公共點（交點） 當(dāng)，則 若，兩個公共點（交點） ，一個公共點（切點） ，無公共點 （相離） （2）相交弦長： 弦長公式：， （3）焦點弦公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線， （4）通徑： 定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦 通徑： （5）若已知過焦點的直線傾斜角 則 （6）常用結(jié)論： 和 和 （二）、講解范例： 例1 根據(jù)下列條件，寫出橢圓方程 ⑴ 中心在原點、以對稱軸為坐標(biāo)軸、離心率為1

10、/2、長軸長為8； ⑵ 和橢圓9x2+4y2=36有相同的焦點，且經(jīng)過點(2，－3)； ⑶ 中心在原點，焦點在x軸上，從一個焦點看短軸兩端的視角為直角，焦點到長軸上較近頂點的距離是 分析： 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要根據(jù)焦點位置確定方程形式，其次是根據(jù)a2=b2+c2及已知條件確定a2、b2的值進而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程 解 ⑴ 焦點位置可在x軸上，也可在y軸上， 因此有兩解： ⑵ 焦點位置確定，且為（0，），設(shè)原方程為,(a>b>0)，由已知條件有 ,故方程為 ⑶ 設(shè)橢圓方程為,(a>b>0) 由題設(shè)條件有 及a2=b2+c2，解得b=, 故所求橢圓的方程是 例2 從橢圓,

11、(a>b>0)上一點M向x軸所作垂線恰好通過橢圓的左焦點F1，A、B分別是橢圓長、短軸的端點，AB∥OM設(shè)Q是橢圓上任意一點，當(dāng)QF2⊥AB時，延長QF2與橢圓交于另一點P，若⊿F2PQ的面積為20，求此時橢圓的方程 解 可用待定系數(shù)法求解 ∵b=c,a=c，可設(shè)橢圓方程為 ∵PQ⊥AB,∴kPQ=-，則PQ的方程為y=(x-c)， 代入橢圓方程整理得5x2-8cx+2c2=0， 根據(jù)弦長公式，得, 又點F1到PQ的距離d=c ∴ ,由 故所求橢圓方程為 例3 已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長 解：a=3,b=1,c=2; 則F（-

12、2，0） 由題意知：與聯(lián)立消去y得： 設(shè)A（、B（，則是上面方程的二實根，由違達定理， ，又因為A、B、F都是直線上的點， 所以|AB|= 點評：也可讓學(xué)生利用“焦半徑”公式計算 例4 中心在原點，一個焦點為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程 分析：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式，求出中點的橫坐標(biāo)，再由F1（0，）知，c=，，最后解關(guān)于a、b的方程組即可 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 由F1（0，）得 把直線方程代入橢圓方程整理得： 設(shè)弦的兩個端點為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得： ， 又AB的

13、中點橫坐標(biāo)為， ，與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為： 例5 直線與雙曲線相交于A、B兩點，當(dāng)為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng)為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？ 解： 把代入 整理得：……（1） 當(dāng)時， 由>0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點 若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或 故當(dāng)或時，A、B兩點在同一支上；當(dāng)時，A、B兩點在雙曲線的兩支上 例6 已知雙曲線的中心在原點，過右焦點F（2，0）作斜率為的直線，交雙曲線于M、N 兩點，且=4，求雙曲線方程 解：設(shè)所求雙曲線方程為，由右焦點為（2，0）知C=2，b2=4-a2 則雙曲線方程為，

14、設(shè)直線MN的方程為：，代入雙曲線方程整理得：(20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0 設(shè)M（x1,y1）,N(x2,y2),則， 解得：， 故所求雙曲線方程為： 點評：利用待定系數(shù)法求曲線方程，運用一元二次方程得根與系數(shù)關(guān)系將兩根之和與積整體代入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想，也簡化了計算，要求學(xué)生熟練掌握 例7 已知雙曲線，過點 A（2，1）的直線與已知雙曲線交于P、Q兩點（1）求PQ中點的軌跡方程；（2）過B（1，1）能否作直線，使與所給雙曲線交于兩點M、N，且B為MN的中點，若存在，求出的方程，不存在說明理由 解：（1）設(shè)P（x1,y1）、Q(x2,

15、y2),其中點為（x，y）,PQ的斜率為k, 若PQ的斜率不存在顯然（2，0）點是曲線上的點 若PQ的斜率存在，由題設(shè)知： …（1） …（2） （2）-（1）得： ，即…（3） 又代入（3）整理得： （2）顯然過B點垂直X抽的直線不符合題意只考慮有斜率的情況設(shè)的方程為y-1=k(x-1) 代入雙曲線方程，整理得： …※ 設(shè)M（x1,y1）、N(x2,y2)則有解得：=2 又直線與雙曲線必須有兩不同交點， 所以※式的 把K=2代入得<0， 故不存在滿足題意的直線 例8 已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值． 解：設(shè)與拋

16、物線交于 由距離公式 |AB|== 則有 由 從而由于p>0，解得 例9 如圖，線段AB過x軸正半軸上一點M（m,0）（m>0），端點A、B到x軸距離之積為，以x軸為對稱軸，過A，O，B三點作拋物線 （1）求拋物線方程； （2）若的取值范圍 解：（1）當(dāng)AB不垂直x軸時，設(shè)AB方程為 由| ， 故所求拋物線方程為 （2）設(shè) ①， 平方后化簡得 又由①知 的取值范圍為 軸時， 符合條件， 故符合條件的m取值范圍為 （三）、課堂練習(xí)： 1．直線與曲線，相交于A、B兩點，求直線的傾斜角的范圍答案： 2．直線

17、與雙曲線的左支僅有一個公共點，求K的取值范圍 答案：或 3．已知雙曲線與點P（1，2），過P點作直線L與雙曲線交于A、B兩點，若P為AB的中點（1）求直線AB的方程（2）若Q為（-1，-1），證明不存在以Q為中點的弦 答案 AB：x-y+1=0 4．雙曲線，一條長為8的弦AB的兩端在曲線上運動，其中點為M，求距Y軸最近的點M的坐標(biāo)答案： 5．頂點在原點，焦點在軸上的拋物線，截直線所得的弦長為，求拋物線的方程答案：或 6．過拋物線焦點的直線與拋物線交于、兩點，若、在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為、，則等于 （ B ） A． B C D 7若拋

18、物線被過焦點，且傾斜角為的直線所截，求截得的線段的中點坐標(biāo) 答案： 8過點的直線與拋物線交于、兩點，求直線的斜率K的取值范圍答案： 9．過點作傾斜角為的直線交拋物線于點、，若，求實數(shù)的值答案： （四）課時小結(jié) ： 1、直線與曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種 2、判斷其位置關(guān)系看直線是否過定點，在根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系 3、可通過解直線方程與曲線方程解的個數(shù)來確定他們的位置關(guān)系但有一解不一定是相切，要根據(jù)斜率作進一不的判定 板書設(shè)計 圓錐曲線小結(jié)與復(fù)習(xí) 1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：， （） 例1

19、 2.橢圓的幾何性質(zhì)： 3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：；(,) 4.雙曲線的幾何性質(zhì)： 5.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1), 焦點:，準(zhǔn)線： 例2 (2), 焦點:，準(zhǔn)線： (3), 焦點:，準(zhǔn)線： (4) , 焦點:，準(zhǔn)線： 6.拋物線的幾何性質(zhì)： 教學(xué)反思 圓錐曲線與直線、圓比較，增加了不少難度，學(xué)生在分析解題思路和運算中都有不少困難，需要在鞏固知識的基礎(chǔ)上，增加訓(xùn)練。同時引導(dǎo)學(xué)生要善于總結(jié)。 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。